Темы анализа и типы факторов 45 Этапы ситуационного анализа 47

Важно различать совокупность и основу выборки [1]. Последняя обычно является списком членов совокупно­сти, который используется для формирования выборки. Это может быть список подписчиков журнала, студентов университета и даже географическая карта. Описание основы выборки не обязательно должно включать всех чле­нов совокупности. Возможно, достаточно определить про­цедуру, при помощи которой можно найти любую единицу для включения в выборку.

Формирование списков. Редко встречаются списки, существенно облегчающие формирование простой слу­чайной выборки из целевой совокупности. Если они и были составлены в прошлом, то уже устарели.

Формирование списков для телефонных интервью. При формировании выборок используются телефонные спра­вочники. Проблема в том, что некоторые члены совокупно­сти могут быть упущены из-за смены места жительства, име­ют номер, не занесенный в справочник, или у них вообще нет телефона. Другой подход — покупка списков у журна­лов, компаний, выпускающих кредитные карточки или про­дающих товары по почте. Однако каждом подобному списку свойственны свои искажения,

Отличие совокупности и основы выборки. Если ос­нова выборки не входит в состав совокупности, возника­ют проблемы подмножества, супермножества и пересе­чения.

Проблема подмножества имеет место в случае, если некоторые элементы совокупности не представлены в вы­борке. Чтобы решить проблему подмножества, исследова­телю придется заново определить совокупность в терми­нах основы выборки либо найти другие источники данных.

Проблема супермножества имеет место, если неко­торые элементы выборки не представлены в совокупно­сти. Однако при этом выборка содержит все элементы со­вокупности.

Проблема пересечения имеет место, если некоторые элементы совокупности отсутствуют в основе выборки, а сама основа выборки содержит больше элементов, чем целевая совокупность.

364 т Приложение 2

3. ФОРМИРОВАНИЕ ВЫБОРКИ

Прежде всего нужно сделать выбор между традицион­ной процедурой формирования выборки и байесовским подходом. Далее нужно принять решение о том, будет ли это выборка с замещением или без него. В большинстве случаев используют традиционную процедуру формирова­ния выборки без замещения, поскольку с респондентом не контактируют дважды. Однако в большинстве случаев ситуация сложнее. Вопросов, на которые нужно получить ответы, несколько, а сами ответы сильно различаются между собой. Необходимо сформировать репрезентатив­ную выборку, которая может состоять из сотен единиц. Предпочтительно формировать случайную выборку. Для нее известна вероятность попадания каждого элемента совокупности в выборку. Случайность выборки позволяет исследователю доказать ее репрезентативность. Можно определить погрешность, возникающую из-за того, что вместо сплошного обследования совокупности использу­ется выборка. Случайная выборка позволяет более четко определить возможные искажения.

3.1. Случайные выборки

При формировании случайной выборки следует учесть четыре момента. Во-первых, должна быть известна целе­вая совокупность — группа, информацию о которой нуж­но получить. Во-вторых, должен быть разработан метод отбора элементов выборки. В-третьих, нужно принять ре­шение о размере выборки. Размер выборки будет зависеть от требуемой точности, дисперсии совокупности и затрат, Наконец, в-четвертых, нужно принять меры по решению проблемы неполучения ответа. Для формирования случай­ной выборки можно использовать следующие методы.

Простая случайная выборка — это подход, при ко­тором каждый член совокупности и, следовательно, каж­дая из возможных выборок имеют одинаковую вероятность быть выбранным. Для формирования случайной выборки используются таблицы или генератор случайных чисел.

Компромисс •точность—стоимость*. Компромисс между затратами на процедуру случайной выборки и по­лучаемой в результате точностью лучше всего описывает-

Статистика и выборка * Job

ся термином «эффективность выборки», которая опреде­ляется как соотношение точности и стоимости. Повыше­ния эффективности выборки можно достичь: а) путем сни­жения стоимости при заданной точности; б) путем повы­шения точности при заданной стоимости; в) путем повышения точности более высокими темпами, чем сто­имости; г) уменьшением точности более низкими темпа­ми, чем стоимости. Разные процедуры формирования слу­чайных выборок являются следствиями попыток повыше­ния эффективности выборок указанными путями.

