Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
о педагогическом совете муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Средняя общеобразовательная школа №20 с углубленным изучением отдел...полностью>>
'Документ'
подготовки и проведения социально-психологического тестирования обучающихся в общеобразовательных организациях Томской области в 2016 г., направленног...полностью>>
'Конспект'
Заклички восходят к древнейшим обрядам. Заклички-обращения превратились в песенки,которыми забавлялись дети по какому-либо случаю (дождь, солнце и т.д...полностью>>
'Инструкция'
Часть 2 состоит из 10 заданий (В1 – В10), на которые надо дать краткий ответ в виде числа или последовательности букв. В этой части используются задан...полностью>>

Главная > Решение

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Содержание

Операции с матрицами

Решение систем линейных уравнений с помощью матриц

Операции с матрицами

Матрицы широко используются для математического описания объектов и процессов. Excel в полной мере поддерживает операции и арифметические действия над матрицами. Это позволяет использовать Excel для решения систем линейных уравнений, о чем будет рассказано в следующем разделе. Здесь же рассмотрим основные сведения о матрицах и функциях Excel для выполнения операций над матрицами.

Математическая запись прямоугольной матрицы A размером m х n выглядит так:

a11

a12

a1n

a21

a22

a2n

A=(

a31

a32

a3n

)=aij

am1

am2

amn

Матрица, состоящая из одной строки (столбца), называется вектором:

A= (a11 , a12 , … , a1n)

Если m=n, то матрица называется квадратной n-го порядка. Если в квадратной матрице элементы равны 0, а диагональные элементы равны 1, то матрица называется единичной и диагональной. Единичная матрица E 3-го порядка выглядит так:

1

0

0

E=(

0

1

0

)

0

0

1

Основные операции над матрицами и соответствующие функции Excel следующие:

  • транспонирование матрицы - функция ТРАНС из группы Ссылки и массивы;

  • вычисление определителя матрицы - функция МОПРЕД из группы Математические;

  • нахождение обратной матрицы - функция МОБР из группы Математические;

  • сложение, вычитание;

  • умножение - функция МУМНОЖ из группы Математические.

Рассмотрим каждую операцию и ее применение в Excel в отдельности.

Транспонирование. В транспонированной матрице AT (или А’) столбцы исходной матрицы А заменяются строками, т.е. если А=(aij), то AT=(aji). Транспонируем матрицу A1:D2 в матрицу A4:B7, как показано ниже:

Как видно, функция ТРАНСП возвращает горизонтальный диапазон ячеек в виде вертикального и наоборот. Проделайте следующее:

  1. Выделите диапазон ячеек A4:B7 и вызовите мастер функций кнопкой fx.

  2. В окне мастера выберите функцию ТРАНСП и укажите диапазон исходного массива A1:D2.

  3. После нажатия ОК встаньте на строку формул и нажмите Ctrl+Shift+Enter.

Окно мастера функций обычно закрывает необходимый диапазон ячеек. Его можно отодвинуть указателем мыши, удерживая левую кнопку. Это даст Вам возможность выделить нужный диапазон и нажать Enter – диапазон сам попадет в окно мастера.

Вычисление определителя. Определитель |A| это числовая характеристика квадратной матрицы и вычисляется из значений ее элементов. Если |A|=0, то матрица называется вырожденной. Для матрицы 1-го порядка A=(a11) определитель равен |A|=a11. Для матрицы 2-го порядка определитель равен |A|=a11 a22 a12 a21. Определитель матрицы 3-го порядка содержит 6 слагаемых, 4-го порядка 24 и т.д. – для матрицы n-го порядка число слагаемых равно n!. Функция Excel МОПРЕД облегчает вычисления.

Вычислите определитель матрицы А1:С3, показанной ниже:

Для этого в ячейку В5 запишите функцию МОПРЕД и укажите диапазон А1:С3. Значение определителя равно 6.

Нахождение обратной матрицы. Обратные матрицы используются для решения систем уравнений с несколькими неизвестными. Обратная матрица А-1 существует только для невырожденной матрицы А. Для матрицы 2-го порядка

a

b

А=(

c

d

)

обратная матрица вычисляется так:

d/(adbc)

b/(bcad)

А-1 =(

c/(bcad)

a/(ad–bc)

)

Функция Excel МОБР облегчает подобные вычисления. Ниже приведена матрица А1:С3, а в А5:С7 обратная матрица.

Выполните самостоятельно: выделите диапазон для обратной матрицы А5:С7, вызовите мастер функций кнопкой fx, выберите функцию МОБР и введите диапазон исходной матрицы А1:С3, после нажатия ОК встаньте на строку формул и нажмите Ctrl+Shift+Enter.

Сложение и вычитание матриц не представляет трудностей. Для этого не существует специальных функций – следует выполнить поэлементное сложение (вычитание) матриц. Складывать (вычитать) можно матрицы одного размера.

Умножение матрицы на число также выполняется поэлементным умножением элементов на это число.

Умножение двух матриц возможно, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Правило перемножения продемонстрируем на примере:

a11

a12

a13

в11

в12

С=А*В=(

a21

a22

a23

)*(

в21

в22

)=

a31

a32

a33

в31

в32

a1111+a1221+a1331

a1112+a1222+a1332

с11

с12

=(

а2111+a2221+a2331

а2112+a2222+a2332

)=(

с21

с22

)

a3111+a3221+a3331

a3112+a3222+a3332

с31

с32

Как видно, элемент сij произведения равен сумме произведений элементов i-ой строки первой матрицы на j-ый столбец второй матрицы. При использовании функции МУМНОЖ следует точно определять размерность матрицы произведения: если размер первой матрицы m*n, второй матрицы n*p, то размер произведения будет m*p.

