Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Программа'
403 Стратегии в менеджменте: управление социальными системами Сахаров А.С. Ауд. 403 Межличностные коммуникации в образовании Радина Н.К. Ауд. 08 Метод...полностью>>
'Анализ'
1. Киреев А.П. Международная экономика. В 2-х ч. – Ч.1. Международная микроэкономика: движение товаров и факторов производства. Учебное пособие для ву...полностью>>
'Документ'
Основные общеобразовательные программы начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования обеспечивают реализацию федеральног...полностью>>
'Конкурс'
Настоящим некоммерческая организация «Фонд содействия кредитованию малого и среднего бизнеса» (далее – Заказчик, Фонд) объявляет о проведении открытог...полностью>>

Главная > Урок

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Урок одной задачи.

Большинство геометрических задач допускает решение несколькими способами. Решение одной задачи разными способами эффективнее, чем решение нескольких задач одним способом, поскольку способствует более глубокому пониманию и усвоению материала. Этот урок целесообразно провести в конце 9 класса при повторении, так как при доказательствах используются многие теоремы планиметрии.

Форма организации учебной деятельности может быть такой: учитель создает группу по 3-4 человека с равными учебными возможностями. Первый способ решения дан в учебнике, по которому учатся дети (Л.С. Атанасян и другие, Геометрия 7-9), поэтому его можно дать ученикам с невысокими учебными возможностями. Другим группам учитель выдает карточку с кратким планом решения задачи, затем, если понадобиться провести более подробную консультацию.

Тема урока: «Точка пересечения медиан».

Цель: решить задачу о пересечении медиан треугольника шестью способами.

Определение. Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с

серединой противоположной стороны.

Задача: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, причем каждая из них делится этой

точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

1 способ.

Дано: ΔАВС

АА1, ВВ1 – медианы.

Доказать: АО:ОА1=ВО:ОВ1=2:1

Доказательство:

Проведем среднюю линию А1В1, по свойству средней линии А1В1||АВ,

А1В1=АВ.

Так как А1В1 ||АВ, то <1=<2 накрест лежащие при параллельных прямых АВ и А1В1 и секущей АА1.

<3=<4 накрест лежащие при параллельных прямых А1В1 и АВ и секущей ВВ1.

Следовательно, ΔАОВ~ΔА1ОВ1 по равенству двух углов, значит, стороны пропорциональны:

 ==  =

= ; =

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и , следовательно, совпадает с точкой О.

2 способ.



Проведем в ΔВОА среднюю линию МN. По свойству средней линии МN || АВ, МN=АВ

В ΔАВС, А1В1- средняя линия, значит, А1В1 || АВ, А1В1=АВ.

То есть МN || А1В1, МN = А1В1, следовательно, четырехугольник МА1В1N – параллелограмм, его диагонали МВ1 и А1N пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

То есть МО=ОВ1, NО=ОА1.

Но АN=NО и NО=ОА1, то есть АО:ОА1=2:1.

Так как ВМ=МО и МО=ОВ1, то есть ВО:ОВ1=2:1.

Аналогично доказывается, что

ВО:ОВ1=СО:ОС1=2:1.

3 способ.

Пусть точка О делит медиану АА1 в отношении 2:1, считая от вершины А. Докажем, что медиана ВВ1 проходит через точку О.

Пусть К – середина отрезка АО, тогда АК=КО=ОА1.

Пусть В1 – точка пересечения прямых ВО и АС. Достаточно доказать, что АВ11С.

Через точки К и А1 проведем прямые, параллельные ВО, КL || ВО, А1N|| ВО.

Так как АК=КО=ОА1, по теореме Фалеса АL=LВ11N;

Так как В1А11С, по теореме Фалеса В1N=NС, то есть АL=LВ11N= NС, то есть АВ11С.

То есть медиана ВВ1 проходит через точку О. Если в рассуждении заменить отрезок ВВ1 на отрезок СС1, то мы получим, что и СС1 проходит через М. Все три медианы пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1.

4 способ.

Пусть точка О делит медиану АА1 в отношении 2:1, считая от вершины А.

Рассмотрим ΔСАО и ΔСА1О, их высоты, опущенные из вершины С совпадают, тогда площади треугольников относятся как их основания:

 ==

следовательно, SΔСАО=2SΔСА1О

Аналогично, SΔВАО=2SΔВА1О .

Рассмотрим ΔСА1О и ΔВА1О, они имеют общую высоту, проведенную из вершины О, значит, их площади относятся как их основания:

 ==1, так как СА1=ВА1.

