Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Конкурс'
Место, дата и время вскрытия конвертов с заявками 09 сентября 2013 года в 09 часов 30 мин. по адресу представителя Заказчика: 153 , г. Иваново, ул. Ст...полностью>>
'Документ'
С 4 по 16 ноября 2013 года 90 технологических предпринимателей, частных инвесторов, серийных предпринимателей и сервис-провайдеров приняли участие в п...полностью>>
'Документ'
У человека ген, вызывающий одну из форм наследственной глухонемоты, рецессивен по отношению к гену нормального слуха. От брака глухонемой женщины с но...полностью>>
'Методические указания'
Контрольные работы предназначены для самостоятельной работы студентов (бакалавров) по изучению учебной дисциплины в межсессионный период. Она призвана...полностью>>

Главная > Литература

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 25»

Математика и шифры.

Выполнил: Кабанов Сергей, ученик 5 б класса

Руководитель: Денисова О. С.

учитель математики

Саранск, 2008 г.

Оглавление.

1.Введение…………………………………………………………………….стр.3

2.Глава 1. Матричный способ шифрования (теоретическая часть) ………стр.4

Задача1………………………………………………………………стр.5

Задача2……………………………………………………………....стр.6

Задача3……………………………………………………………....стр.7

3.Глава2. Мои способы шифрования (практическая часть) .…………... стр.8

4.Заключение………………………………………………………………... стр.9

5.Литература…………………………………………………………… ..… стр.10

6.Приложения………………………………………………………………..стр.11

Введение.

А вы когда – нибудь писали записки?

Тогда нет необходимости объяснять вам, зачем нужно шифровать те или иные тексты – от содержащих государственные тайны, до записок знакомой девочке или мальчику. Веками люди создавали самые различные системы тайнописи, но и владели ими только «посвящённые», умевшие и зашифровать текст, и расшифровать его. Естественно, что для «непосвящённых» важно разгадать шифр. Поэтому веками разрабатывались как способы расшифровки чужих шифров, так и способы создания своих шифров, которые не поддавались бы расшифровке. Проблема расшифровки связана также и с серьёзными проблемами гуманитарных наук - истории, археологии, и прежде всего с «воскрешением» так называемых мёртвых языков. Приведу несколько примеров. Так, древняя цивилизация в Египте оставалась тайной за семью печатями до тех пор, пока в 19 веке французский филолог Шампольон не смог расшифровать иероглифы, которые древним египтянам были хорошо понятны. И ещё один пример: наш соотечественник, ученый, историк, лингвист и этнограф Ю.В. Кнорозов в 20 веке расшифровал письменность древнего народа майя, жившего много веков назад на территории нынешней Мексики.

Огромную роль в проблеме расшифровки текстов играет, как ни странным это может показаться, математика.

Цели: 1) на популярном, практически игровом уровне познакомить учащихся с применением математики для решения задач кодирования и декодирования информации; 2) развивать такое важное умение, как выполнение заданного алгоритма.

Задачи: - изучив литературу по данному вопросу, познакомиться с каким -

либо новым способом шифрования текста,

- научиться применять полученные знания при решении задач,

- придумать новый способ шифрования,

- познакомить товарищей с новыми способами шифрования текста.

Гипотеза: проверить возможность усвоения учащимся 5 класса некоторых фрагментов алгебры матриц и умения применять полученные знания в изменённых условиях.

Теоретическая часть.

Глава 1. Матричный способ шифрования.

В этой главе я познакомлю вас с одним очень простым способом шифрования (кодирования) и расшифровки (декодирования). Чтобы научиться им пользоваться, достаточно знать лишь простейшую арифметику (на уровне 6 класса), порядок букв в алфавите и … всего лишь четыре числа. А расшифровать наш текст человеку непосвященному будет совершенно невозможно, ну, а специалисту, хотя для специалистов и ничего невозможного нет, и им этот способ хорошо известен, им для этого потребуется компьютер.

Для кодирования текста на русском языке, занумерую все буквы по месту их расположения в алфавите – от 1 до 33, добавив 34-ю букву - пробел (см. приложение 1).

Возьму какое-нибудь простое предложение, например, «шла зима», и каждую букву заменю соответствующей цифрой, получится:

26, 13, 1, 34, 9, 10, 14, 1.