Умножение матриц используем при решении следующего примера. Ателье шьет комбинезоны трех типов К1, К2, К3 и использует ткани двух типов Т1, Т2. Нормы расхода ткани каждого типа на каждый комбинезон, план производства (штук) и стоимость (руб.) единицы тканей заданы матрицами:

Необходимо определить а) затраты (метраж) тканей каждого типа для выполнения плана и б) стоимость затрат на один комбинезон каждого типа. Результат решения показан ниже:

Воспроизведите это решение. Для определения затрат перемножьте матрицу B2:D3 на матрицу F2:F4 (число столбцов первой совпадает с числом строк второй и равно 3). Размерность произведения будет 2*1. Вычислите его в ячейках J2:J3. Ткани Т1 требуется 450м, а ткани Т2 850м.

Для определения стоимости единицы продукции вначале транспонируйте матрицу B2:D3 в матрицу B6:C8, затем перемножьте ее на матрицу H3:H4 (число столбцов первой совпадает с числом строк второй и равно 2). Размерность произведения будет 3*1. Вычислите его в ячейках F6:F8. Себестоимость ткани на один комбинезон К1 равна 117 руб., на К2 равна 131,5 руб., на К3 равна 158 руб.

Решение систем линейных уравнений с помощью матриц

Многие практические задачи сводятся к решению систем линейных уравнений, которые в свою очередь решаются с применением матриц. Ведь любая система из m уравнений с n неизвестными и свободными членами

a11*x1+

a12*x2+

+

a1n*xn

=b1

a21*x1+

a22*x2+

+

a2n*xn

=b2

a31*x1+

a32*x2+

+

a3n*xn

=b3

am1*x1

am2*x2+

+

amn*xn

=bm

может быть записана в матричном виде: А * Х = В, где А, Х и В есть матрицы:

a11

a12

a1n

x1

b1

a21

a22

a2n

x2

b2

A=(

a31

a32

a3n

)

Х=(

х3

)

В=(

b3

)

am1

am2

amn

xn

bm

Из линейной алгебры известно, что решением системы из n уравнений с n неизвестными является уравнение

Х = А-1 * В

А решением системы из m уравнений с n неизвестными (m>n) является уравнение

Х = (AT * А)-1 * AT * В

Как видно, решение сводится к операциям транспонирования, вычислениям обратных матриц и умножению матриц, что легко реализуется средствами Excel.

В качестве примера используем предыдущую задачу о комбинезонах. Ателье шьет комбинезоны трех типов К1, К2, К3 и использует ткани четырех типов Т1, Т2, Т3, Т4. Нормы расхода ткани каждого типа на каждый комбинезон и объем дневных затрат приведены на рис. 2.33:

Рис. 2.33

Требуется найти ежедневный объем выпуска комбинезонов каждого вида.

Для решения задачи составим систему из 4-х уравнений с 3-мя неизвестными, где хi есть количество пошитых комбинезонов каждого типа в день:

х1 + 2х2 + х3 = 50

1 + 1,5х2 + 3х3 = 80

0,5х1 + х2 + 0,5х3 = 25

1 + х2 + 0,5х3 = 60

Порядок вычислений согласно уравнению Х = (AT * А)-1 * AT * В показан на рис. 2.34:

Рис. 2.34

В итоге в ячейках В24:В26 получено решение: ежедневный пошив комбинезонов К1 равен 14, К2 – 12 и К3 – 11. Воспроизведите порядок вычислений в Excel и проверьте найденное решение, подставив в уравнение найденные значения.

Задания для самостоятельного выполнения:

  1. Решите в Excel следующие системы из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

х1 - 4х2 - х3 = -3

1 + х2 + х3 = 5

1 - 5х2 - 63 = -9

1 - 3х2 + х3 = 2

х1 + 5х2 - 4х3 = -5

1 - х2 - 33 = -4

  1. Решите в Excel следующую систему из 4-х уравнений с тремя неизвестными:

1 - 4х2 + 3х3 = 15

1 - х2 + 5х3 = -3

1 - 2х2 + 7х3 = 1

1 - 4х2 + 10х3 = 5



Похожие документы:

  1. Решение систем линейных уравнений методом lu-разложения

    Решение
    ... Гаусса решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса с выбором главного элемента. Вычисление обратной матрицы ... разложение матрицы. Решение систем линейных уравнений методом LU-разложения. Вычисление определителей и обращение матриц при помощи LU ...
  2. Кафедра теоретической механики Лабораторная работа Метод верхних релаксаций решения систем линейных уравнений Нижний Новгород, 2003

    Документ
    ... , 2003. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений , (1) где А  матрица размерности , x=(x1,x2,...,xn)T вектор решения, f=(f1 ... лабораторной работы. Управление программой осуществляется с помощью команд меню и панели инструментов. Рис ...
  3. Решение систем линейных алгебраических уравнений

    Решение
    ... Решение систем линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений: (1.1) или в матричной форме: Aх=B, (1.2) где: A={aij} квадратная матрица ... элементы матрицы B: . Третий случай. Матрицу A с помощью преобразования ...
  4. Кафедра теоретической механики Лабораторная работа прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений нижний Новгород 2003

    Документ
    ... РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Нижний Новгород 2003 УДК 519.6 Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений ... уравнение , где Е единичная матрица. Его решение сводится к решению m систем ... с помощью команд ...
  5. Тема: «Решение систем линейных алгебраических уравнений»

    Решение
    ... № 1 Тема: «Решение систем линейных алгебраических уравнений». Задание: Решить СЛАУ с помощью встроенной функции lsolve(M,V) и с помощью блока GIVEN ...

Другие похожие документы..