Литература. Введение

ГОУ Педагогическая академия

Проект

Обобщающее повторение темы « Квадратные уравнения»

в условиях новой формы ГИА – 9

Исполнитель: И.А. Гулякина

МОУ «СОШ 11», учитель.

Научный руководитель:

А.Н. Залунина,

старший преподаватель

кафедры математических

дисциплин.

Город Подольск,2010

Содержание

1. Введение.

2. Основная часть.

§1 Квадратные уравнения в первой части экзаменационной работы.

1.1 Теоретические сведения.

1.2 Неполные квадратные уравнения.

1.3 Квадратные уравнения, в которых ни один из коэффициентов не равен 0.

1.4 Формула D = b² – 4ac.

1.5 «Дополнительный вопрос».

1.6 Теорема Виета.

1.7 Уравнения с четным вторым коэффициентом.

1.8 Задания на соотнесение.

§2 Уравнения с параметром второй части экзаменационной работы.

3. Заключение.

4. Литература.

Введение.

Начиная с 2004 года, в России появилась новая форма организации и проведения итоговой аттестации за курс основной школы.

Новая форма государственной итоговой аттестации выпускников 9 классов общеобразовательных учреждений (школ, гимназий, лицеев), освоивших программу основного общего образования, является средством получения независимой, объективной оценки знаний учащихся и может считаться элементом общероссийской системы оценки качества образования.

Экзаменационная работа состоит из двух частей. Первая часть направлена на проверку базовой подготовки школьников, отражающей уровень минимальной компетентности в арифметических и алгебраических вопросах. Она включает 18 заданий. При их выполнении запись решения не требуется. Учащиеся должны предъявить только ответы:

-выбрать правильный из четырех предложенных;

-записать ответ;

-соотнести некоторые объекты.

Задания в первой части располагаются группами в соответствии с разделами содержания. Содержание курса разбито на блоки:

-числа;

-буквенные выражения;

-преобразование выражений;

-уравнения и текстовые задачи;

-неравенства;

-последовательности и прогрессии;

-графики и функции;

-элементы статистики и теории вероятностей.

Каждое задание соотносится с одной из четырех категорий познавательной области:

-знание/понимание;

-умение применять известный алгоритм;

-умение применять знания для решения математической задачи;

-применение знаний в практической ситуации.

При выполнении заданий первой части учащиеся должны продемонстрировать определенную системность знаний, умение пользоваться разными математическими языками, распознавать стандартные задачи в разнообразных формулировках. По сравнению с традиционной практикой в ней усилены понятийный и практические аспекты.

Вторая часть работы направлена на дифференцированную проверку владения материалом на повышенном уровне. Эта часть содержит 5 заданий. Задания расположены по нарастанию сложности. Первое задание – самое простое. По уровню сложности оно немного превышает обязательный уровень. Следующие два задания более высокого уровня. Последние два –наиболее сложные. Эти задания выполняются с записью решения. Каждое из них относится к одному из содержательных блоков:

-выражения и их преобразования;

-уравнения;

-системы уравнений;

-неравенства;

-функции;

-координаты и графики;

-арифметическая и геометрическая прогрессии;

-текстовые задачи.

Основная часть

§1 Квадратные уравнения в первой части экзаменационной работы.

В данном проекте рассматривается тема: «Квадратные уравнения» из блока «Уравнения и текстовые задачи». Материал рекомендуется использовать для обобщающего повторения при подготовке к государственной итоговой аттестации (в новой форме) по алгебре. Он рассчитан на детей слабого класса, но применим и для всех остальных. Количество часов по усмотрению учителя ( 4 часа).

По данной теме ученики должны знать и понимать термины:

-уравнение с одной переменной;

-корень уравнения;

-квадратное уравнение;

-неполное квадратное уравнение;

-приведенное квадратное уравнение.

Уметь:

-выяснять - является ли число корнем уравнения;

-решать квадратное уравнение.

1.1 Теоретические сведения.

Определение. Корнем уравнения с одним неизвестным называют значения неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Определение. Решить уравнение с одним неизвестным - значит найти все его корни.

Определение. Квадратным уравнением с одним неизвестным x называют уравнение вида ax²+bx+c=0, где x-неизвестное, a, b и c-некоторые числа (коэффициенты уравнения), причем a не равно 0.

a - называют первым коэффициентом,

b - вторым коэффициентом,

с - свободным членом.