Затем построю из этой последовательности две таблички 2×2:

﴾ 26 13 ﴿ , ﴾ 9 10 ﴿

1 34 14 1 .

Такие таблички из четырёх чисел называются термином из «настоящей» науки алгебры, который, возможно, некоторые из вас уже слышали, - матрицей, точнее – матрицей 2 × 2.

Зашифрую эту последовательность с помощью ещё одной матрицы

﴾ 2 3 ﴿

1 2 - кодирующей – последующему хитроумному правилу:

(2 3 × (26 13 (2 × 26 + 3 × 1 2 × 13 + 3 × 34 ( 55 128

1 2) 1 34) = 1 × 26 + 2 × 1 1 × 13 + 2 × 34) = 28 81) ,

﴾2 3 ﴾ 9 10 ﴾ 2 × 9 + 3 × 14 2 × 10 + 3 × 1 ﴾ 60 23

1 2) × 14 1) = 1 × 9 + 2 × 14 1 × 10 + 2× 1) = 37 12) .

Такой способ шифрования называют матричным. Наш адресат получит текст:

55, 128, 28, 81, 60, 23, 37, 12.

А как же он его расшифрует? Оказывается и это нетрудно: он должен взять декодирующую матрицу ﴾ 2 -3 ﴿ и проделать с полученным текстом

-1 2

то же самое, что я делал с исходным текстом:

﴾ 2 -3 ﴾55 128 ( 2 × 55 + ﴾-3﴿ × 81 2 × 128 + ﴾-3﴿×81 ( 26 13

-1 2 ﴿ × 28 81 ﴿ = ﴾-1﴿ × 55 + 2 × 28 ﴾-1﴿ × 128 + 2 ×81) = 1 34 ﴿ ,

﴾2 -3 × ﴾60 23 ﴾2 × 60 + ﴾-3﴿ × 37 2 × 23 + ﴾ -3 ﴿ × 12 ﴾ 9 10

-1 2﴿ 37 12﴿ = ﴾ -1﴿ × 60 + 2 × 37 ﴾ -1﴿ × 23 + 2 × 12 ﴿ = 14 1 ﴿.

После замены матриц на последовательность 26, 13, 1, 34, 9, 10, 14, 1, а затем - чисел на буквы дешифровальщик получит исходный текст «шла зима».

Ясно, что никто посторонний, не знающий ни кодирующей, ни декодирующей матрицы, получить этот текст не сможет.

Однако матричный способ шифрования не мог бы существовать, если бы в качестве кодирующей можно было брать только матрицу: ﴾ 2 3﴿

  1. 2 .

На самом деле таких матриц бесконечно много, придумать их очень легко. И вообще, можно менять систему «тайнописи» хоть каждый день. Для этого нужно знать очень немного – уметь любые две матрицы «перемножать», т.е. по определённому правилу составлять из них третью.

До этого общего правила умножения матриц не так трудно догадаться, анализируя приведённые примеры.

Оно может быть записано в виде следующей формулы:

x y p q (xp + yr xq + ys

z t ﴿ × r s ﴿ = zp + tr zq + ts ) .

Естественно, назвать третью матрицу произведением первых двух и ввести обозначение: АВ = С. Такая терминология используется в математике, где изучаются не только числа и действия над ними, но и объекты более сложные, чем числа. Замечу, что в этом случае не выполняются ни переместительный, ни даже сочетательный законы.

Рассмотрю ещё несколько примеров на нахождение произведения матриц:

Задача 1.

а) (1 0 (0 1 (1×0 + 0×0 1×1 + 0×0 (0 1

0 0 ) × 0 0) = 0×0 + 0×0 0×1 + 0×0 ) = 0 0),

  1. 1 (1 0 (0×1 + 1×0 0×0 + 1×0 (0 0

0 0 ) × 0 0) = 0×0 + 0×0 0×0 + 0×0) = 0 0).

Обратите внимание на тот факт, что произведение матриц зависит от порядка множителей, следовательно, при кодировании и декодировании надо соблюдать порядок множителей: при шифровке ставим кодирующую матрицу первым множителем – слева, и декодирующую – при расшифровке тоже слева. Можно, впрочем, обе матрицы – кодирующую и декодирующую – ставить справа.

