Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Разработать программу создания и обработки заданной структуры данных. Определить рекурсивные функции обходов дерева (в прямом, обратном и симметричном...полностью>>
'Документ'
1. (ф.и.ребенка, число, месяц рождения, д\с, школа, класс) ....полностью>>
'Конкурс'
94 Апшеронск Рекомендовать к зачислению По конкурсу Комарова Алла Викторовна 4,81 Гулькевичский р\н Рекомендовать к зачислению По конкурсу Танков Стан...полностью>>
'Документ'
Фонд: электронные учебные издания, словари, справочники, аудио и видео-издания (коллекции художественных фильмов, классической и эстрадной музыки, зап...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Лекция. Векторная оптимизация.

Вопросы:

  1. Постановка задачи векторной оптимизации. Оптимальность по Парето.

  2. Метод свертывания критериев.

  3. Метод последовательных уступок.

1. Постановка задачи векторной оптимизации. Оптимальность по Парето.

Эффективность функционирования экономической системы оценивается, как правило, несколькими критериями. Математической формой критерия эффективности в оптимизационных экономико-математических задачах является целевая функция.

Пусть имеется критериев, которые можно записать в виде целевых функций , где . Поскольку , то для простоты в дальнейшем будем предполагать, что все целевые функции максимизируются. Задача многокритериальной оптимизации в этом случае запишется

(1)

; (2)

. (3)

Если точки максимума , определенные при решении задач по каждому критерию не совпадают, то решение задачи (1)-(3) может быть только компромиссным. В области допустимых значений задачи находится область компромиссов. При перемещении из одной точки области компромиссов в другую, невозможно одновременное улучшение всех критериев. Принадлежащие области компромиссов планы называются эффективными или оптимальными по Парето (по имени итальянского экономиста, впервые сформулировавшего проблему многокритериальной оптимизации и принцип оптимальности).

План оптимален по Парето, если он допустим и не существует другого плана для которого

и хотя бы для одного критерия выполняется строгое неравенство.

К задачам векторной оптимизации приходят в следующих случаях:

  1. Качество моделируемого процесса нужно оценить с точки зрения нескольких показателей. Это могут быть прибыль, себестоимость, рентабельность и т.д.

  2. Моделируемые процесс представляет собой составляющую нескольких процессов (частей), и каждая из этих частей имеет свой критерий качества.

  3. Моделируемые процесс расчленяется на несколько шагов и на каждом шаге его качество определяется своей функцией. (Например, на отдельных временных промежутках)

При разработке методов решения многокритериальных задач приходится решать ряд специфических проблем.

1. Проблема нормализации возникает наиболее часто. Отдельные критерии как правило имеют различные единицы и масштабы измерения, что делает невозможным их непосредственное сравнение. К единому и безразмерному виду критерии приводятся посредством операции нормирования. Наиболее распространенными способами нормирования является замена абсолютных значений критериев их относительными величинами

,

или относительными значениями отклонений от оптимальных значений критериев

.

2. Проблема учета приоритета критериев встает, если критерии имеют различную значимость. В этом случае необходимо найти математическое определение приоритета и степень его влияния на решение задачи.

3. Проблема определения области компромисса возникает при решении многомерных нелинейных задач, поэтому для их решения необходимо применять методы, гарантирующие эффективное решение.

Методы решения задач многокритериальной оптимизации можно подразделить на четыре группы:

        • методы, основанные на свертывании критериев;

        • методы, использующие ограничения на критерии;

        • методы целевого программирования;

        • методы, основанные на отыскании компромиссного решения.

Вместо исходной многокритериальной задачи в соответствии с выбранным методом, формируется замещающая задача. В состав замещающей задачи входит один критерий, а к исходной системе ограничений добавляется одно или несколько дополнительных ограничений. Решение замещающей задачи называется субоптимальным.

2. Метод свертывания критериев.

В методах, основанных на свертывании критериев, из локальных критериев формируется один. Наиболее распространенным является метод линейной комбинации частных критериев. Пусть задан вектор весовых коэффициентов критериев , характеризующих важность соответствующего критерия, , . Линейная скаляризованная функция представляет собой сумму частных критериев, умноженных на весовые коэффициенты. Задача математического программирования становится однокритериальной и имеет вид

;

.

Критерии в свертке могут быть нормированы. Решение, полученное в результате оптимизации скаляризованного критерия эффективно.

