Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
00-17.00 (1 3гр) 17.00 - 19.00 (1 4 гр) Суббота 11.00-13.00 (1 3гр) 13.00-15.00 (1 4гр) Каратэ Южный (1 - 11 класс) Росин Никита Александрович Вторник...полностью>>
'Документ'
Книга представляет собой сборник сказкотерапевтических занятий. Занятия строятся на коррекционно-развивающих играх, в основу которых положены сказки. ...полностью>>
'Документ'
После окончания в 1958 году Архангельского государственного педагогического института имени М.В. Ломоносова, он 9 лет работал учителем физики Нарьян-М...полностью>>

Главная > Методические указания

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Томский государственный университет систем управления и

радиоэлектроники (ТУСУР)

Факультет систем управления (ФСУ)

Кафедра автоматизированных систем управления (АСУ)

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Методические указания по самостоятельной и индивидуальной работе студентов для направления

010500.62 «Прикладная математика и информатика»

Томск-2012

Мицель А.А.

Численные методы: методические указания по самостоятельной и индивидуальной работе студентов для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика» / А.А. Мицель. – Томск: ТУСУР, 2012. – 23с.

Методические указания разработаны в соответствии с решением кафедры автоматизированных систем управления

Составитель: д.т.н., профессор каф. АСУ А.А. Мицель

Методические указания утверждены на заседании кафедры автоматизированных систем управлениям 28 августа 2012 г., протокол № 15

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

1. Общие рекомендации

4

2. Содержание дисциплины

4

2.1. Теоретический материал

4

2.2. Практические занятия

6

2.3. Лабораторные работы

6

3. Темы рефератов

7

4. Банк вопросов

8

5. Банк примеров и задач

11

5. Список рекомендуемой литературы

23

  1. ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Цель дисциплины - изучение теоретических методов и освоение практических навыков в использовании численных методов при решении различных прикладных задач.

Задачей дисциплины является изучение общих принципов построения вычислительных алгоритмов и приобретения навыков их практической реализации.

В результате изучения дисциплины студенты должны:

Знать

  • особенности математических вычислений, реализуемых на ЭВМ;

  • теоретические основы численных методов, погрешности вычислений, устойчивость и сложность алгоритма (по памяти, по времени счета);

  • численные методы линейной алгебры;

  • решение нелинейных уравнений и систем;

  • численное интегрирование и дифференцирование;

  • методы приближения функции;

  • методы решения дифференциальных уравнений;

  • методы решения интегральных уравнений;

Уметь

  • строить алгоритмы реализации численных методов решения прикладных программ;

  • разрабатывать программы, реализующие численные методы.

Владеть

  • навыками применения базового инструментария численных методов для решения прикладных задач;

  • методикой построения, анализа и применения численных моделей в профессиональной деятельности.

Дисциплина «Численные методы» относится к циклу дисциплин направления (ДН.Ф.9). Дисциплина «Численные методы» читается в 5 семестре и предусматривает чтение лекций, проведение практических занятий и лабораторных работ, выполнение контрольных работ, получение различного рода консультаций.

Успешное овладение данной дисциплиной предполагает предварительные знания по высшей математике и программированию, умение работать с компьютером в различных средах. Эти знания студенты приобретают при изучении дисциплин: «Математический анализ», «Геометрия и алгебра», «Дифференциальные уравнения», «Языки программирования и методы трансляции», «Математическая логика и теория алгоритмов».

Изучив дисциплину «Численные методы», студенты смогут использовать эти знания при изучении дисциплин «Методы оптимизации», «Теория игр и исследование операций», а также специальных дисциплин «Обработка экспериментальных данных на ЭВМ», «Системы цифровой обработки сигналов».

2 СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

2.1 Теоретический материал

Тема 1. Погрешности вычислений

Содержание темы. Источники погрешностей. Понятие приближенного числа. Абсолютная и относительная погрешности. Верные цифры числа. Связь относительной погрешности с количеством верных знаков числа. Погрешность суммы, разности, произведения, частного, степени. Общая формула для погрешности функции. Обратная задача теории погрешности.

Литература 1

Тема 2. Корректность вычислительных задач и алгоритмов

Лекции 2 часов

Самостоятельная работа 1 часа

Содержание темы. Постановка вычислительной задачи; обусловленность вычислительной задачи; корректность вычислительных алгоритмов; требования, предъявляемые к вычислительным алгоритмам.

Литература 1

Тема 3. Приближенное решение нелинейных уравнений

Содержание темы. Локализация корней; обусловленность задачи вычисления корня. Методы нахождения корней: перебора, бисекции (метод дихотомии); метод Ньютона; модификации метода Ньютона (упрощенный метод Ньютона, хорд, секущих, метод Стеффенсена); комбинированный метод; метод итераций. Обусловленность метода простой итерации и метода Ньютона; чувствительность к погрешностям.

