Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
TeX (от греч. τέχνη  «искусство», «мастерство», произносится «тех»)  система компьютерной вёрстки, разработанная американским профессором информатик...полностью>>
'Конкурс'
1.1. Открытый конкурс на лучшую научную работу студентов по естественным, техническим и гуманитарным наукам в вузах Брянской области (далее - Конкурс)...полностью>>
'Документ'
Москва Грачева Анна Константиновна Генеральный директор ООО «Финанс-Медиа» г. Москва Керов Вячеслав Всеволодович Руководителя проекта «Печатная продук...полностью>>
'Документ'
Не возражаю(-ем) против проверки представленных сведений в соответствующих организациях, учреждениях, предприятиях. Предупрежден(-ы) об ответственност...полностью>>

Главная > Литература

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №6»

Основы логики

на укорах информатики

Ионова Светлана Георгиевна,

учитель информатики и ИКТ

г. Биробиджан, 2011 год

Ионова С.Г. Основы логики на уроках информатики. Брошюра, в помощь учителю информатики, г.Биробиджан, 2011, 18 с.

Содержание:

Алгебра логики. Высказывания. 4

Алгебра высказываний 8

Логические переменные и таблицы истинности 13

Логические законы и правила преобразования логических выражений 18

Литература: 20

Алгебра логики. Высказывания.

Алгебра логики возникла в середине XIX века в трудах Джорджа Буля.

Алгебра логикиэто раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Джордж Буль (основоположник)

Формальной логикой принято называть античную логику, основанную Аристотелем. Логика изучает формы мышления с точки зрения их структуры, законы и правила получения некоторого знания. Формами мышления являются: понятие, суждение, умазаключение.

Понятие – форма мышления, отражающая существенные свойства предмета или класса однородных предметов. Характеризуется содержанием и объёмом. Содержание понятия – те признаки предмета, которые позволяют отличить предмет от остальных. Объём понятия – множество предметов, каждому из которых принадлежат эти призднаки.

Суждение – форма мышления, в которой что-либо утверждается о наличии предмета, его свойствах и действиях. Характеризуется содержанием и формой. Содержанием суждения является его смысл. Форма – способ построения. Суждения бывают истинными и ложными.

Умозаключение – форма мышления, в которой из одного или нескольких суждений на основании определённых правил вывода получается новое суждение.

Высказываниеэто некоторое предложение, которое может быть истинно (верно) или ложно.

«6 — четное число»

«Рим — столица Франции»

Высказываниями не являются: «Ученик десятого класса»
«Информатика — интересный предмет»

Высказывательная форма — это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Логические связки

"не",   "и",   "или",  "если... , то",   "тогда и только тогда"

Высказывания бывают Составные или Элементарные

«Петров — врач»,
«Петров — шахматист»

«Петров — врач и шахматист»

«Петров — врач или шахматист»

«Тимур поедет летом на море» - A
«Тимур летом отправится в горы
» - B
«Тимур летом побывает и на море,  и в горах»
-A и B

Здесь   "и"  — логическая связка.  
А,   В   — логические переменные, которые могут принимать только два значения —   "истина"   или   "ложь", обозначаемые, соответственно,   "1"  и   "0".

Задание.
Установите, какие из следующих предложений являются логическими высказываниями, а какие — нет (объясните почему):

а)Солнце есть спутник Земли”;
б)2+3+4”;
в)сегодня отличная погода”;
г)в романе Л.Н. Толстого “Война и мир” 3 432 536 слов”;
д)Санкт-Петербург расположен на Неве”;
е)музыка Баха слишком сложна”;
ж)первая космическая скорость равна 7.8 км/сек”;
з)железо — металл”;

Определите значения истинности высказываний:
а)наличия аттестата о среднем образовании достаточно для поступления в институт”;
б)наличие аттестата о среднем образовании необходимо для поступления в институт”;
в)если целое число делится на 6, то оно делится на 3”;
г)подобие треугольников является необходимым условием их равенства”;
д)подобие треугольников является необходимым и достаточным условием их равенства”;
е)треугольники подобны только в случае их равенства”;

Сформулируйте отрицания следующих высказываний или высказывательных форм:
а)Эльбрус — высочайшая горная вершина Европы”;
б)2>=5”;
в)10<7”;
г)все натуральные числа целые”;
д)через любые три точки на плоскости можно провести окружность”;
е)теннисист Кафельников не проиграл финальную игру”.

Алгебра высказываний

Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.

  • В алгебре высказываний суждениям (простым высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита. Рассмотрим два простых высказывания:

А = «Два умножить на два равно четырем».

В = «Два умножить на два равно пяти».

  • Высказывания могут быть истинными или ложными.

  • Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному — значение 0. В нашем случае первое высказывание истинно = 1), а второе ложно (В = 0).

  • В алгебре высказываний над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания.

  • Для образования новых высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не».

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией.

  • Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.

Пример: Какие из приведенных ниже высказываний будут истинными?

(1) «2 • 2 = 5 и 3 • 3 = 10»,

(2) «2 • 2 = 5 и 3 • 3 = 9»,

(3) «2 • 2 = 4 и 3 • 3 = 10»,

(4) «2 • 2 = 4 и 3 • 3 = 9».

  • В естественном языке конъюнкция соответствует союзу и

  • В языках программирования обозначается and

  • Операцию логического умножения (конъюнкцию) принято обозначать значком «&» либо «^». Образуем составное высказывание F, которое получится в результате конъюнкции двух простых высказываний:

  • F = А&В.

Таблица истинности функции логического умножения

А

В

F =А&В

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией.

  • Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.

Пример: Какие из приведенных ниже высказываний будут истинными?

(1) «2 • 2 = 5 или 3 • 3 = 10»,

(2) «2 • 2 = 5 или 3 • 3 = 9»,

(3) «2 • 2 = 4 или 3 • 3 = 10»,

(4) «2 • 2 = 4 или 3 • 3 = 9».

  • В естественном языке дизъюнкция соответствует союзу или

  • В языках программирования обозначается or

  • Операцию логического сложения (дизъюнкцию) принято обозначать либо значком «v», либо знаком сложения «+». Образуем составное высказывание F, которое получится в результате дизъюнкции двух простых высказываний:

  • F = A v В.

Таблица истинности функции логического сложения

А

В

F =А v В

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Логическое отрицание (инверсия)

Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией.

  • Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное — истинным.

  • В естественном языке инверсия соответствует частице не

  • В языках программирования обозначается not

  • Пусть А = «Два умножить на два равно четырем» — истинное высказывание, тогда высказывание F = «Два умножить на два не равно четырем», образованное с помощью операции логического отрицания, — ложно.

  • Операцию логического отрицания (инверсию) над логическим высказыванием А в алгебре логики принято обозначать |А.

  • Образуем высказывание F, являющееся логическим отрицанием |А:

F =|А.

Таблица истинности функции логического отрицания

А

F =А

0

1

1

0

  • Составить составное высказывание, содержащее операции логического умножения, сложения и отрицания. Определить его истинность.

  • А=«2*2=5» В=«2*2=4»

  • F=(AVB) & (AVB)

  • F=(0V1) &(1V0)=1&1=1

Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование)

  • в естественном языке соответствует обороту если ..., то ...;

  • обозначение => .

  • Импликация — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

Таблица истинности функции ИМПЛИКАЦИЯ

А

В

А => В

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (равнозначность)

  • в естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только тогда; в том и только в том случае;

  • обозначения <=>, ~

  • Эквиваленция — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны

Таблица истинности функции эквиваленции:

А

В

А <=> В

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Логические операции имеют следующий приоритет

  • действия в скобках,

  • инверсия,

  • конъюнкция &,

  • дизъюнкция v,

  • импликация =>,

  • эквиваленция <=>.

Логические переменные и таблицы истинности

Таблицу, показывающую, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности составного высказывания.

Составные высказывания в алгебре логики записываются с помощью логических выражений. Для любого логического выражения достаточно просто построить таблицу истинности.

Алгоритм построения таблицы истинности:

1) подсчитать количество переменных п в логическом выражении;

2) определить число строк в таблице, которое равно т = 2n;

3) подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице,

которое равно количеству переменных плюс количество операций;

4) ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5) заполнить столбцы входных переменных наборами значений;

6) провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в п.4 последовательностью.

Наборы входных переменных, во избежание ошибок, рекомендуется перечислять следующим образом:

а) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки нулями, а нижнюю единицами;

б) разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами нулей и единиц, начиная с группы нулей;

в) продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и так далее частей и заполнение их группами нулей или единиц до тех пор, пока группы нулей и единиц не будут состоять из одного символа.

Например: Для формулы A&(BvB&C) построить таблицу истинности алгебраически.

Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть 2 3 =8.

Количество логических операций в формуле 5, следовательно, количество столбцов в таблице истинности должно быть 3 + 5 = 8.

A

B

C

B

C

B&C

B (B&C)

A&(B B&C)

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

Логической функцией называют функцию F(X1, Х2, ..., Хn), аргументы которой X1, Х2, ..., Хn (логические переменные) и сама функция (логическая переменная) принимают значения О или 1.

Существуют 16 различных логических функций от двух переменных.

аргументы

Логические функции

А

В

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F9

F10

F11

F12

F13

F14

F15

F16

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

Если логическая функция представлена с помощью базовых логических функций (дизъюнкции, конъюнкции и инверсии), то такая форма представления называется нормальной.