К недостаткам метода можно отнести то, что малым приращениям коэффициентов соответствуют большие приращения функции, т. е. решение задачи неустойчиво, а также необходимость определения весовых коэффициентов.

3. Метод последовательных уступок.

Рассмотрим один из методов, использующих ограничения на критерии – метод последовательных уступок. Алгоритм метода следующий:

1. Критерии нумеруются в порядке убывания важности.

2. Решается задача

;

.

Определяется значение .

3. Устанавливается уступка , по этому критерию.

4. Решается задача

;

.

Если в задаче более двух критериев, то пункты 3 и 4 повторяются для , ..., .

Пример. Решить задачу методом последовательных уступок, если уступка по первому критерию составляет 10% от его оптимального значения.

Решение.

Решим задачу по критерию . Получим . В соответствии с условием задачи величина уступки . Дополнительное ограничение будет иметь вид , то есть . Решая задачу

получим , ,

Лабораторная работа №5. Решение задач векторной оптимизации в MS Excel.

Цель работы: Изучить основные возможности использования надстройки Поиск решения MS Excel для решения задач векторной оптимизации.

К защите лабораторной работы студент должен предоставить файл рабочей книги Excel с решением задач на разных листах.

Задача 1.

Предприятие может выпускать пять видов продукции И1, И2, ИЗ, И4, И5. Для этого используется три вида ресурсов, расход которых на производст­во единицы продукции и их запасы приведены в таблице:

Ресурс

И1

И2

ИЗ

И4

И5

Запасы

В1

4

5

3

2

3

3000

В2

2

4

4

4

2

4500

В3

3

1

0

1

1

1500

Все изделия обрабатываются на станках четырех типов. Норма времени на обработку одного изделия и фонд времени работы станков приведены в таблице:

Вид станков

И1

И2

И3

И4

И5

Фонд времени (ст./час)

токарные

2

3

5

4

5

5000

фрезерные

1

2

6

3

2

4000

сверлильные

3

4

4

1

4

4000

шлифовальные

1

1

2

2

1

2000

Оптовая цена и себестоимость единицы продукции соответствующего типа приведены в таблице:

И1

И2

И3

И4

И5

Оптовая цена (ден.ед.)

10

9

12

14

9

Себестоимость(ден.ед.)

7

8

9

12

6

Объем каждого вида продукции должен быть не менее 100 и не более 500 единиц. Мерой эффективности производственной программы являются следующие показатели:

1. Прибыль предприятия – f1;

2. Валовый объем выпуска продукции в стоимостном выражении – f2;

3. Себестоимость продукции – f3;

4. Уровень загрузки оборудования – f4.

Требуется.

1. Решить задачу методом последовательных уступок, если уступку по каждому критерию полагать равной 10% от его оптимального значения.

2. Решить задачу методом свертывания критериев, выбрав вектор весовых коэффициентов равным (0,4; 0,2; 0,3; 0,1).

Решение.

1. Составим ЭММ задачи.

Обозначим через – количество продукции И1, – количество продукции И2, – количество продукции И3, – количество продукции И4, – количество продукции И5.

Целевые функции будут иметь вид:

Прибыль: .

Валовый объем ( в стоимостном выражении):

.

Себестоимость: .

Уровень загрузки оборудования:

Ограничениями задачи будут:

1. По расходу ресурсов:

– В1

– В2

– В3

2. По фонду времени работы оборудования:

– (токарное)

– (фрезерное)

– (сверлильное)

– (шлифовальное)

3. По объему выпускаемой продукции: .

4. Условие целочисленности переменных: .

Метод последовательных уступок.

1. Предположим, что критерии пронумерованы в порядке убывания важности. Решаем задачу для . Результаты записываем в первый столбец таблицы, содержащей варианты производственной программы.

2500 (ден.ед.).

2. Определяем величину уступки по первому критерию: . Вводим дополнительное ограничение: . Решаем задачу для . Результаты записываем во второй строке таблицы, содержащей варианты производственной программы. 12992(ден.ед.).

3. Определяем величину уступки по второму критерию: . Вводим дополнительное ограничение: . Решаем задачу для . Результаты записываем в третью строку таблицы, содержащей варианты производственной программы. 9198(ден.ед.).

4. Определяем величину уступки по третьему критерию: . Вводим дополнительное ограничение: . Решаем задачу для . Результаты записываем в четвертую строку таблицы, содержащей варианты производственной программы. 10075 (ст./час).

