Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Другие навыки: опытная домработница, способная умело совмещать функции уборщицы, повара и ухода за детьми.Опыт работы 11 лет в одной семье!Высокий уро...полностью>>
'Урок'
Положительное направление на координатной прямой отмечают… Она показывает, что при движении вдоль прямой вправо числа …(уменьшаются или увеличиваются)...полностью>>
'Документ'
Об отмене особого противопожарного режима в лесах и о снятии ограничения пребывания граждан в лесах и въезда в них транспортных средств на территории ...полностью>>
'Документ'
Цель занятия: на конкретных примерах обсудить признаки деятельности организации как естественных систем, отработать соответствующие приемы анализа орг...полностью>>

Главная > Решение

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Содержание КВМ Часть 1.0

К У Р С

В Ы С Ш Е Й

М А Т Е М А Т И К И

Краткий конспект лекций

(Для Блондинок)

ЧАСТЬ 1

2001

Содержание:

Линейная алгебра. Основные определения.

Основные действия над матрицами.

Транспонированная матрица.

Определители.

Дополнительный минор.

Элементарные преобразования.

Миноры.

Алгебраические дополнения.

Обратная матрица.

Базисный минор матрицы.

Ранг матрицы.

Эквивалентные матрицы.

Теорема о базисном миноре.

Матричный метод решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Решение произвольных систем уравнений.

Совместные системы.

Определенные системы.

Однородная система.

Элементарные преобразования систем уравнений.

Теорема Кронекера - Капелли.

Метод Гаусса.

Элементы векторной алгебры.

Коллинеарные векторы.

Компланарные векторы.

Линейные операции над векторами.

Свойства векторов.

Базис.

Линейная зависимость векторов.

Система координат.

Ортонормированный базис.

Линейные операции над векторами в координатах.

Скалярное произведение векторов.

Векторное произведение векторов.

Смешанное произведение векторов.

Уравнение поверхности в пространстве.

Общее уравнение плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.

Уравнение плоскости по 2 точкам и вектору, коллинеарному плоскости.

Уравнение плоскости по точке и 2 векторам, коллинеарным плоскости.

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.

Уравнение плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости в векторной форме.

Расстояние от точки до плоскости.

Аналитическая геометрия.

Уравнение линии на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости.

Общее уравнение прямой.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Уравнение прямой по точке и угловому коэфициенту.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

Уравнение прямой в отрезках.

Нормальное уравнение прямой.

Угол между прямыми на плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно

данной прямой.

Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Кривые второго порядка.

Окружность.

Эллипс.

Фокусы.

Эксцентриситет.

Директрисы.

Гипербола.

Эксцентриситет гиперболы.

Директрисы гиперболы.

Парабола.

Полярная система координат.

Аналитическая геометрия в пространстве.

Уравнение линии в пространстве.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

Параметрическое уравнение прямой.

Направляющие косинусы.

Угловой коэффициент.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

Общие уравнения прямой.

Угол между плоскостями.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Угол между прямыми.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Угол между прямой и плоскостью.

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Поверхности второго порядка.

Цилиндрические поверхности.

Поверхности вращения.

Сфера.

Трехосный эллипсоид.

Однополостный гиперболоид.

Двуполостный гиперболоид.

Эллиптический параболоид.

Гиперболический параболоид.

Конус второго порядка.

Цилиндрическая и сферическая системы координат.

Связь цилиндрической и декартовой систем координат.

Связь сферической и декартовой системы координат.

Линейное (векторное) пространство.

Свойства линейных пространств.

Линейные преобразования.

Матрицы линейных преобразований.

Собственные значения и собственные векторы линейных

преобразований.

Характеристическое уравнение.

Собственное направление.

Преобразование подобия.

Линейная алгебра.

Основные определения.

Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Основные действия над матрицами.

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение. Матрица вида:

= E, называется единичной матрицей.

Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической.

Пример. - симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

cij = aij bij

Свойство коммутативности сложения:

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

Свойства дистрибутивности:

В) =А В

()А = А А

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

Операция умножения матриц.

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

AB = C;

.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц.

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

АЕ = ЕА = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

AO = O; OA = O,

где О – нулевая матрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа  верно соотношение:

(AB) = (A)B = A(B).

5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство:

(АВ)Т = ВТАТ, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB.

Понятие det (определитель, детерминант) будет рассмотрено ниже.

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = ; В = АТ=; другими словами, bji = aij.

В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:

(ABC)T = CTBTAT,

при условии, что определено произведение матриц АВС.

Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число  = 2. Найти АТВ+С.

AT = ; ATB = = = ;

C = ; АТВ+С = + = .

Пример. Найти произведение матриц А = и В = .

АВ = = .

ВА = = 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А=, В =

АВ = = = .

Определители.( детерминанты).

Определение. Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

det A = , где

М – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

det A =

Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

detA = , i = 1,2,…,n.

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители. Определитель единичной матрицы равен 1.

Для указанной матрицы А число М называется дополнительным минором элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:

det A = det AT;

Свойство 2. det (AB) = detAdetB

Свойство 3. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

Свойство 4. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо ненулевое число.

Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение:

d = d1 d2 , e = e1 e2 , f = f1 f2 , то верно:

Пример. Вычислить определитель матрицы А =

= -5 + 18 + 6 = 19.

Пример:. Даны матрицы А = , В = . Найти det (AB).

1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26.

2- й способ: AB = , det (AB) = 718 - 819 = 126 –

– 152 = -26.

Элементарные преобразования матрицы.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элемнтам одной строки элементов другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование;

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ).



Похожие документы:

  1. Учебно-методический комплекс (умк) предназначен для студентов, обучающихся по специальности 030501 «Юриспруденция» иизучающих юридическую риторику. Сведения об

    Учебно-методический комплекс
    ... содержит к каждой теме: план, краткий конспект лекций, вопросы и задания для самоконтроля, список основной и дополнительной ... , 6000 рублей денег, белая блондинка, ссадина в височной части головы, дефекты и недостатки) и тавтология ...
  2. Гандапас Радислав Камасутра для оратора. Десять глав о том, как получать и доставлять максимальное удовольствие, выступая публично

    Документ
    ... или написание плана-конспекта. И не всем ... нет? Очень часто для того, чтобы ... телеграммы отговорить тезисы и кратко ответить на вопросы. Я ... существуют стереотипы, что блондинки глупее, зато нежнее ... совет. Выступаю с лекцией для аудитории, которая старше ...
  3. Поурочные разработки по русской литературе ХХ века: 11 класс

    Урок
    ... работа над конспектом лекции; сообщения учащихся; лекция учителя. Ход ... знаменитую красавицу-блондинку, что его ... рассказов, обмен впечатлениями, краткий пересказ с зачитыванием фрагментов ... Источниками символизации для поэта часто служили конкретные ...
  4. Ирина Владимировна Лукьянова Корней Чуковский

    Документ
    ... литературном обществе, частью слушателей освистанный, частью – воспринятый с ... кратко: «Сиди смирно и читай про Линкольна». «А для практики, для дела, для ... ) выписку из конспекта лекций о Пушкине Владислава ... товар“ – своих блондинок, брюнеток, шатенок, ...
  5. От переезда в Петербург до путешествия в Арзрум

    Документ
    ... маленькая и субтильная блондинка, точно саксонская ... минуту расположена ярмарка, частью в нижней своей части, у прудов, ... продолжительность своих лекций, и для того, ... точно (краткое изложение ... сватовстве", -- записывает в конспекте Жуковский. Эта запись ...

Другие похожие документы..