Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
2.1. Вид, категория (тип), серия и иные идентификационные признаки ценных бумаг эмитента, по которым начислены доходы: биржевые процентные неконвертир...полностью>>
'Урок'
Планирование курса литературы для учащихся 8-б класса по учебнику-хрестоматии "Литература" 8 кл. в двух частях. Авт. - сост. В. Я. Коровина, В. П. Жур...полностью>>
'Документ'
Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – ...полностью>>
'Документ'
На «Правительственный час» в Госдуму приглашен министр транспорта Максим Соколов. Согласно традиционному формату, он затронет не конкретную тему, а до...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

    1. Позиционные и непозиционные системы счисления.

Определение. Системой счисления называется совокупность правил для обозначения (записи) действительных чисел с помощью цифровых знаков. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционной системе счисления количественный эквивалент каждой цифры, входящей в запись данного числа не зависит от места (позиции) этой цифры в ряду других цифр. В римской системе счисления для записи различных целых чисел используются символы:

I=1; V=5; X=10; L=50; C=100; D=500; M=1000

Например, MCMLXXXV=1000+(1000-100)+50+10+10+10+5=1985

Недостаток такой системы счисления очевиден – сложность представления в ней больших чисел.

Первая позиционная система счисления была придумана в древнем Вавилоне и была шестидесятеричной, т.е. в ней использовалось 60 цифр. Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем эту системы счисления.

В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы часто употребляем слово «дюжина», например – 12 месяцев, 24 часа, 360°.

    1. Десятичная система счисления.

Примером позиционной системы счисления является общепринятая десятичная система счисления. В позиционной системе счисления величина представленная цифрой (ее «вес») зависит от позиции этой цифры в записи числа.

Определение. Позиция цифры в записи числа называется ее разрядом.

Определение. Количество различных цифр в алфавите позиционной системы счисления называется основанием этой системы.

Определение. Алфавит системы счисления – это упорядоченное множество цифр.

Характеристики позиционной системы счисления:

  • Количество цифр системы счисления равно ее основанию;

  • Наибольшая цифра на единицу меньше ее основания;

  • При записи числа каждая цифра умножается на основание системы счисления в степени, которая определяет положение цифры, начиная с 0.

В десятичной системе счисления «вес» каждого разряда в 10 раз больше «веса» предыдущего.

Например: в развернутой форме число 555,55 =5×102+5×101+5×100+5×10-1+5×10-2

Так как на практике обычно используют десятичную систему счисления, то, опуская различные степени 10, пишут сокращенно только коэффициенты при этих степенях. Таким образом, появилась закономерность, позволяющая при помощи 10 цифр записать любое, сколь угодно большое число. Затем появились правила (алгоритмы) сложения, умножения, вычитания и деления.

Но с технической точки зрения использование 10-значного алфавита неудобно. Учитывая характеристики позиционных систем счисления, можно утверждать, что наименьшее основание, которое может быть у позиционной системы счисления – это 2.

    1. Двоичная система счисления.

В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 и 1.

Например, развернутая запись двоичного числа может выглядеть так:

1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2 = 101,012

Вообще говоря, возможно использование множества позиционных систем счисления. В системах счисления с основанием q числа в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания q с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0,1,…,q-1.

A=an-1×qn-1+an-2×qn-2+…+a1×q1+a0×q0+a-1×q-1+…+am×q-m

Задание: Напишите в развернутой форме следующие числа:

19,9910=1×101+9×100+9×10-1+9×10-2

10,102=1×21+0×20+1×2-1+0×2-2

64,58=6×81+4×80+5×8-1

39,F16=3×161+9×160+F×16-1

    1. Перевод чисел 10 → 2.

Алгоритм решения задачи:

  1. Разделить число на 2, зафиксировать остаток и частное.

  2. Если частное ≠0, то разделить его на 2 и т.д. Деление продолжать до тех пор, пока это возможно.

  3. По окончании деления записать все полученные остатки справа налево.

Примеры: 710=1112; 2610=110102; 3510=1000112; 10110=11001012;

12510=11111012; 25310=111111012

Задание: построить в тетради таблицу. Заполнить два первых столбца.

10

2

8

16

    1. Перевод чисел 2 → 10.