Литература 1,2,3

Тема 4. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Содержание темы. Постановка задачи. Нормы векторов и матриц; абсолютная и относительная погрешность векторов. Обусловленность задачи решения систем линейных алгебраических уравнений. Прямые методы решения СЛАУ: метод Гаусса (схема единственного деления, схема с выбором главного элемента по столбцу); связь метода Гаусса с LU-разложением матрицы. QR-алгоритм решения СЛАУ (метод вращений). Метод ортогонализации; метод Халецкого. Итерационные методы решения СЛАУ: метод простой итерации, метод Зейделя. Сходимость итерационных процессов. Погрешности итерационных процессов. Решение переопределенной СЛАУ методом наименьших квадратов. Вычисление определителей: метод Гаусса, метод Халецкого. Вычисление обратной матрицы.

Литература 1,2,3

Тема 5. Вычисление собственных чисел и собственных векторов

Содержание темы. Постановка задачи. Преобразование подобия. Локализация собственных значений. Обусловленность задачи вычисления собственных значений и собственных векторов. Степенной метод вычисления максимального собственного числа. QR- алгоритм вычисления собственных чисел. Метод обратных итераций вычисления собственных векторов.

Литература 1,2,3

Тема 6. Решение систем нелинейных уравнений

Содержание темы. Постановка задачи; локализация корней; корректность и обусловленность задачи. Метод Ньютона; модифицированный метод Ньютона; упрощенный метод Ньютона. Метод итерации. Условия сходимости метода итераций. Градиентный метод.

Литература 1,2,3

Тема 7. Приближение функций

Содержание темы. Постановка задачи. Интерполяция обобщенными многочленами. Полиноминальная интерполяция, многочлен Лагранжа. Погрешность интерполяции. Минимизация погрешности. Интерполяционная формула Ньютона для равномерной сетки. Формула Ньютона для неравномерной сетки. Глобальная полиноминальная интерполяция. Чувствительность интерполяционного полинома к погрешностям входных данных. Интерполяция с помощью «скользящего» полинома. Кусочно-полиноминальная интерполяция. Преобразование Фурье, дискретное преобразование. Тригонометрическая интерполяция. Приближение сплайнами. Линейные, параболические, кубические сплайны. Ортогональные системы функций (показательные и тригонометрические функции).

Литература 1,2,4

Тема 8. Численное дифференцирование функций

Содержание темы. Простейшие формулы численного дифференцирования: вычисление первой производной, вычисление второй производной. Общий способ получения формул численного дифференцирования. Погрешности дифференцирования. Обусловленность формул численного дифференцирования. Постановка задачи.

Литература 1,2,3

Тема 9. Численное интегрирование функций

Содержание темы. Понятие о квадратурных формулах. Формулы Ньютона-Котеса. Формулы трапеций, Симпсона, Гаусса, прямоугольников. Погрешность квадратурных формул. Обусловленность квадратурных формул. Правило Рунге оценки погрешности квадратурных формул.

Литература 1,2,3

Тема 10. Решение дифференциальных уравнений

Содержание темы. Постановка задачи. Устойчивость решения задачи Коши: устойчивость на конечном отрезке, устойчивость по правой части. Численные методы решения задачи Коши (сетки и сеточные функции), дискретная задача Коши, явные и неявные методы, устойчивость). Метод Эйлера. Метод Рунге-Кутта, схемы 1, 2, 3 и 4 порядков точности. Решение систем дифференциальных уравнений. Решение уравнения n-го порядка.

Литература 1,2,3

Тема 11. Интегральные уравнения

Содержание темы. Классификация линейных интегральных уравнений. Дискретизация интегрального уравнения второго рода. Решение интегральных уравнений I рода. Регуляризация.

Литература 1,2

2.2 Практические занятия

Практические занятия предназначены для закрепления лекционного материала, разбора примеров и выполнения домашних и индивидуальных заданий.

Темы занятий

Литература

Тема 1. Нахождение нулей функций с одной переменной

2,3,7

Тема 2. Решение задач линейной алгебры

2,3,7

Тема 3. Численные методы решения систем нелинейных уравнений

2,3,7

Тема 4. Методы приближения функций

2,3,7

Тема 5. Дифференцирование функций

2,3,7

Тема 6. Вычисление интегралов

2,3,7

Тема 8. Методы решения дифференциальных

уравнений

2,3,7

Тема 9. Решение интегральных уравнений

2,3,7

2.3 Лабораторные работы

Темы лабораторных работ

Литература

Тема 1. Решение уравнений с одной переменной различными методами (методом Ньютона, хорд, комбинированным, итераций, золотого сечения) и сравнительный анализ этих методов

2,4,6

Тема 2. Решение систем линейных уравнений, вычисление определителей и обратной матрицы различными методами (методы Гаусса, декомпозиции,

