Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
N 655 "Об утверждении и введении в действие федеральных государственных требований к структуре основной общеобразовательной программы дошкольного обра...полностью>>
'Документ'
Strive to learn new things related to my career and achieve a realistic position in life and a valuable job profile by putting sincere efforts towards...полностью>>
'Конкурс'
Работы победителей, дипломантов и участников конкурса размещены в экспозиции на турбазе областного Центра детско-юношеского туризма и экскурсий «Сереб...полностью>>
'Документ'
Интеллектуальная поддержка управленческих решений должна решать такие важные задачи, как обеспечение руководителя такими знаниями и информацией об окр...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Алгоритмы и схемы для обучения решению задач по математике.

«Алгоритм решения задач с помощью уравнения»:

1) Обозначить буквой х неизвестную величину, записав ответ на вопрос задачи (Пусть…).

2) Составить уравнение по условию задачи.

3) Решить это уравнение.

4) Записать краткий ответ на вопрос задачи.

В дальнейшем при решении более сложных задач, в которых несколько неизвестных величин, содержание первого пункта этого алгоритма становится таким:

1)Обозначить переменной х одну из неизвестных величин, если другие в несколько раз больше этой величины или составляют какую-то ее часть, выраженную дробью или процентами.

Дополняется четвертый пункт алгоритма:

4) Проверив найденные значения величин на соответствие условию или смыслу задачи, записать краткий ответ на вопрос задачи.

2. В 6 классе при изучении темы «Обыкновенные дроби» учащиеся испытывают затруднения при приведении дробей к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).

Преодолеть эти затруднения помогает памятка, которую я назвала

«Секреты при нахождении НОЗ дробей»:

  1. Если знаменатели – взаимно простые числа, то НОЗ – произведение знаменателей.

  2. Если один из знаменателей делится без остатка на другие знаменатели, то этот знаменатель – НОЗ.

  3. В общем случае: умножьте больший знаменатель на 2 и проверьте, делится ли полученное число на другие знаменатели. Если делится, то НОЗ найден, а если нет, то больший знаменатель умножьте на 3 и т.д.

3. При решении геометрических задач часто используются признаки равенства треугольников, поэтому в 7 классе при изучении этой темы вместе с учениками была разработана и уже много лет опробована «Опорно-логическая схема решения задач на применение признаков равенства треугольников». Ее можно использовать при решении задач различных уровней сложности в 7-11 классах, так как она состоит из трех логически связанных между собой частей (части закрашены разными цветами).

Рассмотрим

треугольник____________ и треугольник____________ .

_________________ = _________________ (почему?);

_________________ = _________________ (почему?) ;

_________________ = _________________ (почему?) .

Стрелка вниз 1

Треугольник______________ = треугольнику________________

(по__________ признаку)

Стрелка вниз 3

Отрезок__________ = отрезку____________

Или

Угол____________ = углу___________ .

Стрелка вниз 4

Отрезок____________ - медиана треугольника___________ .

Или

Отрезок_____ - биссектриса угла______ или треугольника_______ .

Или

Отрезок__________ - высота треугольника __________.

Или

Треугольник________ - равнобедренный (равносторонний, прямоугольный).

4. При решении других геометрических задач необходимо умение применять признаки подобия треугольников. Чаще всего используется первый признак подобия (по двум углам). Здесь может помочь «Опорно-логическая схема решения задач на применение первого признака подобия треугольников»:

Рассмотрим

треугольник____________ и треугольник____________ .

Угол____________ = углу_____________ (почему?);

Угол_____________ = углу____________ (почему?).

Стрелка вниз 2

Треугольник____________ подобен треугольнику____________

(по 1 признаку).

Стрелка вниз 5

1)Составить пропорцию, первым членом которой является искомая величина.

2)Решить эту пропорцию.

5. В 8 классе учащиеся изучают важнейшую теорему геометрии – теорему Пифагора и получают навыки решения задач на применение этой теоремы. Очень важно для учителя, чтобы приобретенные умения и навыки ученики применяли и в старших классах, так как большое количество задач решается именно при помощи теоремы Пифагора. У каждого ученика есть

«Алгоритм решения задач на применение теоремы Пифагора»:

1)Выделить на чертеже прямоугольный треугольник, стороной которого является искомый отрезок.

2)Определить катет это или гипотенуза.

3)Записать для этого треугольника теорему Пифагора (для гипотенузы) или следствие из нее (для катета) в обозначениях данной задачи.