Для перевода чисел из двоичной системы в десятичную воспользуемся развернутой формулой записи числа:

10000010012=1×29+0×28+0×27+0×26+0×25+0×24+1×23+0×22+0×21+1×20 = 512+8+1=52110

Примеры:

  1. 1011012=4510

  2. 1110012=5710

  3. 101010002=16810

  4. 11,112=3,7510

  5. 1011110012=37710

  6. 10,112=2,7510

    1. Восьмеричная система счисления.

При внемашинном представлении данных (например, числовой информации) применять двоичную систему с ее громоздкими записями неудобно. В этом случае часто применяется восьмеричная система счисления, в которой используются цифры от 0 до 7. Удобство восьмеричной системы счисления заключается в том, что переход от восьмеричной системы к двоичной очень прост: достаточно каждую восьмеричную цифру заменить ее двоичной триадой.

0→000 1→001 2→010 3→011

4→100 5→101 6→110 7→111

Задание: заполните третий столбец таблицы.

Достаточно прост и обратный переход из двоичной системы счисления в восьмеричную. Для этого нужно в двоичной записи числа выделить триады (вправо и влево от десятичной точки) и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой. В случае необходимости неполные триады дополняются нулями.

Примеры:

  1. 11111102=001 111 110=1768

  2. 273,548=010 111 011,101 1002

  3. 101 011 101,101 101 1102=535,5568

Перевод чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную осуществляется делением на основание системы счисления (в данном случае на 8). Например, 167810=32168.

Перевод из восьмеричной системы счисления в десятичную осуществляется по формуле развернутой записи числа:

  1. 7038=7×82+0×81+3×80=448+0+8=45110

  2. 3278=3×82+2×81+7×80=192+16+7=21510

  3. 5718=5×82+7×81+1×80=37710

  4. 67,58=6×81+7×80+5×8-1=48+7+0,625=55,62510

    1. Шестнадцатеричная система счисления.

При внутримашинной обработке информации и для описания работы современных ЭВМ используется шестнадцатеричная система счисления. Для записи чисел в этой системе необходимо располагать шестнадцатью символами. В качестве недостающих цифр в этой системе счисления используются начальные буквы английского алфавита.

Задание: заполните четвертый столбец таблицы.

Связь с двоичной системой счисления и в этом случае очевидна: каждая шестнадцатеричная цифра заменяется четырьмя двоичными. Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную тоже очевиден: двоичное число разбивается на тетрады и затем каждая заменяется шестнадцатеричной цифрой.

  1. AF,C16=1010 1111,11002

  2. B316=101100112

  3. 101011101,1011011112=0001 0101 1101,1011 01111=15D,B716

  4. 1001101011112=9AF16

По известным правилам осуществляется перевод чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно:

  1. 4510=2D16;

  2. 367910=E5F16

  3. 1F416=1×162+F×161+4×160=256+15×16+4=50010

  4. 1E16=1×161+E×160=16+14=3010

  5. D716=13×161+7×160=21510

  6. 17916=33710

  7. 19F16=1×162+9×161+F×160=256+144+15=41510



Похожие документы:

  1. 1. Понятие о кодировании информации. Универсальность дискретного (цифрового) представления информации. Позиционные и непозиционные системы счисления. Алгоритмы

    Документ
    ... (цифрового) представления информации. Позиционные и непозиционные системы счисления. Алгоритмы перевода из десятичной системы счисления в произвольную и наоборот. Связь ...
  2. Система счисления это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр)

    Документ
    ... специальных знаков (цифр). Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. Системы счисления двоичная (используются цифры 0, 1); ... в ячейку. Арифметические операции в позиционных системах счисления. Сложение Основные арифметические операции: ...
  3. №1: Системы счисления. Перевод чисел из системы в систему. Арифметические операции над числами в двоичной, восьмеричной и шестнадца­тери­чной системах счисления

    Урок
    ... : Познакомиться с понятиями система счисления, позиционная и непозиционная система счисления, основание позиционной системы. Научиться составлять таблицу соответствия между системами счисления, переводить числа ...
  4. Урок по теме: «Различные позиционные системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую»

    Урок
    ... виды систем счисления вы знаете? Позиционные и непозиционные системы счисления Приведите примеры непозиционной системы счисления Римская система в ... ). А почему она считается непозиционной системой счисления? В системе значение цифры не зависит от ...
  5. Правила записи чисел в римской системе счисления : обычно не ставят больше трех одинаковых цифр подряд

    Документ
    ... алфавитом системы счисления понимают набор цифр системы счисления. Например, алфавит десятичной системы счисления - {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления значение ...

Другие похожие документы..