Следовательно, SΔСАО=SΔВАО= SΔСОВ , так как SΔСОВ = SΔВОА1 + SΔСОА1=2 SΔВОА1 = SΔВАО .

Пусть В1 – точка пересечения прямых ВО и АС. Докажем, что АВ11С.

Так как = и = , следовательно, ==.

Пользуясь теоремой: 

= = =1

то есть АВ1=СВ1.

5

А

способ.

В

С

А1

В1

О



Пусть СВ11А.

Пусть точка О лежит на медиане АА1, причем АО:ОА1=2:1, то есть АО=АА1

ВО=ВС+СА+АО=ВС+СА+АА1=ВС+СА+(АС+СА1)=ВС+СА+АС+СА1=ВС+СА-СА+СВ=ВС+СА- СА- ВС=ВС+ СА= (ВС+СА)=  (ВС+СВ1)=  ВВ1

ВО=ВВ1

Следовательно, точка О лежит на медиане ВВ1, причем, АО:ОА1=ВО:ОВ1=2:1.

6 способ.

Пусть точка О делит медиану АА1 в отношении 2:1, считая от вершины А, то есть АО:ОА1=2:1.

Рассмотрим ΔАВ'В;

=

АВ'=

ΔСВ'В, по теореме синусов



СВ'=

 : 

Так как =, то имеем



Рассмотрим ΔАОВ, по теореме синусов:

=

АО=

Рассмотрим ΔА1ОВ, по теореме синусов

=

А1О=

 : 

так как =,

 ===2  , так как 2А1В=СВ

так как АО: А1О=2:1

2 =2 = 

=

2, то есть

ВВ' – медиана и она проходит через точку О.

Тема урока: «Свойство биссектрисы треугольника».

Цель: решить задачу на свойство биссектрисы треугольника девятью способами.

Определения. Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий его на

два равных угла.

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину угла

треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой

треугольника.

Задача. Доказать, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки,

пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

1 способ.

Доказать: 

Доказательство:

ΔАВD и ΔАСD имеют общую высоту АН, поэтому площади относятся как их основания

= (1)

Эти треугольники имеют по равному углу, их площади относятся как произведения сторон, заключающих равные углы

= (2)

  или  

2 способ.

Доказать: 

Доказательство:

Если ΔАСВ – равнобедренный, то АС=СВ, АD=DВ

=1 ; =1.

=  или 

Рассмотрим общий случай, когда АССВ.

Опустим перпендикуляр АF и ВF из вершин А и В на прямую СD.

ΔАСF ~ ΔВСЕ по равенству двух углов, так как

<АСF=<ВСЕ (по условию)

<АFС=<ВЕС=900.

Значит,  =  (1)

ΔАDF ~ ΔВDЕ по равенству двух углов => = (2)

Сравнивая (1) и (2) получим  =  или =

3 способ.

Доказать: 

Доказательство:

Построим на луче СD точку Е такую, что ВD=ВЕ.

Δ DВЕ – равнобедренный, => <ВDЕ=<ВЕD

Но <ВDЕ=<АDС (вертикальные) => <АDС=<ВЕD

ΔАСD ~ ΔВСЕ (по равенству двух углов)

 , но ВЕ=ВD, имеем



4 способ.

Доказать: 

Доказательство:

Построим на луче СD такую точку Е, что АЕ=АС.

ΔАСЕ – равнобедренный, => <АСЕ=<АЕС

Но <АСЕ=<ВСD => <ВСD=<АЕС.

ΔАЕD ~ ΔВСD по равенству двух углов

=>  , но АЕ=АС, поэтому

 или 

5 способ.

Доказать: 

Доказательство:

Проведем через точку D прямую DF || АС.

Для <АВС по теореме о пропорциональных отрезках

(задача № 556, учебника А.С. Атанасян и другие, Геометрия 7-9):

 или  (1)

ΔВАС ~ ΔВDF (по равенству двух углов):

<В – общий,

<ВАС=<ВDF соответственные при параллельных прямых.

 или = (2)

<АСD=<СDF накрест лежащие при параллельных прямых АС и DF и секущей СD, но <АСD= Δ СDF – равнобедренный => СF=DF.

В равенстве (2) заменим DF на СF.

Имеем,  (3)

Сравнивая (1) и (2) =  или 

6 способ.

Доказать: 

Доказательство:

ΔACD и ΔBCD имеют общую

высоту СN, значит их площади

относятся как основания

= (1)

В этих треугольниках проведем высоты из вершины D к сторонам АС и СВ.

Точка D лежит на биссектрисе СD угла АСВ, значит, точка D равноудалена от сторон угла АСВ, то есть DК=DМ.