Квадратное уравнение с a=1 называют приведенным квадратным уравнением.

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов равен 0 (кроме a), то уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Выражение

D=b²-4ac

называют дискриминантом квадратного уравнения ax²+bx+с=0.

По дискриминанту квадратного уравнения определяют, сколько оно имеет корней:

Если D>0, то уравнение имеет два различных корня;

Если D=0, то уравнение имеет один корень (или два совпавших корня);

Если D<0, то уравнение не имеет корней.

Формулы корней квадратного уравнения

Корни уравнения ax²+bx+c=0 находят по формуле .

Корни квадратного уравнения, в котором второй коэффициент – четное число, можно вычислять по формуле , где .

Теорема Виета

Если приведенное квадратное уравнение x²+px +q=0 имеет корни, то сумма корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. если

x₁ и x₂ - корни уравнения x²+px+q=0, то

Обратная теорема Виета

Если сумма двух чисел равна второму коэффициенту приведенного квадратного уравнения, взятому с противоположным знаком, а их произведение рано свободному члену, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения, т.е если выполняются условия

то x₁ и x₂ - корни уравнения x²+px+q=0.

1.2 Неполные квадратные уравнения.

Задание 1.

Решите уравнение 3x² + x = 0.

Решение: 3x²+x=0.

Вынесем за скобки общий множитель

x(3x+1)=0

x = 0 или 3x + 1 = 0

3x = -1

x =

Ответ: 0; .

1. Решите уравнение

3x – x² = 0

Ответ:

2. Решите уравнение

5x² + 20x = 0

Ответ:

3. Решите уравнение

x² – 2x = 0

Ответ:

4. Решите уравнение

4x² – 3x = 0

Ответ:

Задание 2. Решите уравнение 2x² – 8 = 0.

Решите: 2x² – 8 = 0

Выразим x², т.е.

2x² = 8

x² = 4

x₁ = 1 x₂ = -2

Ответ: -2 ; 2

2.1 Решите уравнение 2x² – 50 = 0.

Ответ:

2.2 Решите уравнение 3x² – 27 = 0.

Ответ:

2.3 Решите уравнение x² – 12 = 0.

Ответ:

2.4 Решите уравнение x² – 16 = 0.

Ответ:

Этими упражнениями отрабатываем решения неполных квадратных уравнений. Решаем их без применения формулы корней квадратного уравнения. Находим корни.

Понятия: неполные квадратные уравнения, корень.

3. Квадратные уравнения, в которых ни один из коэффициентов не равен 0.

Задание 3. Решите уравнение 2x² + 3x – 5 = 0.

Решение: 2x² + 3x – 5 = 0

a = 2 b = 3 c = -5

D=b²-4ac

D=3²– 4 * 2 *(-5) = 9 + 40 = 49

D>0, 2 корня

x_1,2 =

x₁ = 1

x₂ = -2,5

Ответ:-2,5; 1.

Подсчитаем сумму коэффициентов этого уравнения: 2+3+(-5)=0. Число 1 является корнем этого уравнения.

Если мы решаем квадратное уравнение ax²+bx+c=0 и сумма его коэффициентов равна нулю a+b+c=0, то один из корней уравнения равен 1.

3.1 решите уравнение 5x² + 4x – 1 = 0

Ответ:

3.2 Решите уравнение 2x² + 3x – 2 = 0

Ответ:

3.3 Решение уравнение 3x² + 8x – 3 = 0

Ответ:

3.4 Решите уравнение 2x² – x – 6 = 0

Ответ:

3.5 Решите уравнение x² – 3x – 4 = 0

Ответ:

3.6 Решите уравнение x² – 7x + 10 = 0

Ответ:

3.7 Решите уравнение x² – 5x + 6 = 0

Ответ:

3.8 Решите уравнение x² – 3x – 10 = 0

Ответ:

3.9 Решите уравнение x² – x – 12 = 0

Ответ:

3.10 Решите уравнение x²- 7x + 12 = 0

Ответ:

Данные уравнения решаем с помощью формулы корней квадратного уравнения. Отрабатываем формулы: дискриминант, корни квадратного уравнения.

Понятия: квадратные уравнения, дискриминант, корень.