ортогонализации, итерации, Зейделя)

2,4,6

Тема 3. Вычисление собственных значений и

собственных векторов

2,4,6

Тема 4. Интерполирование и численное дифференцирование функций (полином Ньютона для равномерной и неравномерной сетки, полином Лагранжа)

2,4,6

Тема 5. Приближение сплайнами (линейные, параболические, кубические)

2,5,6

Тема 6. Численное интегрирование (прямоугольников, формулы трапеций, Симпсона, Гаусса,)

2,4,6

Тема 7. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (метод Рунге-Кутта, схемы 1, 2, 3 и 4 порядков точности. Решение систем дифференциальных уравнений. Решение уравнения n-го порядка. Контроль

погрешности)

2,4,6

Тема 8. Решение интегральных уравнений первого и

второго рода

2,4,6

3. Темы рефератов

N

п/п

Наименование темы

Литература

1

Приближенные числа.

1

2

Модификации метода Ньютона поиска корней нелинейного уравнения с одной переменной

1,3,7

3

Метод ортогонализации решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Халецкого решения СЛАУ

1,2,3,7

4

Решение переопределенной СЛАУ методом наименьших квадратов.

1,2,3,7

5

Вычисление определителей и обратной матрицы.

1,2,3

6

Метод Зейделя решения системы линейных уравнений. Условия сходимости метода.

1,2,3,7

7

Методы спуска решения системы линейных уравнений.

1,2,3,7

8

Метод итераций решения системы нелинейных уравнений. Условия сходимости метода итераций.

1,2,7

9

Градиентный метод решения системы нелинейных уравнений.

1,2,3,7

10

Приближение сплайнами. Линейные, параболические, кубические сплайны.

1,2,5

11

Ортогональные системы функций (показательные и тригонометрические функции).

1

12

Погрешности квадратурных формул трапеций и Симпсона.

1

13

Интегральные уравнения

1

4. Банк вопросов

Введение

1. Основные этапы решения инженерной задачи

Глава 1. Приближенные числа

  1. Источники погрешностей

  2. Относительная и абсолютная погрешности приближенного числа.

  3. Значащие и верные цифры приближенного числа.

  4. Связь абсолютной и относительной погрешности числа с количеством верных цифр этого числа.

  5. Округление числа до значащих цифр.



Похожие документы:

  1. Программа дисциплины Теоретико-вероятностные методы математического моделирования для направления 010400. 68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистров Автор Соболевский А. Н

    Программа дисциплины
    ... по этой (010500.62) ... для преподавателей, ведущих данную дисциплину, и студентов направления подготовки 010400.68 «Прикладная математика и информатика ... самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Результирующая оценка по ...
  2. Обеспечение образовательного процесса по заявленной к лицензированию образовательной программы для всех направлений (специальностей) базовая часть профиль подготовки общий Физическая культура № п/п

    Документ
    ... методические указания для студентов 1-3 курсов. Самара. Самарский госуниверситет. 2003г. 37. И.М. Плешакова. Комплексы упражнений по ... 62 Прикладная математика и информатика ОК- 8 ОК- 13 ОК-16 ПК-12 ПК-13 Способность самостоятельно, методически ...
  3. Къ БР-м и къэрал лъэпкъ библиотэкэ Кабардино-Балкарской Республики КъБР-м И ПЕЧАТЫМ И ТХЫДЭ КъМР-ни БАСМА ЛЕТОПИСИ Къэрал библиографическэ указатель (6)

    Документ
    ... информатики [Текст]: для спец. 010500.68 «Прикладная математика и информатика» ... Методические указания к выполнению индивидуальных заданий и контрольных работ для студентов ... «Методические указания по организации самостоятельной работы студентов»: для ...
  4. А. Б. Александров [и др.]; Российский государственный университет нефти и газа им. И. М. Губкина; Под редакцией Б. Е. Прусенко, В. Ф. Мартынюка. М. Анализ опасностей, 2003. 351 с ил. Безопасность в нефтегазов

    Анализ
    ... для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности (направлению) подготовки ВПО 010501 (010500.62) "Прикладная математика и информатика ... ] : Методические указания по организации самостоятельной работы студентов специальности 060400 ...
  5. Къ БР-м и къэрал лъэпкъ библиотэкэ Кабардино-Балкарской Республики КъБР-м И ПЕЧАТЫМ И ТХЫДЭ КъМР-ни БАСМА ЛЕТОПИСИ Къэрал библиографическэ указатель (2)

    Документ
    ... указания для самостоятельной работы. Для спец.: 080801 – Прикладная информатика в экономике /Федер. агентство по ... Для спец.: 010501 – Прикл. математика и информатика и направлению 010500 – Прикл. математика и информатика /Федер. агентство по ...

Другие похожие документы..