4)Подставив в формулу известные величины, найти неизвестную величину

Алгоритм решения задач на совместную работу.

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить за 1.

Находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, т.е. , где t – время, за которое этот рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.

Находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно за то время, которое он работал.

Составляем уравнение, приравнивая объем всей работы к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым из рабочих.

Задача №1

Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной работе они закончат уборку урожая за 35 часов. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?

1. Принимаем площадь участка, с которого необходимо собрать урожай, за 1.

2. Пусть х – время, необходимое первому комбайнеру для уборки всего урожая, у - время, необходимое второму

комбайнеру для уборки всего урожая. Тогда– производительность первого комбайнера, – производительность второго комбайнера.

3. 35 – часть участка, с которого может убрать урожай первый комбайнер за 35 часов работы, 35 – часть участка, с которого может убрать урожай второй комбайнер за 35 часов работы.

4.Составим систему уравнений:

у = 60, х = 84

Ответ: для уборки всего урожая первому комбайнеру потребуется 84 часа, второму – 60 часов.

Задача №2

Две бригады, работая совместно, могут выполнить некоторое задание за 3 ч 36 мин. Сколько времени затратит на выполнение этого задания каждая бригада, работая в отдельности, если известно, что первой бригаде требуется для этого на 3 часа больше времени, чем второй.

Задача №3

Мастер и ученик должны были выполнить некоторое задание. После четырех дней совместной работы ученик был переведен в другой цех, и, чтобы закончить выполнение задания, мастеру пришлось еще 2 дня работать одному. За сколько дней мог бы выполнить каждый из них это задание, если известно, что мастеру для этого требуется на 3 дня меньше, чем ученику?

Алгоритм решения задач, в которых используется формула двузначного числа.

Вводится обозначение:

х – цифра десятков

у – цифра единиц

Искомое двузначное число 10х + у

Составить систему уравнений

Задача №1.

Двузначное число в четыре раза больше суммы его цифр. Если к этому числу прибавить произведение его цифр, то получится 32. Найдите это двузначное число.

Х – цифра десятков. У – цифра единиц. 10х + у – искомое число.

2х2 + 12х – 32 =0

х2 +6х – 16 =0

х1 =-8 (посторонний корень) х2 =2, тогда у =4.

Ответ: 24.

Задача №2.Двузначное число в трое больше суммы его цифр. Если из этого числа вычесть произведение его цифр, то получится 13. Найдите это двузначное число. (27).

Задача №3.Двузначное число в шесть раз больше суммы его цифр. Если это число сложить с произведением его цифр, то получится 74. Найдите это число.(54).

Задача №4.

Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.(32).

Задача №5.

Произведение цифр двузначного числа в три раза меньше самого числа. Если к искомому числу прибавить 18, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число.

Алгоритм решения задач на смеси.

х – масса первого раствора, у – масса второго раствора, (х + у ) – масса полученной смеси.

Найти содержание растворенного вещества в растворах, т.е.

а % от х, в % от у, с % от (х+у)

Составить систему уравнений.

Задача №1

Смешали 30% -ный раствор соляной кислоты с 10% -ным и получили 600г 15% -ого раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Введем обозначение. Пусть взяли х г первого раствора, у г – второго раствора, тогда масса третьего раствора – (х+у).

Определим количество растворенного вещества в первом, втором, третьем растворах, т.е. найдем 30% от х, 10% от у, 15% от 600.

Составим систему уравнений:

0,3х + 60 – 0,1х = 90

0,2х = 30

х = 30:0,2

х = 150, у = 600 – 150 = 450

Ответ: взяли 150 г первого раствора и 450 г второго раствора.

Задача №2

Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого их этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?

Задача №3Смешали 10% -ный и 25% -ный растворы соли и получили 3 кг 20% -ного раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?

Алгоритм решения показательных уравнений

1.Используя определение степени, свойства степеней привести показательное уравнение к виду k f(x)= k q(x) или k f(x)= m, где m-постоянное число

2. В зависимости от вида уравнения использовать один из вариантов:

а) используя утверждение: если равны степени и основания степеней, то равны и показатели степеней,- перейти от уравнения k f(x) = k q(x) к уравнению f(x) = q(x)

б) Уравнение вида k f(x) = m следует прологарифмировать по основанию 10:

Алгоритм решения линейных уравнений

1. Представить уравнение в стандартном виде ( ах = в) для чего:

а) раскрыть скобки (если есть)

б) перенести слагаемые из правой части в левую и привести подобные слагаемые.