1.4 Формула D=b²-4ac

Задание 4.

Укажите уравнение, которое имеет два различных корня.

A. 3x² + 7x + 5 = 0 B. 5x²– 6x + 1 = 0

Б. 9x² + 5x + 1 = 0 Г. 2x² - 5x + 5 = 0

Решение:

1. 3x² + 7x + 5 = 0

D=49 – 4*3*5 = 49 – 60 = -11

D< 0, корней нет.

Б. 9x² + 6x + 1 = 0

D = 36 – 4*9*1 = 36 -36 = 0

D = 0, один корень.

В. 5x² – 6x + 1 + 0

D = 36 – 4*5*1 = 16

D = 16 > 0, 2 корня .

Г. 2x²– 5x+ 5 = 0

D=25- 4*2*5 = 25 – 40 = -15

D < 0, корней нет.

Ответ: В.

4.1 Укажите уравнение которое имеет два различных корня

А. 2x² + 5x + 4 = 0 В. x² – 4x + 4 = 0

Б. 9x² + 4x + 1 = 0 Г. x² – 7x + 5 = 0

4.2 Укажите уравнение, которое имеет два различных корня.

А. 3x² + 5x + 2 = 0 В. 5x² - 6x + 4 = 0

Б. 4x² -4x+1=0 Г. 4x² – 4x + 5 = 0

4.3 Укажите уравнение, которое имеет два различных корня.

А. 3x² + 5x + 3 = 0 В. 3x² – 4x + 2 = 0

Б. 3x² + 6x + 1 = 0 Г. 4x²+ 4x + 1 = 0

4.4 Укажите уравнение, которое не имеет корней.

А. 2x² + 5x +5 = 0 В. 5x² + 2x – 1 = 0

Б. 9x² + 6x + 1 = 0 Г. 4x² -3х-1=0

4.5 Укажите уравнение, которое не имеет корней

А. 3x² + x – 7 = 0 В. x² + 6x + 9 = 0

Б. 5x² + 4x – 1 = 0 Г. 3x² – 7x + 5 = 0

В этих упражнениях вычисляем дискриминант и отвечаем на вопрос задания.

Понятия: дискриминант, корень.

1.5 «Дополнительный вопрос».

Задание 5.

Решите уравнение х²– х + 1 = - х + 10. Найдите произведение корней уравнения.

Решение: х²– х + 1 = - х + 10

х²– х + 1 + х – 10 = 0

х²– 9= 0

х₁ = 3 х₂ = - 3

х₁ х₂ = 3*(-3) = - 9

Ответ: - 9

5.1 Решите уравнение 4х² – 28 = 0.

Если корней несколько найдите их произведение:

1) 7 2) -7 3) корней нет

5.2 Решите уравнение х²+ 2х – 3 = х – 1 . В ответе запишите сумму его корней

Ответ:

5.3 Решите уравнение 7(х +1)– 2 = х²+5. В ответе укажите сумму корней.

1) 7 3) -5

2)-7 4) 3

5.4 Решите уравнение х( х – 1) = 3 – х . В ответе укажите больший корень.

1) 3 3)

2) 4) -3

5.5 Решите уравнение ( х + 1)² = 1. В ответе укажите только натуральные корни.

1) 0 2) – 2; 0

3) 2 4) таких корней нет

5.6 Решите уравнение (4х – 1) (х + 3) = х²– 4х – 3

Если корней несколько, найдите их среднее арифметическое.

1) 2,5 2) нет корней

3) 0 4) – 5

5.7 Решите уравнение х²– 7х + 10 = 0. Если корней несколько, найдите их среднее арифметическое

1) – 3,5 2) 2

3) 3,5 4) нет корней.

Этими заданиями обращаем внимание детей на то, чтобы они внимательно читали задания.

На дополнительный вопрос в задании: найти сумму или произведение корней можно ответить даже не находя корни уравнения. Надо вспомнить теорему Виета.

1.6 Применение теоремы Виета.

Задание 6.

Не решая уравнения 2x²+2x-3=0, найдите:

a)x₁+x₂; b)x₁ x₂; с)x+x

Решение.

Известно, что x₁ и x₂ – корни квадратного уравнения. Применим теорему Виета. Сначала необходимо сделать исходное уравнение приведенным, т.е. разделить на 2. Получаем: x²+x-1,5=0.