б) (x y (1 0 (x×1 + y×0 x×0 + y×1 (x y

z t) × 0 1) = z×1 + t×0 z×0 + t×1) = z t) и

(1 0 (x y (1×x + 0×z 1×y + 0×t (x y

0 1) × z t) = 0×x + 1×z 0×y + 1×t) = z t),

оба произведения равны. Обратите внимание на то, что в данном случае произведение матриц не зависит от порядка множителей. Кроме того, нетрудно заметить, что роль матрицы (1 0

0 1) при умножении матриц такая же, как и числа 1 при умножении чисел, - она не меняет второго множителя. Эта матрица, поэтому и называется единичной и обозначается буквой Е.

в) (2 3 (2 -3 (2 -3 (2 3

1 2) × -1 2) = Е, -1 2) × 1 2) = Е.

Оба произведения равны Е. Замечу, что множители в произведениях – это рассмотренные выше кодирующая и декодирующая матрицы.

Задача 2.

А теперь рассмотрим задачу такую: зашифруем данный текст, используя в качестве кодирующей матрицу (1 2

0 1): а) «Авангард» - чемпион;

б) Вася + Катя = любовь.

При шифровании возникают две новые трудности – неясно, что делать с тире, если просто выбросить из предложения, то получится предложение из 15 букв, а 15 не делится на 4, и поэтому при представлении последовательности номеров букв матрицами неясно, что делать с последними тремя буквами.

Можно предложить несколько вариантов решения возникших проблем. В задаче б) вместо знаков «+» и «=» можно поставить слова «плюс» и «равно», а равно можно не учитывать. Неучёт знаков препинания, как правило, не влияет на смысл сообщения, а предложения типа: «Казнить нельзя помиловать» можно записывать либо в виде «Казнить нельзя запятая помиловать», либо в виде «Казнить запятая нельзя помиловать». В реальных кодируемых текстах такой эффект зависимости смысла предложения от постановки запятой встречается редко, хотя шифрующий всегда должен помнить и об этом.

Имеется и другая возможность: включить в исходный, русский алфавит и знаки препинания, и математические символы, но это заведомо осложнило бы дальнейшую работу – и запоминание кодов символов, и вычисления.

Но вернёмся к решению нашей задачи. а) Если знак тире заменить пробелом, а буквы - цифрами, то получится следующая последовательность чисел:

1, 3, 1, 15, 4, 1, 18, 5, 34, 25, 6, 14, 17, 10, 16, 15. Далее составим матрицы:

(1 3 (4 1 (34 25 (17 10

1 15), 18 5), 6 14), 16 15).

После применения кодирующей матрицы получаем следующий текст: 1, 5, 1, 17, 4, 9, 18, 41, 34, 93, 6, 26, 17, 44, 16, 4 - это и есть шифровка.

б) Если знаки «+» и «=» заменить словами «плюс» и «равно», а в конце добавить пробел, а затем выполнить всё то, что делалось в предыдущей задаче, то получится текст: 41, 67, 19, 33, 60, 81, 13, 32, 43, 36, 12, 1, 88, 69, 34, 18, 31, 35, 15, 16, 98, 17, 32, 2, 76,71, 30, 34.

Задача 3.

А теперь научимся выполнять обратную задачу: расшифровывать текст. Предположим, что мною получены следующие сообщения: а) 116, 58, 32, 19, 58, 115, 19, 34, 37, 57, 6, 12; б) 60, 51, 17, 16, 58, 79, 16, 15, 48, 79, 14, 15. Узнаю, что же здесь зашифровано с помощью декодирующей матрицы (0 1

1 -3).