2. Найти корень по формуле: х = в/а

3. Записать ответ

Неравенства вида ах > с, ах < с, f(х)п(ч) > f(x)q(x) (*) называются показательными неравенствами.

1.Привести к стандартному виду (*)

2.Учитывая область определения и свойства логарифмической функции, получить равносильные неравенства:

а) , б) , или в)

3.Решив полученные неравенства, записать ответ.

Логарифмические неравенства

Неравенства вида (*) называются простейшими (стандартными) логарифмическими неравенствами.

1. Представить уравнение в стандартном виде. (*)

2. Учитывая область определения и свойства логарифмической функции, получить равносильные неравенства: а) б) в) 3. Записать ответ

Решение логарифмических уравнений

1.Используя определение логарифма, его свойства, привести уравнение к виду lоg f(x)=lоg q(x) или lоg f(x)=k, где k - постоянное число, причем f(x)>0, q(x) >0

2.Перейти к системе на основании того, что если логарифмы двух выражений равны, то равны и сами выражения

3.Решить получившуюся систему.

Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

1.Замени данное неравенство тригонометрическим уравнением

2.Построй углы, соответствующие в пределах одного периода, данному значению тригонометрической функции.

3.Отметь на окружности интервал, для которого выполняется данное неравенство

4.Запиши решения в пределах промежутка, охватывающего полный период функции

5.Прибавь к найденному решению к периодов функции, где к Î Z

6.Запиши ответ.

Решение показательных уравнений

1.Используя определение степени, свойства степеней привести показательное уравнение к виду k f(x)= k q(x) или k f(x)= m, где m-постоянное число

2. В зависимости от вида уравнения использовать один из вариантов:

а) используя утверждение: если равны степени и основания степеней, то равны и показатели степеней,- перейти от уравнения k f(x) = k q(x) к уравнению f(x) = q(x)

б) Уравнение вида k f(x) = m следует прологарифмировать по основанию 10

Метод замены переменной

Данный метод полезно применять, когда неизвестное входит в уравнение всюду и в виде одной и той же комбинации (особенно, если эта комбинация содержит степени неизвестного выше первой).

Суть метода : Увидеть такую комбинацию отдельных членов уравнения, которая позволит вместо исходного уравнения получить уравнение более простое (относительно новой переменной), а потом закончить решение уравнения.

Схема метода:

1)в уравнении вида f(x) = 0 выделить комбинацию одного типа q(x), содержащие неизвестную.

2)Ввести новую переменную у = q(x).

3)Выразив f(x) через у получить новое уравнение g(x) = 0

4)Решив уравнение g(x) = 0, найти его корни у1, у2, у3,…, ук

5)Составить совокупность уравнений q(x)= у1, , q(x)= у2,, …, q(x)= ук. (обратная замена)

6)Решить данную совокупность. Ее решения и будут решениями исходного уравнения

Общий прием решения неравенства первой степени с одним неизвестным.

1.Определить, является ли данное неравенство неравенством вида ах Ä b, где Ä - один из знаков: >. <, ≥, ≤. Если «да», то п. 4, если «нет», то п.2.

2.Установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести неравенство к виду ах Ä b: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных.

3.Привести с помощью выбранных преобразований неравенство к виду ах Ä b.

4.Найти решение неравенства по правилу: х Ä b : а при а > 0 или х (- Ä) b : а, где (- Ä) - знак неравенства, противоположный знаку Ä.

5.Записать ответ. (см Таблицу)

Метод интервалов

Пусть необходимо решить неравенство вида f(x) Ä 0, где Ä - один из знаков неравенства.

Если его левая часть представима в виде произведения линейных множителей, то данное неравенство может быть решено по следующей схеме:

1. Разложим f(x) на линейные множители: f(x) = (х –х1)(х – х2)…(х – хк).

2. Найдем корни уравнения f(x) = 0: х1, х2. …хк.

3. Рассмотрим промежутки, на которые найденные корни разбивают числовую прямую: (- ¥; х1), (х1; х2), … (хк; +¥). На каждом из них каждый линейный множитель имеет постоянный знак. Определим знак каждого линейного множителя на каждом полученном промежутке.

4. Определим знак f(x) на каждом найденном промежутке.

5В решение включим те промежутки, на которых f(x) имеет знак, соответствующий знаку неравенства.