По теореме Виета:

Поэтому a) x₁+x₂=-1

b) x₁ x₂=-1,5

с) x+x=(x₁+x₂)²-2x₁ x₂=1+2*1,5=4

Ответ: a) -1; b) -1,5; c) 4.

Задание 6.1 Найдите сумму корней квадратного уравнения x² – 6x + 2 = 0.

1) корней нет 2) 2

3) 6 4) 6

6.2 Найдите сумму корней квадратного уравнения x²+7x+4=0.

1) 7 2) нет корней

3) -7 4) 4

6.3 Найдите произведение корней квадратного уравнения x²-7x-6=0.

1) 7 2) нет корней

3) 6 4) -6

6.4 Найдите произведение корней квадратного уравнения х²+ 5х + 2 = 0

1) – 2,5 2) 2

3) – 2 4) нет корней

6.5 Найдите произведение корней квадратного уравнения 1,7x² – 0,7x– 3,4 = 0

1) – 3,4 2) – 2

3) 2 4) нет корней

6.6 Найдите произведение корней квадратного уравнения 0,8х² - 5х + 3,2 = 0

1) 3,2 2)

3) нет корней 4) 4

6.7 Найдите сумму квадратов корней уравнения 2х² + 3х – 4 = 0

Ответ:

6.8 Найдите сумму квадратов корней уравнения х²+ 5х+ 1 + 0

Ответ:

В этих заданиях отрабатываем теорему Виета.

Понятия: коэффициент, приведенное квадратное уравнение, корень, сумма и произведение корней.

1.7 Уравнения с четным вторым коэффициентом.

Задание 7.

Решите уравнение x²-32x+31=0.

Решение.

В уравнении a=1, b=-32,c=31.

Применим формулу для уравнений с четным вторым коэффициентом

=(-16) ²-1*31=256-31=225

x = 31 или x = 1

Ответ: 31; 1.

Класс слабый, но напомнить и показать решение уравнений с четным вторым коэффициентом надо.

1.8 Задания на соотнесение.

Задание 8.

Каждое уравнение соотнести с множеством его корней.

1. 0,5х² – 2х = 0 2) 0,5x²-2= 0

3) 0,5х² = 0

а) 0 б) -2 и 2 в) 0 и 4

Решение.

Решим сначала первое уравнение. Вынесем за скобки общий множитель.

х(0,5x– 2) = 0

х = 0 или 0,5x– 2 = 0

х = 0 или х = 2 : 0,5

х = 0 или х = 4

Итак, корнями первого уравнения являются числа 0 и 4.

Решим второе уравнение. Выразим х², т. е

х² = 2 : 0,5

х² = 4

Корнями второго уравнения являются числа 2 и -2 .

Осталось решить третье уравнение. При решении его тоже выразим х².

х² = 0.

х=0.

Ответ: 1)-в; 2)-б; 3)-а.

8.1. Каждое уравнение, имеющее корни, соотнести с множеством его корней.

1) x²=0,01 А. 0 и 0,1

2) x²-0,01x=0 Б. нет корней

3) x²=-0,01 В. 0 и -0,1

4) x²+ 0,1x=0 Г. -0,1 и 0,1

8.2. Каждое уравнение, имеющее корни, соотнесите с множеством его корней.

1) x²-4=0 А. 2 и -2

2) x²+4=0 Б. 0 и -1

3) x=-x² В. нет корней

8.3. Каждое уравнение соотнесите с множеством его корней.

1) x²=x А. 1 и -1

2) x²=-x Б. 0 и 1

3)x²=-1 В. 0 и -1

4) x²=1. Г. корней нет.

8.4. Каждое уравнение соотнесите с множеством его корней.

1) x²-1=0 А. 0 и -1

2) x²+1=0 Б. 0 и 1

3)x=x² В. 1 и -1

4) x²=-x Г. корней нет

Отрабатываем понятия квадратные уравнения, корни.

§ 2 Уравнения с параметром.

Эта часть рассчитана на детей, которые интересуются математикой, но таких детей в классе мало.

Задание. При каких значениях параметра a уравнение х² + 2х + а = 0 имеет: 1) два различных корня; 2) имеет корень, равный 2?

Решение.

