Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
кандидата на получение в 2016/17 учебном году стипендии Президента/Правительства Российской Федерации из числа студентов, проявивших выдающиеся способ...полностью>>
'Документ'
ОБЛАСТИ АТТЕСТАЦИИ РУКОВОДИТЕЛЕЙ И СПЕЦИАЛИСТОВ ОРГАНИЗАЦИЙ, ПОДНАДЗОРНЫХ ФЕДЕРАЛЬНОЙ СЛУЖБЕ ПО ЭКОЛОГИЧЕСКОМУ, ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ И АТОМНОМУ НАДЗОРУ (в...полностью>>
'Документ'
It is a criminal offence for the landlord/agent not to have all gas appliances serviced and checked every 12 months, or for them to use someone who is...полностью>>
'Документ'
Вундт В. М.Введение в философию : учебник для вузов / В. М. Вундт. — 5-е изд., стер. — М. : Издательство Юрайт, 2016. — 351 с. — (Авторский учебник). ...полностью>>

Главная > Литература

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

§ 3.1.3 Вычисление коэффициентов важности для элементов каждого уровня

Ранжирование элементов, анализируемых с помощью матрицы парных сравнений, осуществляется на основании главных собственных векторов, получаемых в результате обработки матриц.

Определение. Пусть задана квадратная матрица . Число называется собственным значением, а ненулевой вектор собственным вектором квадратной матрицы , если они связаны между собой соотношением .

Собственные значения квадратной матрицы могут быть вычислены как корни уравнения , а собственные векторы – как решение соответствующих однородных систем .

Определение. Собственный вектор отвечающий максимальному собственному значению называется главным собственным вектором.

Пример. Рассмотрим следующую матрицу парных сравнений:

Вычислим для данной матрицы главный собственный вектор.

При решении данного уравнения получено максимальное собственное значение . Для вычисления главного собственного вектора необходимо решить систему линейных уравнений:

Полученный главный собственный вектор ранжирует альтернативы и назначает им веса. Таким образом, вторая альтернатива наиболее предпочтительная, затем идет третья и первая. Заметим, что сумма координат полученного вектора равна единице. Таким образом можно говорить об относительной важности того или иного сравниваемого критерия или альтернативы.

Квадратная матрица имеет не более различных собственных значений. Вычислить главный собственный вектор положительной квадратной матрицы с точностью до некоторого постоянного сомножителя можно по формуле:

,

где .

Максимальное собственное значение вычисляется по формуле: .

Как видно из вышеприведенного примера, вычисление собственных векторов и собственных значений «в лоб» не является тривиальной задачей. При вычислении максимального собственного значения матриц порядка больше двух практически всегда требуется прибегать к приближенным методам. Такой подход существенно усложняет задачу, так как в случае одной иерархии число матриц парных сравнений может быть очень велико. В случае, когда человек не владеет численными методами метод иерархической иерархии вообще может быть им отклонен.

Для вычисления собственных векторов и собственных значений матриц целесообразно использовать вычислительные средства и современные программные продукты. Однако, при отсутствии вычислительных мощностей, приближенное значение главного собственного вектора можно получить суммированием элементов каждой строки и последующим делением каждой суммы на сумму элементов всей матрицы.

Пример. Рассмотрим матрицу парных сравнений и вычислим приближенное значение главного собственного вектора:

Просуммируем элементы каждой строки и найдем сумму всех элементов матрицы:

Нормализуя вектор делением каждой координаты на величину , получаем приближенное значение главного собственного вектора:

Приближенное значение максимального собственного значения можно найти по формуле , рассмотренной выше:

При таком вычислении главного собственного вектора и максимального собственного значения может оказаться, что согласованная в действительности матрица является несогласованной по вычислениям и наоборот.

Пример. Вычислим отношение согласованности рассматриваемой выше матрицы, взяв в качестве максимального собственного значения его точное и приближенное число.

При большей погрешности метода вычисления главного собственного вектора, отношение согласованности матрицы парных сравнений могло оказаться больше .

Желательно использовать процедуры точного нахождения собственных значений и векторов матриц. Такое пожелание превращается в требование в особо ответственных задачах.

Вычисление собственных векторов и значений в пакете Mathematica.

