Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Конкурс'
Организатор Конкурса вправе отказаться от проведения Конкурса не позднее, чем за семь дней до даты окончания срока подачи заявок на участие в Конкурсе...полностью>>
'Конкурс'
Данный конкурс организуется и проводится с целью проявления инициативы, творчества, концентрации внимания учащихся на наиболее интересных, полезных и ...полностью>>
'Программа'
Рабочая программа учебной дисциплины разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС) по специальности ср...полностью>>
'Документ'
240. Один из внешних углов треугольника равен . Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как . Найдите наибольший из них. Ответ дайте в град...полностью>>

Главная > Решение

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

§ 11. Приближенные формулы Лапласа и Пуассона.

Локальная приближенная формула Лапласа. При больших n имеет место приближенное равенство

, (1)

где , .

(Таблицу значений функции (х) см. в приложении).

Интегральная приближенная формула Лапласа. При больших n имеет место приближенное равенство

, (2)

где

, , .

Функция Ф(х) называется функцией Лапласа (таблицу ее значений см. в приложении). При нахождении значений функции (х) и Ф(х) для отрицательных значений аргументов следует иметь в виду, что (х) четная, а Ф(х) – нечетная.

Отметим еще, что приближенными формулами Лапласа (1) и (2) на практике пользуются в случае, если npq  10. Если же npq < 10, то эти формулы приводят к довольно большим погрешностям.

Приближенная формула Пуассона. При больших n и малых р справедлива формула

, где = np. (3)

(Для функции таблицу значений см. в приложении).

Пример 1. Вероятность наступления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна р = 0,8. Найдите вероятность того, что событие А произойдет: а) 750 раз; б) 710 раз; в) от 710 до 740 раз.

Решение: Так как npq = 900  0,8  0,2 = 14,4 > 10, то в пунктах а) и б) воспользуемся формулой (1), а в пункте в) – формулой (2).

а) ; (2,5)  0,0175;

Р900 (750)  ;

б) ;  (- 0,83) =  (0,83)  0,2827;

Р900 (710)  ;

в) ; ;

Ф(-0,83) = - Ф(0,83)  - 0,2967; Ф(1,67)  0,4527;

Р900 (710  k  740)  0,4525 + 0,2967 = 0,7492.

Пример 2. Вероятность того, что электролампочка, изготовленная данным заводом, является бракованной, равна 0,02. Для контроля отобрано наудачу 1000 лампочек. Оцените вероятность того, что частота бракованных лампочек в выборке отличается от вероятности 0,02 менее чем на 0,01.

Решение. Пусть k – число бракованных лампочек в выборке. Нам нужно оценить вероятность выполнения неравенства

.

Оно равносильно неравенству 11  k  29. Следовательно

.

Так как npq = 1000  0,02  0,98 = 19,6 > 10, то для вычисления вероятности Р1000 (11  k  29) воспользуемся интегральной приближенной формулой Лапласа. В данноь случае

; ;

Ф( - 2,03)  - 0, 4788; Ф(2,03)  0,4788.

Следовательно, по формуле (2) имеем:

Р1000 (11  k  29)  0,4788 + 0,4788 = 0,9576.

Пример 3. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию равна 0,01. Найдите вероятности следующих событий: а) в течение часа 5 абонентов позвонят на станцию; б) в течение часа не более 4 абонентов позвонят на станцию; в) в течение часа не менее 3 абонентов позвонят на станцию.

Решение. Так как р = 0,01 мало и n = 400 велико, то будем пользоваться приближенной формулой Пуассона при  = 400  0,01 = 4.

а) Р400 (5)  0,156293; (см. таблицу 4 приложения).

б) Р400 (0  k  4)  0,018316 + 0,073263 + 0,146525 + 0,195367 + 0,195367 = =0,628838;

в) Р400 (3  k  400) = 1 - Р400 (0  k  4) = 1 – 0,018316 – 0,073263 – 0,146525 = = 0,761896.

Задачи.

290. Вероятность рождения мальчика примем равной 0,5. Найдите вероятность того, что среди 200 новорожденных детей будет: а) 100 мальчиков; б) 90 мальчиков; в) 110 мальчиков; г) от 90 до 110 мальчиков.

291. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,85. Найдите вероятность того, что из 500 высеянных семян взойдет: а) 425 семян; б) 400 семян; в) 450 семян; г) от 425 до 450 семян.

292. Вероятность того, что покупателю требуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что среди 100 покупателей потребуют обувь 41-го размера: а) 25 человек; б) от 10 до 30 человек; в) не более 30 человек; г) не менее 35 человек.

293. 100 станков работают независимо друг от друга, причем вероятность бесперебойной работы каждого из них в течение смены равна 0,8. Найдите вероятность того, что в течение смены бесперебойно проработают: а) 85 станков; б) от 75 до 85 станков.