Составлю матрицы 2 × 2 из полученных чисел:

  1. 58 (58 115 (37 57

32 19), 19 34), 6 12), применю декодирующую

матрицу, причём поставлю её первой, тогда получаю:

( 0 1 (116 58 (0×116 + 1×32 0×58 + 1×19 (32 19

1 -3) × 32 19) = 1×116 + (-3)×32 1×58 + 19×(-3)) = 20 1),

  1. 1 (58 115 (0×58 + 1×19 0×115 + 1×34 (19 34

1 -3) × 19 34) = 1×58 + (-3)×19 1×115 + (-3)×34) = 1 13),

  1. 1 (37 57 ( 0×37 + 1×6 0×57 + 1×12 (6 12

1 -3) × 6 12) = 1×37 + (-3)×6 1×57 + (-3)× 12) = 19 21),

а последовательность чисел будет такая: 32, 19, 20, 1, 19, 34, 1, 13, 6, 12, 19, 21, что будет обозначать: Юстас Алексу.

Вторая зашифрованная фраза будет такой – позвони мне. Можете убедиться в этом самостоятельно.

Таким образом, у меня осталось пока, по крайней мере, два не рассмотренных вопроса: какую ещё можно придумать кодирующую матрицу и как для новой кодирующей получить декодирующую? Решение этого вопроса требует рассмотрения так называемой алгебры матриц

Если в качестве кодирующей матрицы взять матрицу вида А= (x y

z t), то для того, чтобы она существовала необходимо выполнение следующего условия: хt – уz = ±1, причем выражение хtyz можно назвать определителем матрицы. Кроме того, также появляется условие существования обратной матрицы: хt – yz ≠ 0.

Глава 2. Практическая часть.

Мои способы шифрования.

Меня давно уже интересовала проблема передачи информации способами доступными лишь «посвящённым». И у меня даже есть несколько способов шифрования текста, хотя, по сравнению со вновь узнанным, эти способы теперь кажутся мне совсем детскими. Вот лишь некоторые из них:

1) буквы заменяются суммой чисел (число – номер буквы в алфавитном порядке, нумеровать буквы можно и с конца алфавита). Например, фраза: «число слов» будет выглядеть так - 25+10+19+13+16 19+13+16+3.

2) к каждому числу, обозначающему номер буквы по алфавиту, прибавляется одно и то же условное число, допустим, число 5. Например: слово «звезда» после шифрования будет выглядеть так - (9 + 5) + (3 + 5) + (6 + 5) + (9 + 5) + ( 5+ 5) + (1 + 5) = 14 + 8 + 11 + 14 + 10+ 6.

3) и ещё один способ кодирования текста хочу предложить вашему вниманию, я придумал его сам.

Возьму ту же самую фразу: «шла зима» и заменю её последовательностью чисел: 26, 13, 1, 34, 9, 10, 14, 1. Затем построю матрицы (26 13 (9 10

1 34), 14 1). Зашифрую эту последовательность с помощью кодирующей матрицы, причём кодирующую матрицу поставлю на второе место, хотя в принципе это не важно, т.к. в алгебре матриц не выполняется коммутативность (переместительный закон) умножения, но не сложения. В качестве кодирующей возьму матрицу К = (1 1

3 4).

Для этого использую такое правило: буду складывать соответственные элементы матриц, и назову это - суммой матриц, т.е.

b (x y (а+х b+y

c d) + u v) = с+u c+v), тогда

(26 13 (1 1 (26+1 13+1 (27 14

1 34) + 3 4) = 1+3 34+4) = 4 38),

(9 10 (1 1 (9+1 10+1 (10 11

14 1) + 3 4) = 14+3 1+4) = 17 5), а адресат получит текст: 27, 14, 4, 38, 10, 11, 17, 5.

Чтобы прочитать его, нужно опять составить матрицы и применить к ним декодирующую. Её роль выполнит матрица: -К = (-1 -1

-3 -4).

Все действия, которые я выполнял с матрицами 2 × 2 можно выполнить и с любыми другими матрицами, например 3 × 3, только всё это будет несколько сложнее.

Заключение.

Изучив литературу по данному вопросу, я открыл для себя новый, хитроумный способ кодирования текста - матричный, познакомился с понятием матрицы, научился находить произведение и сумму матриц, словом, научился кодировать матричным способом, да и не только это. Я придумал свой способ шифрования. А потом, когда я буду учиться в институте и изучать алгебру, то, то немногое, что я узнал из алгебры матриц, мне, конечно, пригодится.

Литература.

    1. Дорофеев Г. В., Бунимович Е.А. и другие. «Избранные вопросы математики», ж. Математика в школе. №10 - 2003г.