Для вычисления собственных векторов и значений, первым шагом является определение матрицы. Для определение введем в пустом документе название матрицы и поставим знак равенства. Зададим трехмерную матрицу с единицами на главной диагонали. Для этого выберем в меню опцию InputCreate Table/Matrix/Palette... или используем комбинацию клавиш <Shift>+<Ctrl>+<C> (рисунки 8 и 9). В открывшемся окне определим размерность матрицы и отметим необходимость заполнить главную диагональ единицами. Поля, которые необходимо заполнять, выделены на рисунке 9.



Рис. 8. Меню вставки пакета Mathematica

После вставки матрицы и заполнения всех ее элементов необходимо нажать клавиши <Shift>+<Enter> - пакет произведет назначение матрице соответствующих числовых характеристик.

Вычисление собственных значений выполняется функцией Eigenvalues[M], а собственных векторов Eigenvectors[M]. При вычислении желательно сопроводить функции последующим символом N через две косые черты (//N), в противном случае Mathematica проведет вычисления символьно. После ввода строки Eigenvalues[M]//N и нажатия клавиш <Shift>+<Enter>, Mathematica выдаст результат, представленный на рисунке 10.

Рис. 9. Определение размерности матрицы в пакете Mathematica

На рисунке 10 приведены вычисления и векторов, и значений. При выполнении вычислений получено одно действительное собственное значение. Это значение нас и интересует, оно несколько превышает размерность матрицы, тройку, что говорит о неполной согласованности матрицы. На приведенном рисунке интересующий нас вектор обведен. Вектор не является нормированным. Для его нормализации необходимо найти сумму элементов вектора, а затем разделить все координаты на получившуюся сумму.

При использовании пакета Mathematica необходимо помнить, что строчные и заглавные буквы различаются. Так, например, название функций должны начинаться с заглавной буквы, в противном случае они не распознаются. Аргументы функций обязаны стоять в квадратных скобках.

Р
ис. 10. Вычисление собственных значений и векторов матрицы в пакете Mathematica

Вычисление необходимых величин, даже при помощи пакета, является задачей, требующей времени. В Mathematica можно создавать собственные процедуры и функции, писать мультимедийные учебники. Процедуру поиска собственных значений и векторов можно закодировать, что в дальнейшем сведет операцию вычисления лишь к вводу новых значений матрицы парных сравнений.

Вычисление собственных векторов и значений в Mathcad.

Вычислим собственные вектора и значения с использованием Mathcad. Определим и введем в рабочий документ матрицу парных сравнений. В Mathcad операция присваивание выполняется посредством оператора :=. Для того, чтобы определить матрицу, введем с клавиатуры ее имя и знак присваивания. Для присваивания необходимо нажать на клавиатуре комбинацию клавиш <Shift>+<:>, в результате чего появится знак присваивания (рисунок 11). Для ввода матрицы воспользуемся одной из опций. Большинство вычислений с матрицами, и другие вычисления в Mathcad, можно выполнить тремя способами – с помощью панелей инструментов, выбором операции в меню или обращением к соответствующей функции.

Воспользуемся первым вариантом. После того как имя матрицы и оператор присваивания были введены, откроем панель операций с матрицами, щелкнув по кнопке (рисунок 11). После этого на появившейся панели щелкнем по кнопке и зададим размерность матрицы (рисунок 12).

Рис. 11. Панель операций с матрицами в пакете Mathcad

Рис. 12. Окно определения размеров матрицы в Mathcad

После ввода матрицы присвоим некоторой переменной значение функции eigenvals(А). Данная функция вычисляет собственные значения квадратной матрицы . Присвоение должно быть выполнено правее или ниже определения матрицы , в противном случае матрица для функции будет неизвестна. После выполнения такого присваивания, введем с клавиатуры С=. Фрагмент рабочего стола, после выполнения всех описанных выше процедур, приведен ниже.

Для вычисления главного собственного вектора, воспользуемся функцией eigenvec(A, z) – вычисление собственного вектора матрицы , отвечающего собственному значению . Чтобы обратиться к функции, введем с клавиатуры ее имя, затем перечислим в скобках ее аргументы: название матрицы и название вектора собственных значений с индексом, задающим номер интересующего нас собственного значения. Индексы координат векторов в Mathcad начинаются с нулевого (данная настройка может быть изменена). После ввода функции необходимо поставить знак равенства:

Вектор не нормирован. Нормируем его. Для удобства расчетов присвоим главный собственный вектор некоторой переменной . Вычисление суммы координат вектора произведем при помощи кнопки на панели операций с матрицами (рисунок 11, кнопка вторая слева внизу). При ее нажатии появляется знак суммы. Под знаком суммы поставим вектор , координаты которого мы собираемся складывать. После нахождения суммы произведем деление вектора на сумму .

Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий перечисленные выше действия, приведен ниже.

Для того чтобы вычислить собственные значения и главный собственный вектор новой матрицы, достаточно изменить числа в исходной матрице А. При этом необходимо следить, чтобы индекс интересующего нас собственного значения был соответствующим. Рабочий стол удобно дополнить формулами индекса согласованности и отношения согласованности матрицы парных сравнений:

В
вод нижнего индекса можно произвести при помощи кнопки панели операций с матрицами (рисунок 11, кнопка вторая справа сверху).

Вычисление собственных векторов и значений по формулам.

Для вычисления главного собственного вектора и наибольшего собственного значения обратносимметрической квадратной матрицы второго, третьего и четвертого порядка существуют точные формулы. Использование формул весьма сомнительно в силу большого числа вычислений, за исключением матрицы второго порядка:

Матрица 2 2

Для этого случая , .

Матрица 3 х 3

;  

.

.

Матрица 4 х 4.

.

.

Вычисление собственных векторов и значений в MS Excel.

Довольно просто, используя определение собственного значения и формулу , а также теорему о величине максимального собственного значения обратносимметрической квадратной матрицы, средствами MS Excel можно получать наибольшее собственное значение и нормированный главный собственный вектор. Для этого можно создать макрос или же воспользоваться возможностями инструмента Поиск решения. Реализовать такой подход студентам предлагается самостоятельно как индивидуальное задание, групповое или в виде дискуссии на семинаре.

§ 3.1.4. Подсчет количественной оценки качества альтернатив (иерархический синтез)

Рассмотрим иерархию на рисунке 13.

Иерархический синтез используется для общего ранжирования альтернатив относительно цели, т.е. для подсчета количественной оценки качества альтернатив.


Е12

Е22


Е23

Е33


А1

Рис. 13. Пример трехуровневой иерархической структуры

Алгоритм иерархического синтеза для вышеприведенного примера:

  1. Определим векторы приоритетов относительно последнего уровня иерархии. Для этого строим матрицы парных сравнений и вычисляем для каждой из матриц максимальные собственные значения (для оценки однородности суждений) и главные собственные вектора (приоритеты):

  1. Аналогичным образом обрабатываем матрицы парных сравнений для вышележащих уровней. Данные матрицы построены для того, чтобы определить предпочтительность элементов определенного иерархического уровня относительно элементов вышележащего.

  1. Осуществляем иерархический синтез. Последовательно определяем вектора приоритетов альтернатив относительно элементов , находящихся на всех иерархических уровнях. Для предпоследнего уровня . Вычисление векторов приоритетов проводится в направлении от нижних уровней к верхним с учетом конкретных связей между элементами, принадлежащими различным уровням. Вычисление производится путем перемножения соответствующих векторов и матриц.

Результирующий вектор приоритетов альтернатив относительно основной цели .

Пример (из книги Т. Саати). Рассмотрим общее благополучие индивидуума – высший уровень иерархии. На этот уровень в основном влияют детские, юношеские и взрослые впечатления. Факторы развития и зрелости, отражающиеся в благополучии, могут включать как влияние отца и матери в отдельности, так и их совместное влияние как родителей, социоэкономический фон, отношения с братьями и сестрами, группу ровесников, школьное обучение, религиозный статус и т.д.

На перечисленные выше факторы, которые составляют второй уровень иерархии, влияют соответствующие критерии. Например, влияние отца может быть разбито на категории, включающие его темперамент, строгость, заботу и привязанность. Отношение с братьями и сестрами можно дальше характеризовать их количеством, разницей в возрасте, полом; моделирование воздействия и роли ровесников обеспечивает более яркую картину влияния друзей, обучения в школе и учителей.

В качестве альтернативной основы описания для второго уровня можно включить чувство собственного достоинства, уверенность в будущем, адаптируемость к новым людям и новым обстоятельствам и т.д., влияющих или находящихся под влиянием расположенных выше элементов.