294. Вероятность выхода из строя за время t одного конденсатора равна 0,2. Найдите вероятность того, что за время t из 100 независимо работающих конденсаторов выйдут из строя: а) не менее 20 конденсаторов; б) менее 28 конденсаторов; в) от 14 до 26 конденсаторов.

295. Вероятность появления события А в каждом из 1500 независимых испытаний равна р = 0,4. Найдите вероятность того, что число появлений события А заключено между: а) 570 и 630; б) 600 и 660.

296. Вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие А появится не менее 75 раз?

297. Вероятность получения положительного результата в каждом из независимых опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?

298. Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найдите вероятность наиболее вероятного числа бракованных деталей среди наудачу отобранных 100 деталей.

299. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,0002. Найдите вероятность того, что среди 5000 изделий в пути будет повреждено: а) ровно 3 изделия; б) ровно одно изделие; в) не более 3 изделий; г) более 3 изделий.

300. Кинотеатр вмещает 730 зрителей. Найдите вероятность того, что: а) 3 зрителя родились в один день (скажем, 1 марта); б) не более 3 зрителей родились в один день.

301. В среднем левши составляют 1 %. Какова вероятность того, что среди 200 студентов найдется: а) ровно 4 левши; б) не менее чем 4 левши.

302. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найдите вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно 2; б) не менее 2; в) более 2; г) хотя бы одну.

303. Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найдите вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.

304. Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки, равна 0,002. Проверяется книга, содержащая 500 страниц. Найдите вероятность того, что с опечатками окажутся: а) 5 страниц; б) от 3 до 5 страниц.

305. Радиоаппаратура состоит из 1000 микроэлементов. Вероятность отказа каждого элемента в течение суток равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Найдите вероятность отказа: а) 2; б) не менее 2 элементов за сутки.

306. Опыт состоит в бросании монеты 4040 раз (опыт Бюффона), причем герб выпал 2048 раз. Найдите вероятность того, что при повторении опыта Бюффона частота появления герба отклонится от 0,5 не более, чем в опыте Бюффона.

307. Опыт состоит в бросании игральной кости 600 раз. Оцените вероятность того, что частота выпадания шестерки отклонится от вероятности выпадания шестерки в одном бросании менее чем: а) на 0,01; б) на 0,02.

308. Вероятность наступления некоторого события при одном испытании равна р = 0,4. Найдите вероятность того, что при 1000 испытаниях частота наступления этого события отклонится от ве6роятности р = 0,4 не более чем на 0,05.



Похожие документы:

  1. Брошены две игральные кости Найти вероятность того

    Документ
    ... 14,3/2,1)=(3)=0,4986; =(11-14,3/2,1)=(-1,7)=0,4532 Так как функция Лапласа нечетная то ... Решение: По условию: n = 900; p = 0,5; q = 0,5; ε = 0,02; Требуется найти вероятность: Pm900- 0,5≤0,02 . Воспользуемся формулой: Pmn- p≤ε =2ϕεnpq ... пункт ...
  2. Филип Котлер, Джон Боуэн, Джеймс Мейкенз. Маркетинг. Гостеприимство. Туризм

    Реферат
    ... 14,0 14,9 15,6 16,0 21,2 +51,4 Италия 8,3 10,9 14 ... решения. То ... воспользовалась. Избирательное искажение. Не обязательно каждый стимул, замечаемый потребителем, будет воспринят так, как ... зданиям. Такие пункты, как кодекс здания ... формулой подсчета. Так как ...
  3. Л. Н. Гумилёв писал: Западноевропейская культура с момента своего возникновения стремилась к расширению. Потомки баронов Карла Великого покорили западных славян, англосаксов, кельтов, вытеснили с Пиренейского пол

    Документ
    ... предлагают внести такой пункт в правила ... пенсионной формуле и формуле, ... Так, решен вопрос об организационно-правовой форме РАН, причем, именно в той редакции, как ... весом 900 кг ... цитирует NBC ... воспользоваться проявленной ... . - В.М.Л. 14.10.2013 4:00 Здесь ...
  4. Задачи для домашних заданий, примеры решений

    Документ
    ... 900 3 0,5 0,7 0,6 500 400 800 4 0,6 0,8 0,7 700 500 700 Пример решения ... продольных сил N12, N22 ... пунктов 5, 6 задачи и включаются в оформление работы. Пример решения ... y1 = 14 + 14 + 10 – 3, ... то же время E и Jx в формулы не подставлены, так как ... Воспользуемся ...
  5. Операторе в цеху лежит ответственность за то, чтобы все, кто привлекается к установке и работе с вертикальными обрабатывающими центрами, были тщательно ознаком

    Документ
    ... . Установка 14 используется для ... воспользоваться DNС, то ... ЧПУ осуществит решение и ... R.2 >(900 об/мин ... ) N12 X1 ... Формулы Нарезание резьбы Стандартная формула Оборот ... группы пунктов, как ... 10]] GOTO1 так как #1 GT 3.0 вычисляется как 1.0 и #2 LT вычисляется как ...

Другие похожие документы..