 = (2)

Сравним равенства (1) и (2) имеем

 или 

7 способ.

Доказать: 

Доказательство:

Вокруг ∆АВС опишем окружность и продолжим CD до пересечения с окружностью в точке Е.

<АСЕ=<АВЕ, вписанные, опирающиеся на дугу АЕ;

<АЕС=<АВС, вписанные, опирающиеся на дугу АС.

<САВ=<СЕВ, вписанные, опирающиеся на дугу СВ.

<ЕСВ=<ЕАВ, вписанные, опирающиеся на дугу ВЕ.

∆АСЕ ~ ∆DСВ по равенству двух углов, =>  => АС*DB=DC*АЕ (1)

∆ВСЕ ~ ∆DСА по равенству двух углов, =>  => ВС*DА=DC*ВЕ (2)

∆АВЕ – равнобедренный => АЕ=ВЕ

В равенстве (1) заменим АЕ на ВЕ

Имеем АС*DB=DC*ВЕ (3)

Сравнивая (2) и (3) имеем

АС*DB=BC*DA

Поделим обе части на ВС*ВD, получим,

 или  .

8 способ.

Доказать: 

Доказательство:

Проведем через точку D две прямые DM || AC,

DK || CB.

СМDК – параллелограмм.

<КСD=<МDC накрест лежащие при параллельных прямых КС и DM,

<КDС=<МCD накрест лежащие при параллельных прямых СМ и DК,

так как <КСD=<МCD, то <КDС=<МCD, то есть СD – биссектриса противолежащих углов С и D, значит,

КСМD – ромб, и у него КС=СМ=МD=DК.

∆АКD ~ ∆DМВ по равенству двух углов

=>  (1)

∆АСВ ~ ∆DМВ => 

то есть  , но DM=KD

 (2)

Сравнивая (1) и (2) имеем  или  .

9 способ.

Доказать: 

Доказательство:

Через точки А и D проведем прямые, параллельные DC и ВС, они пересеклись в точке Е, то есть АЕ || DC,

DE || BC.

<ВСD=<СDE накрест лежащие при параллельных прямых СВ и DE.

<АСD=<ЕАС накрест лежащие при параллельных прямых АЕ и СD.

<СDЕ=

<АСD=<ВСD (по условию)

Значит, все углы в четырех парах равны между собой.

∆АЕО – равнобедренный => АО=ОЕ,

∆СОD – равнобедренный => DO=OC

∆AED ~ ∆DCB по равенству двух углов

=>  (1), но ED=EO+OD

но EO=AO, OD=OC

ED=AO+OC=AC

Заменим в равенстве (1) ED на AC

 или .



Похожие документы:

  1. 1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин

    Документ
    ... две прямые и -23- 1. Найти точку пересечения медиан треугольника с вершинами в точках А(2;-1) , В(-1;3) , С(2;-3). 2. Через начало координат провести ...
  2. Контрольная работа №1 Вариант 1 Точки А, С, м и Рлежат в плоскости , а точка в не лежит в ней. Постройте точку пересечения прямой мр с плоскостью авс

    Документ
    ... рисунке векторы, равные: В тетраэдре DABC M – точка пересечения медиан грани BDC, E – середина АС. Разложите ... , равные: В тетраэдре DABC точка Е – середина ребра AD, а точка М - пересечения медиан грани BDC. Разложите вектор ...
  3. Замечательные точки треугольника

    Реферат
    ... , точка пересечения медиан АА1 и ВВ1 совпадает с точкой пересечения медиан АА1 и СС1. Если точку пересечения медиан треугольника соединить с вершинами, то треугольники ...
  4. N. 3 чевианы пересекаются в одной точке. Их отразили относительно биссектрис. (!)получившиеся отрезки пересекутся в одной точке. 40

    Документ
    ... чевианы, пересекающиеся в О. О — точка пересечения медиан A1B1C1. (!) она является точкой пересечения медиан ABC. 64. pP a,b,c,dN a2+ ... NC=CP:PA а) (!) О–точка пересечения медиан MNP б) (!) О–точка пересечения медиан , образованного прямыми AN,BP ...
  5. Исследовательская работа по математике «Свойства педального треугольника. Точка Брокара»

    Исследовательская работа
    ... треугольника точки Брокара равна Теорема 1. Если точка Брокара Р есть точка пересечения медиан, то треугольник ... Р – точка пересечения медиан, т.е. треугольник АВС правильный. Теорема 4. Если точка Брокара Р является точкой пересечения биссектрисы СМ ...

Другие похожие документы..