Более полная основа психологической предыстории может включать несколько сотен элементов на каждом уровне, выбранных экспертами и расположенных таким образом, чтобы получить максимальное понимание рассматриваемого индивидуума.

Рассмотрим ограниченный случай, где испытуемый чувствует, что уверенность в его силы подорвана и его социальная приспособляемость ослаблена запретами в детстве. Ему задают вопросы только о детских впечатлениях и просят попарно установить связь между следующими элементами на каждом уровне.

Построим иерархию, в которой: ОБ – общее благополучие; Д – чувство собственного достоинства; У – чувство уверенности в будущем; А – способность адаптироваться к другим; П – явная привязанность, проявленная по отношению к субъекту; Э – идеи строгости, этики; Н – действительное наказание ребенка; Л – подчеркивание личной приспособляемости к другим; М – влияние матери; О – влияние отца; Р – влияние обоих родителей.


Д

У


П

Э

Н


Р

О

Рис. 14. Иерархическая схема общего благополучия индивидуума

Осуществим иерархический синтез:

Индивидууму посоветовали больше общаться с отцом с целью уравновешивания влияния родителей.

В приведенном примере некоторые матрицы несогласованные. Однако следует понимать, что человеку в данной ситуации нельзя было повторно задавать одни и те же вопросы до тех пор, пока все матрицы не стали бы однородными.

После решения задачи синтеза иерархии, оценивается однородность всей иерархии с помощью суммирования показателей однородности всех уровней, приведенных путем взвешивания к первому иерархическому уровню.

Пример. Рассмотрим иерархию из предыдущего примера. Пусть ИО1 – индекс согласованности 1-ого уровня; ИО21, ИО22 и ИО23 – индексы согласованности второго уровня; ИО31, ИО32, ИО33 и ИО34– индексы согласованности третьего уровня. Тогда индекс однородности иерархии можно определить следующим образом:

Для оценки отношения однородности используют следующее выражение:

, где

Однородность иерархии считается удовлетворительной при значениях .

Литература к главе 3:

  1. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий: Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1989. – 316 с.

  2. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, принятие решений в экономике – М.: Финансы и статистика, 2000. – 368с.

  3. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также хроника событий в Волшебных Странах: Учебник. – М.: Логос, 2000. – 296 с.

  4. Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия решений: Научно-практическое издание. – М.: СИНТЕГ, 1998. – 376 с.

  5. Варфоломеев В.И., Воробьев С.Н. Принятие управленческих решений: Учеб пособие для вузов. – М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2001. – 288 с.

  6. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2000. – 656 с.



Похожие документы:

  1. Литература к введению стр. 11

    Литература
    ... Нанофилософия и наномошенничество…………………………………………стр. 89 Литература к главе 1…………………………………………………………………..стр. 95 Глава 2. Синтез наноразмерных частиц " ... агент. стр. 314 Литература к главе 5 стр. 332 Глава 6. Применение структурированных электромагнитных ...
  2. Литература, рекомендуемая к прочтению детям в возрасте от 1 года до 7 лет

    Литература
    ... Художественная литература Продолжать развивать интерес к художественной литературе. Поддерживать желание знакомиться с другими главами понравившейся ...
  3. Пояснительная записка Рабочая программа разработана на основе Федеральный компонент Государственного стандарта основного общего образования по литературе

    Пояснительная записка
    ... фольклора других народов, древнерусской литературы, литературы XVIII в., русских писателей ... об историческом развитии русской литературы. Литература Древней Руси (4 ч.) ... человека» в отечественной литературе, содержание глав. Знать теоретико-литературные ...
  4. Рекомендации для воспитателей и родителей по преодолению нарушений речи у детей со стертой дизартрией Выводы по Главе 3

    Реферат
    ... Выводы по Главе 3………………………………………………………...61 Заключение ……………………………………………………………..62 Список литературы……………………………………………………...65 Приложение ... из введения, трех глав, заключения, списка литературы, приложений. ГЛАВА 1. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ...
  5. Литература 10 класс Домашние задания по теме «И. С. Тургенев. Роман «Отцы и дети»

    Литература
    ... Отцы и дети“». 2. Познакомиться с 2—4 главами романа, составить план развернутого ответа ... переживания Николая Петровича (конец VIII главы) с переживаниями Павла Петровича. ... Тургенева «Отцы и дети». Лишние люди в литературе ХIХ в. и «новый герой» И. С. ...

Другие похожие документы..