Стратифицированная выборка. Для повышения эф­фективности простой случайной выборки используют ин­формацию о структуре основы выборки. Для этого выявля­ют естественные подгруппы последней, более однородные, чем совокупность в целом. Такие подгруппы называют стра­тами. Точность стратифицированной выборки увеличива­ется, если существуют различия между группами и схо­жесть внутри них по признаку интересующего показателя. Если точность растет более высокими темпами, чем сто­имость, то повышается эффективность выборки. Темпы роста точности и затрат зависят от переменных, используе­мых для распознавания групп, а также от силы связи меж­ду интересующим показателем и этими переменными. Раз­мер выборки из каждой группы зависит от степени разбро­са мнений внутри каждой группы (чем больше будет этот разброс, тем больше выборка). Размер выборки обратно про­порционален стоимости ее формирования (чем ниже сто­имость, тем больше объем выборки). Различия типов стра­тифицированной выборки связаны с техникой определения размера выборки внутри каждой группы.

Пропорциональная стратифицированная выборка предполагает, что число единиц выборки в каждой группе пропорциональна числу элементов этой группы в совокуп­ности.

Обратно пропорциональная стратифицирован­ная выборка. Предположим, что совокупность состоит из 600 потребителей. Из них 200 являются активными по­требителями, а 400 — менее активными. Если исследова­тель ценит мнение активных потребителей больше, то из первой группы в выборку должно попасть больше людей. В подобных случаях можно использовать обратно пропор-

^3?0 • п

— Приложение 2

Повторные попытки используются, если есть увеоен-ность, что они позволят получить существенное число до­полнительных ответов. Они наиболее эффективны пои

по°н1ен:_а^М_м^{аНКеТИР}°^ВаНИй' ^{3 ТЭКЖе П}° сношению к рГ пондентам, которых не удалось застать дома. Эффектив­ность увеличится, если проводить их в разное время дня и в разные дни недели. Однако, если ответы не были полу чены из-за отказа или неспособности респондента отв! татов^П°^{ВТОРНЫе П}°^ПЫТКИ "' ^ДЗЛУТ ^"^нных резуль-

4. РАЗМЕР ВЫБОРКИ

нпг™³™ ^{Р ВЫ60РКИ ЗЗВИСИТ} °^{Т ценнос}™ и требуемой точ­ности результатов исследования, разбросе значений со-вокупности, числа анализируемых групп и подгрупп иicZ

но испол^Вь,_п°^РКИ- ^ ^СТ°?^{М0СТЬ ВЫб}°Р^ки ^зка^РУо_Правда-но использование большей по объему выборки.

4.1. Приблизительный размер

Если средства на определение размера выборки огра­
ничены (например, бюджетом), или накоплен его опыт _то
используют приближенные методы его опыт, то

Эмпирические правила. Сравнение групп позволяет получить полезную информацию. Нужно выявить мини­мальную группу и убедиться в том, что ее размер достато­чен и обеспечивает необходимую надежность. С. Сюд„_ан рекомендует такой размер выборки, чтобы ее можно было поделить на группы по J 00 элементов и больше (?) Это -пример эмпирического правила. Кроме того, может потре­боваться сопоставление подгрупг. Поскольку приТто„ требуется меньшая точность, С. Сюдман рекомендует пол группы численностью 20-50 человек, Если однаГгрГп или подгрупп составляет небольшой процент в совокуп тети, то разумно использовать непропорциональную в'ы-

иг£°Л°^^{виМЫе исслед}°^ва*и»- Еще один подход -2*LIZ ™* ^{исследоаа}н^ия н использовать разме­ры их выборок в качестве руководства. Исследования долж­ны быть надежны и сопоставимы по числу групп выборки

Статистика и выборка > 37}

Данные табл. 2.2 основаны на анализе нескольких сот исследований и позволяют составить представление о типичном размере выборки.

Таблица 2.2 Типичные размеры выборок

4.2. Факторы размера

Характеристики совокупности. Первая из них — это среднее совокупности. Другой важной характеристикой совокупности является стандартное отклонение s и дис­персия. Дисперсия совокупности является мерой разбро­са мнений совокупности. Она зависит от того, насколько отдельный ответ разнится от среднего. Эта разница воз­водится в квадрат и усредняется по всем ответам сово­купности.