1. Так как уравнение х² + 2х + а = 0 имеет два различных корня, то D > 0.

D = 4 – 4a > 0, a < 1

Ответ: при а < 1 уравнение имеет два различных корня.

2. Так как 2 является корнем уравнения х² + 2х + а = 0, то 2² + 2*2 + а = 0, а = -8

Ответ: при а = - 8 уравнение имеет корень, равный 2.

1. При каких значениях k уравнение х² + kх + 2 = 0

имеет корни? Приведите пример положительного значения k, при котором выполняется это условие.

2. При каких значениях k уравнение 3х² + kх + 1 = 0

не имеет корней? Приведите пример отрицательного значения k, при котором выполняется это условие.

3. Найдите все целые значения k, при которых уравнение kх² – 6х + k = 0 имеет два корня.

4. Найдите все целые значения m, при которых уравнение mх² – 5х + m = 0

имеет два корня.

5. При каких значениях c уравнение х² - 18х + 100 = c

имеет корни?

6. При каких значениях с уравнение - х² + 12х – 21 = с

имеет корни?

Заключение.

Данный материал подобран в соответствие с требованиями спецификации экзаменационной работы для проведения государственной (итоговой) аттестации (в новой форме) по математике обучающихся, освоивших основные общеобразовательные программы основного общего образования. В работе учтены требования кодификатора элементов содержания экзаменационной работы. Данный набор упражнений дает возможность поэтапно отрабатывать тему, выявлять пробелы и устранять их, обобщать и систематизировать изученное. Таким образом разработанная система задач будет лучше, чем традиционная и даст наилучшие результаты.

Литература.

1. Алгебра: сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе./Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович и др./ 5 - изд.-М.: Просвещение, 2010.

2. ГИА 2008. Математика: Сборник заданий: 9 класс/ М.Н. Кочагина, В.В. Кочагин./ - М.: Эксмо, 2008.

3. Государственная итоговая аттестация. 9 класс. Математика. Тематические тестовые задания./Л.Д. Лаппо, М.А. Попов/-М.: Издательство « Экзамен », 2011.

4. ГИА 2011.Алгебра: тренировочные задания: 9 класс/ Т.А Корешкова,

В.В Мирошин, Н.В Шевелева/ – М.: Эксмо, 2010

5. ГИА. Математика. 9 класс. Государственная итоговая аттестация

( в новой форме ). Тематические тренировочные задания. Базовый

уровень / Е.А Семенко./ – М.: Издательство «Экзамен». 2011

1. Литература Введение в теорию международных отношений и анализ внешней политики /Под ред. Н. А. Ломагина спб., 2001. С. 5-32

   Литература
   ... отношений. Классификация теорий международных отношений. Литература Введение в теорию международных отношений и анализ внешней ... политика. Внутренний контекст и внешняя политика. Литература Введение в теорию международных отношений и анализ внешней ...

2. Литература. Введение (5)

   Литература
   ... Заключение. Биография автора. Литература. Введение. Хочется начать с того ... к таким ценностям, как литература, театральные спектакли и т.п. Многие ... Академии индормациологической и прикладной уфологии (АИПУФО) Литература. 1. Г. К. Колчин "НЛО факты ...

3. Литература Введение (4)

   Литература
   ... цикл Честертона   Cодержание Введение 1. Новеллистический цикл 1.1. Обзор литературы 1.2. Из истории и ... новеллистике Честертона 3.3. Ирония Честертона Заключение Литература     Введение   Предметом исследования в предложенной вниманию работе ...

4. Литература Введение (8)

   Литература
   ... Заключение................................................................................... Литература.................................................................................... Введение Наука ...

5. Литература Введение (11)

   Литература
   ... совершенствованию социотипов Заключение Литература Введение Оценка пользы соционического ... единомышленников, обсуждать с ними новинки литературы, искусства, гуманитарных наук. ... приемлемой форме. Чаще читайте художественную литературу, ходите в театр — ...

6. Литература Введение (7)

   Литература
   ... младшего школьника 2.2. Результаты исследования Заключение Литература Введение При всем многообразии форм обучения ... в работе с детьми, имеющими заниженную самооценку. Литература 1. Амонашвили Ш.А. «Воспитательная и образовательная функции оценок ...

Другие похожие документы..