F2 функция логического умножения

F8 функция логического сложения

F13 функция логического отрицания аргумента А

F11 функция логического отрицания аргумента В

F14 функция логической операции импликация

F10 функция логической операции эквиваленция

По имеющимся таблицам истинности выразите через базовые логические функции (конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание) следующие функции:

а) F9(X, У);

б) F15(X, У).

Из таблицы истинности видно, что F9(X, Y) = F8(X,Y) (отрицание дизъюнкции).

Из таблицы истинности видно, что F15(X, Y) = F2(X,Y) (отрицание конъюнкции).

1. Найдите значения логических выражений:

а) (lvl)v(lvO);

б) ((lvO)vl)vl;

в) (Ovl)v(lvO);

г) (0&1)&1;

д) 1&(1&1)&1;

е) ((lvO)&(l&l))&(Ovl);

ж) ((l&0)v(l&0))vl;

з) ((l&l)vO)&(Ovl);

и) ((0&0)vO)&(lvl).

2. Даны два простых высказывания:

А = {2 • 2 = 4},

В = {2 • 2 = 5}.

Какие из составных высказываний истинны:

а)не А; б)не В; в)А&В; г)AvB;

Логические законы и правила преобразования логических выражений

Логические выражения называются равносильными, если их истинностные значения совпадают при любых значениях входящих в них логических переменных.

В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений.

1. Закон тождества.

Всякое высказывание тождественно самому себе:

  • А=А

2. Закон непротиворечия.

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание А истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно:

  • А&A=0

3. Закон исключенного третьего.

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Это означает, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение «истина»:

  • AvA = 1

4. Закон двойного отрицания.

Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание:

  • А=А

5. Законы де Моргана.

  • АvB=A&B

  • A&B = АvB

6. Закон коммутативности.

В алгебре высказываний можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения:

  • АvB= BvА

  • A&B=B&А

7. Закон ассоциативности.

Если в логическом выражении используются только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять:

  • ( АvB)vC= Аv(BvC)

  • ( A&B)&C= A&(B&C)

8. Закон дистрибутивности

  • ( А&B)v (А&C) = А& (BvC)

  • ( А v B) & (А v C) = Аv (B& C)

Литература:

  1. Семакин И.Г., Залогова Л.А., Русаков С.В., Шестопалова Л.В. Информатика и ИКТ. Базовый курс. 7-9, М. Лаборатория базовых знаний, 2006.

  2. Винер Н, Кибернетика м, 1983.

  3. Кушниренко А.Г., Лебедев Г.В., Скворень Р.А.Основы информатики и вычислительной техники.М. Прорсвещение, 2006.

  4. Могилёв А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика, М. Академия, 2003.

  5. Угринович Н.Д. Информатика и ИКТ. М. Лаборатория базовых знаний, 2006.



Похожие документы:

  1. Спиркин А. Г. С72 Философия: Учебник для технических вузов

    Учебник
    ... — эта субъектив­ная логика, логика мышления. Логичность ... отраслях, как микробиология и информатика. Новые от­крытия и ... и пример для подражания, и укор нашей совести, и призыв к ... ; последний заложил основы математической логики. Но подлинным вдохнови ...
  2. Основная образовательная программа начального общего образования моу «сош №14 г. Зеленокумска»

    Основная образовательная программа
    ... информатика Математика 4 4 4 4 16 Информатика и ИКТ — 1 1 1 3 Обществознание и естествознание Окружающий мир 2 2 2 2 8 Основы духовно-нравственной культуры Основы ... и логических (логико-конструктивных) заданий ... . Исповедь. Обет укор и укоризна. Праведники ...
  3. Задачи воспитания Пути реализации задач воспитания Организация воспитания Этапы педагогического процесса Закономерности педагогического процесса

    Учебник
    ... лежит в основе интуиции, анализ – в основе логики. Эксплуатация этой ... часть, математику с основами информатики, общественные, естественные, эстетические ... – самый болезненный укор воспитателю. Невозможно ... не на основе изучения одной проблемы, а на основе ...
  4. Литература для самостоятельной работы 21

    Литература
    ... двигателях, атомной энергетике, информатике и значительно обновлен курс ... компонента определяются на местах. На основе учебных планов ... только записать эту логику на соответствующем машинном языке. ... «От простого шутливого укора, добродушного выговора до ...
  5. Основная образовательная программа основного общего образования Ангарск 2013 г

    Основная образовательная программа
    ... », «Информатика», «Физика», «Биология», «Химия», «Изобразительное искусство», «Музыка», «Технология», «Физическая культура» и «Основы безопасности ...

Другие похожие документы..