Характеристики выборки подобны характеристикам совокупности. Одной из характеристик выборки являет­ся выборочное среднее. Оно изменится, если сформиро­вать новую выборку. Среднее используется для оценки не­известного среднего совокупности. Другой характерис­тикой выборки является дисперсия выборки, которая может быть использована для оценки дисперсии совокуп­ности. Дисперсия мала, если ответы представителей вы­борки близки, и велика, если они разбросаны. Еще одной характеристикой выборки является стандартное отклоне­ние Иногда его можно оценить на основе проведенных ранее исследований.

Надежность выборки. Разные выборки дадут разные значения и отклонения. В предельном случае, если разли­чия между элементами совокупности отсутствуют, раз-

372

Приложение 2

броса не будет вообще. Разброс измеряется его стандарт­ной ошибкой Of, определяемой следующим образом:

(Ух -СУ/у/п.

Следовательно, разброс увеличивается с ростом стан­дартного отклонения s. Кроме того, разброс зависит от размера выборки п, падая по мере увеличения последне­го. Причина этого следующая. Если выборка невелика в нее достаточно включить несколько элементов с экстре­мальными значениями для того, чтобы существенно по­влиять на выборочное среднее. По мере увеличения раз­мера выборки, отдельные экстремальные значения оказы­вают меньшее влияние, поскольку усреднение проводится по большему числу элементов,

Пример мнения совокупности представлен графика­ми на рис. 2,2. Переменная X принимает значения от -2 до +2, показанные на горизонтальной оси. По вертикали указан процент респондентов, которые считают, что пе­ременная X принимает данное значение.

Пользуясь рис. 2.2, можно определить выборочное сред­нее X. Предположим, что изменения X от одной выбор­ки к другой следуют нормальному_распределению пред­ставленному на рис. 2.2. Обычно X будет ближе к сред­нему совокупности р. Вероятность того, что X больше р равна вероятности того, что X будет меньше него Верх­ний график на рис. 2.2 показывает, как распределена об­щая площадь под кривой нормального распределения Доля площади под кривой между двумя точками горизон­тальной оси равна вероятности того, что X окажется меж­ду этими двумя точками. Например, из центрального гра­фика видно что 95 % общей площади находятся между точкой р - 2а, и точкой р + 2а_х. Следовательно, вероят­ность того, что X будет отклоняться от среднего со­вокупности р не более, чем на 2а ^, равна 0,95.

Аналогично, из нижнего графика видно, что 90 % об­щем площади находятся междуточкой/< - 5щ/3 «точкой р + Ьа_х /3. Следовательно, вероятность того, что X будет отклоняться от среднего совокупности р не более, чем на ™%/3, равна 0,9.

373

р-2а_я р-о_х р V ⁺ o_x p + 20j X

р-(5/3)а_х

Рис. 2.2. Нормальное распределение X

374 Ш Приложение 2

В табл. 2.3 приведены расчеты стандартной ошибки а_х при разных размерах выборки по формуле (2.1). Для просто­ты предполагается, что стандартное отклонение совокуп­ности известно. Видно, что по мере увеличения размера выборки, стандартная ошибка о~_х уменьшается. Тем самым, распределение X будет меняться, приближаясь к средне­му совокупности при увеличении размера выборки.

Таблица 2.3

Влияние размера выборки на стандартную ошибку

Рис. 2.3 иллюстрирует такое влияние роста размера вы­борки на нормальное распределение Я. На нем показаны дза распределения X — при размерах выборки 10 и 40.

Статистика и выборка

График на рис. 2.3 иногда называют выборочным рас­пределением, поскольку он показывает вероятность полу­чения того или иного значения выборочного среднего Л.