Замечание: Данным методом решаются и дробные неравенства

Метод решения квадратного уравнения

1. Преобразовать исходное уравнение к виду ах2 + вх + с = 0, где а >0.

2 Проверить равенство нулю коэффициентов b и с. если b = 0 или с = 0, то перейти к п.3., если b ≠ 0 и с ≠ 0, то перейти к п.4.

3. Если b = с = 0, то найти неизвестное по правилу, указанному в строке 1 таблицы .

Если b ≠ 0, с = 0, то найти неизвестное по правилу, указанному в строке 2 таблицы

Если b = 0, с ≠ 0, то найти неизвестное по правилу, указанному в строке 3 таблицы.

4. Найти дискриминант уравнения D = b2 – 4ас.

5. Найти неизвестное по правилу, указанному в строке 4 таблицы

6. Записать ответ.

Свободные члены b и с Решение уравнения

b = с = 0 х1,2 = 0

b ≠ 0, с = 0 х1 = 0, х2 = b:а

b = 0, с ≠ 0

а) с < 0

б) с > 0

х1,2 = + Ö- с: арешений нет

b ≠ 0 и с ≠ 0

а) D = b2 – 4ас > 0

б) D = b2 – 4ас = 0

в) D = b2 – 4ас < 0

х1,2 =( - b+Ö D) : 2а

х1,2 = - b : 2а

решений нет.

Алгоритм решения неравенства вида ах< b, a>1, b>0

1.Изобразить схематически график функции у = ах

2.С помощью графика укажите то значение х, которому соответствует значение у, равное b

3.С помощью графика укажите множество значений х, которым соответствуют значения у, меньшие b.

Алгоритм решения уравнений с переменной в знаменателе

1.Представьте уравнение в виде f(x) = 0

2.Представьте выражение f(x) в виде дроби ;

3.Замените уравнение = 0 равносильной ему системой

4.Решите уравнение q(x) = 0

5.Для каждого корня q(x) = 0 проверить выполнение условия g(х)  0

Формулы сокращенного умножения

Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a+b)2=a2+2ab+b2

Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a-b)2=a2-2ab+b2

Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов. (a+b)(a-b)=a2-b2

Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй. (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов. ( a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3

Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов. (a-b)(a2+ab+b2)=a3- b3

Формулы и свойства степеней

a1 = а, a0 = 1 (a ≠ 0), a-n = 1/an.

1° aman = am+n;

2° am/an = am-n;

3° (ab)n = anbn;

4° (am)n = amn;

5° (a/b)n = an/bn.



Похожие документы:

  1. Рабочая программа элективного курса практикум решения задач по математике класс 10 - 11 2013 -2014 г.

    Пояснительная записка
    ... элективного курса по математике. Элективный курс "Практикум решения задач по математике" рассчитан на 53 часа для учащихся ...
  2. Пояснительная записка целью государственного экзамена по математике и методике преподавания математики является контроль уровня общей математической культуры выпускников и проверка их подготовленности к преподаванию математики в общеобразовательной школе

    Пояснительная записка
    ... двух многочленов и алгоритм Евклида. Понятие многочлена ... функции задач на построение. Методическая схема решения задач на ... . Василевский, А.Б. Обучение решению задач по математике: учебное пособие для педагогических институтов /А.Б.Василевский ...
  3. Рабочая программа по математике в 5 в (спортивном) классе на 2011-2012 учебный год

    Рабочая программа
    ... также при обучении решению текстовых задач с использованием графических моделей (схем). При этом ... Алгоритмы – ключ к решению задач по математике . Книга для учащихся 5-6 классов/ Ж. Н. Михайлова – М.: Просвещение, 2009 2. Математика в стихах: задачи, ...
  4. Программа элективного курса по математике 9 класс

    Программа
    ... Справочник по методам решения задач по математике.- М.: «Наука» 1989г. Литература для учащихся. 1.Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих ... сплавы. Блок-схема алгоритма решения задач. Тема 2. Задачи на движение двух тел. Задача 1. ( ...
  5. Рабочая программа элективного курса «Методы решения задач по физике»

    Рабочая программа
    ... – ориентированное обучение, обучение с применением опорных схем, ИКТ, ... постановка задач, задачи из истории физики, значение математики для решения задач, озна ... решения: алгоритмы,аналогии, геометрические приемы. 1 6 4 Изучение примеров решения задач ...

Другие похожие документы..