    2. Болтянский В. Г., Кордемский Б. А., «Необыкновенная арифметика». Детская энциклопедия. Изд.1-е. Т.3.

    3. Ланкастер П., «Теория матриц». Изд. «Наука», гл.ред. физико-математической литературы. М- 1978г.

Приложение 1.

а

б

в

г

д

е

ё

ж

з

и

й

К

л

м

н

о

п

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

р

с

т

у

ф

х

ц

ч

ш

щ

ъ

Ы

ь

э

ю

я

#

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

Тезисы доклада по теме: « Математика и шифры».

1.Нет необходимости объяснять вам, зачем нужно шифровать те или иные тексты – от содержащих государственные тайны, до записок знакомой девочке или мальчику. Веками люди создавали самые различные системы тайнописи, но и владели ими только «посвящённые».

2.Для кодирования текста на русском языке, занумерую все буквы по месту их расположения в алфавите – от 1 до 33, добавив 34-ю букву – пробел. Зашифрую фразу: шла зима.

Построю из этой последовательности две таблички 2×2:

﴾ 26 13 , ﴾ 9 10

1 34) 14 1) .

Такие таблички из четырёх чисел называются термином из «настоящей» науки алгебры, который, возможно, некоторые из вас уже слышали, - матрицей, точнее – матрицей 2 × 2.

Зашифрую эту последовательность с помощью ещё одной матрицы

﴾ 2 3

1 2) - кодирующей – последующему хитроумному правилу:

x y p q (xp + yr xq + ys

z t ﴿ × r s ﴿ = zp + tr zq + ts ),

такой способ шифрования называют матричным.

3.Мои способы шифрования:

1) буквы заменяются суммой чисел (число – номер буквы в алфавитном порядке, нумеровать буквы можно и с конца алфавита).

2) к каждому числу, обозначающему номер буквы по алфавиту, прибавляется одно и то же условное число,

3) и ещё один способ кодирования текста хочу предложить вашему вниманию, я придумал его сам.

Для этого использую такое правило: буду складывать соответственные элементы матриц, и назову это - суммой матриц, т.е.

(а b (x y (а+х b+y

c d) + u v) = с+u c+v).

5.Я узнал новый способ кодирования текста - матричный, познакомился с понятием матрицы, научился находить произведение и сумму матриц.



Похожие документы:

  1. Литература стр. 389 вопросы 6-8 Обществознание

    Литература
    ... . Технология &10-11 стр. 34-37 (читать). Обществозн. Физкультура Литература Читать стр.3-10. Вопросы 1-5 Химия ... вар 6 зад. 8-10 Немецкий стр.127 стих. учить Литература Чит.стр.212-224.конспект ...
  2. Литература стр. 21

    Литература
    ... стр.18 4. «Золотой жук» ………………………………………………….............стр.19 Заключение…………………………………………………………………...стр.20 Литература…………………………………………………………................стр.21 Приложения…………………………………………………………………..стр ... А Ф И Я 5 8 3 7 10 6 2 9 1 11 4 12 Процедура ...
  3. Урок-исследование по литературе в 10-м классе с применением икт

    Урок
    ... русского языка и литературы Антонова С.К. Урок-исследование по литературе в 10-м классе с применением ... нашего героя? Происхождение. (стр. 121-122) (стр. 125) Предначертание влияет ... , опять привыкнешь: пей!» (стр. 175 гл. 10) «начал ходить с ярмарки ...
  4. Литература стр. 17 (2)

    Литература
    ... ……………… …………….. .стр. 10 6) По Шеграскому району……………… …………………... ..стр. 11 7) По Томскому району…………………………………...........стр. 12 Заключение……………………………………………………...стр. 16 Литература………………………………………………………стр ...
  5. Литература. Стр. 28

    Литература
    ... .Проектная деятельность. Стр. 26 V.Заключение. стр. 26 – 27 Литература. Стр. 28 Метод ... 64% русский- 10 класс 10 2 8 нет 100% 20% литература- 10 класс 10 9 1 нет ... . № 21, 2009. Черкашина Т. В. Литература 10 класс. Проектная деятельность. Волгоград: ИТД ...

Другие похожие документы..