4.3. Интервальные оценки

Выборочное среднее X используется для оценки не­известного среднего совокупности и. Поскольку X меня­ется от выборки к выборке, оно, вообще говоря, не равно последнему. Поэтому целесообразно ввести интервальную оценку/^ среднего совокупности д, определяемую по формуле:

!(р)=Х±а, ^UM

где а- ошибка выборки. При этом среднее совокупно­сти и находится в интервале от (Х- а) до <Х+ в) с опреде­ленной вероятностью, которую называют доверительной. Размер интервала зависит от требуемого уровня дове-пителъной вероятности. Допустим, нужно обеспечить последнюю на уровне 0,95. В соответствии с центральным графиком рис. 2.2, вероятность того, что X будет■ откло­няться от среднего совокупности р не более, чем на 2р% , равна 0.95. Поэтому 95 %-я интервальная оценка I_UMifi) среднего совокупности р. равна:

Un)=X±2a, = X±2a/rn. W

Отсюда следует, что для 95% выборок интервальная оценка Ljp) будет включать среднее совокупности т. Интервале требуемого уровня доверительной вероят-ности (или. кратко, доверительный интервал) находится а пределах otV 2o/tf) Д° № 2а/Гп1 Если разброс значений совокупности невелик, то стандартное откло­нение совокупности о мало, и доверительный интервал мал Кроме того, он сужается с увеличением размеров выборки, поскольку с ростом п уменьшается «ошибка

Допустим, нужно обеспечить уровень доверительной вероятности, равный 0,9. В соответствии с нижним гра­фиком рис 2.2, вероятность того, что X будет отклонять­ся от среднего совокупности и не более, чем на 5o_s/3.

³⁷⁶ • л

■ Приложение 2

равна 0,9. Поэтому 90 %-я интервальная оценка / (и)
среднего совокупности ц равна: ^ох

U»(fi) =Х±5<т_х/3= Х± Ва/ЬПь (2.4)

Отсюда следует, что около 90 % выборок позволят рас­считать интервальную оценку I₀J_M), которая будет вклю­чать среднее совокупности //. Следует отметить, что до­верительный интервал от (Х~5а,/3) до (Х+5а,/3) меньше, чем в случае (2.3). Однако теперь меньше уве­ренность в том, что среднее совокупности попадет в этот

Если стандартное отклонение совокупности стнеизвест-no, т₀ можно оценить его по стандартному отклонению выборки s. Тогда, заменяя в (2.3) а на s, получаем, что Уо /о-я интервальная оценка /%_S5(u) среднего совокупно­сти р по стандартному отклонению выборки s равна:

$_м(р) = Х±2е_я = X ± 2s/Jn. (2.5)

Далее, заменяя в (2.4) стна s, получаем, что 90%-я интео-вальная оценка Р_д$0(т) среднего совокупности * равна:

$*,(&) =Х± 5а_х/3 = Х± 5а/ЗГп (2.6)

Как видно из (2.3)-(2.6), интервальная оценка зависит от доверительной вероятности и стандартного отклоне­ния совокупности или выборки и размера последней Если разброс значений совокупности невелик, то стандартное отклонение совокупности а и выборки s мало, и довери­тельный интервал невелик. Кроме того, он сужается с уве­личением размеров выборки, поскольку с ростом п умень­шается ее ошибка.

4.4, Оценки размера выборки

Оценки размера выборки зависят от допустимой ошиб­ки выборки а. стандартного отклонение совокупности s или выборки а. и доверительной вероятности. Значения этих параметров зависят от компромисса между ценно­стью более точной информации и стоимостью увеличения размера выборки. Для данного уровня надежности мень­шая ошибка выборки будет стоить увеличения ее размера

Статистика и выборка * 377

При неизменной ошибке выборки, более высокая надеж­ность потребует увеличения размера выборки. Как видно из (2.2)-(2.4), ошибку выборки аможно представить в виде:

а=га/4п, (2.7)

где z — коэффициент, зависящий от требуемого уровня доверительной вероятности: г- 2 — при уровне 0,95, г = = 5/3 — при уровне 0,95. Из (2.7) можно получить выраже­ние для размера выборки:

n = zW/a³. (2.8)

Таким образом, если заданы доверительная вероятность (и следовательно, г) и ошибка выборки а, а также извест­но стандартное отклонение s, то по формуле (2.8) можно определить ее необходимый размер.

Пример. Предположим, что нужно обеспечить 95%-й уровень доверительной вероятности, при известном стан­дартном отклонении с = 1,49. Сравнивая (2.2), (2.3) и (2,7), получаем, что г=2. Далее, ошибка выборки а = 0,3. В дан­ном случае размер выборки, определяемый по (2.8), равен

n = z*^l=? х 1.4?/00 -99.