Варианты производственной программы

Экономическая интерпретация задачи

При решении задачи векторной оптимизации по методу последовательных уступок значение прибыли составит 2343 (ден.ед.), значение валового объема – 11696 (ден.ед.), себестоимость – 9353 (ден.ед.),загрузка оборудования – 10075 (ден.ед.).

Предприятие должно выпускать продукции И1 – 225 ед, И2 – 100 ед, ИЗ – 100 ед, И4– 439 ед, И5– 100 ед.

Метод свертывания критериев.

1. Скопируйте условие задачи на Лист 2.

2. Решите задачу по каждому критерию отдельно. Оптимальные значения критериев занесите в таблицу. (результаты Поиска решения не сохраняйте)

3. Пронормируйте критерии.

Для этого необходимо сначала найти оптимальные решения задачи по каждому критерию в отдельности.

4. Составьте функцию свертки критериев.

5. Решите задачу . .

Задание для самостоятельной работы: Экономическую интерпретацию задачи внесите в отчет.

Задание для самостоятельной работы:

Задача 2.

Предприятие может выпускать четыре вида продукции П1, П2, ПЗ, П4. Для этого используется три вида ресурсов, расход которых на производство единицы продукции и их запасы приведены в таблице:

Ресурс

П1

П2

ПЗ

П4

Запасы

Р1

2

1

1

3

300

Р2

1

-

2

1

170

Р3

1

2

1

-

340

Все изделия обрабатываются на станках четырех типов. Норма времени на обработку одного изделия и фонд времени работы станков приведены в таблице:

Вид станков

П1

П2

ПЗ

П4

Фонд времени (ст./час)

токарные

2

4

5

3

520

фрезерные

1

8

6

5

680

сверлильные

7

4

5

7

440

шлифовальные

4

6

7

2

360

Оптовая цена и себестоимость единицы продукции соответствующего типа приведены в таблице:

П1

П2

ПЗ

П4

Оптовая цена (ден.ед.)

10

14

12

10

Себестоимость(ден.ед.)

7

8

9

8

Объем каждого вида продукции должен быть не менее 10 и не более 50 единиц. Мерой эффективности производственной программы являются следующие показатели:

1. Прибыль предприятия – f1;

2. Валовый объем выпуска продукции в стоимостном выражении – f2;

3. Себестоимость продукции – f3;

4. Уровень загрузки оборудования – f4.

Требуется.

1. Решить задачу методом последовательных уступок, если уступку по каждому критерию полагать равной 10% от его оптимального значения.

2. Решить задачу методом свертывания критериев, выбрав вектор весовых коэффициентов равным (0,4; 0,3; 0,2; 0,1).



Похожие документы:

  1. Учебно-методический комплекс по «экономической теории» Часть 2

    Учебно-методический комплекс
    ... б) если он предполагает использование хотя бы одного ресурса в меньшем количестве, а остальных не в большем; в) если используется ... рыночного равновесия по Л. Вальрасу. Строго говоря, чистая конкуренция никогда не существовала и существовать не будет. ...
  2. Здравоохранение -это комплекс услуг, сконцентрированных на враче, частной или групповой практике, больницах и государственном медицинском обслуживании

    Документ
    ... пригодны для любого риска. Не существует единого источника, к которому читатель мог бы с легкостью обратиться, хотя я ... (A-3) I(X) . 0 длявсех X. Если полис оптимален, он должен, в частности, быть лучше, в смысле критерия (А-2), чем любой другой полис ...
  3. Учебно-методический комплекс дисциплины история экономических учений Специальность

    Учебно-методический комплекс
    ... затратам, а с другой — доказывает правомерность отступления от этой цены, если она не гарантирует каждому ... улучшение по Парето. Фактически существует два критерия оптимальности. Первый относится к распределению ресурсов (улучшение полезности одного ...
  4. Серийный тест Корреляция Обычные ошибки в отношении зависимости Математическое ожидание

    Документ
    ... геометрическое не может быть рассчитано, если хотя бы одна из пере ... другой текущей цене. Оптимальное F для других распределений и настраиваемых кривых Существует много других способов, с помощью которых ... 861. Если мы допустим, что он котируется по цене ...
  5. Основы методологии моделирования процесса принятия решений

    Реферат
    ... . Ребра, для которых выполняются неравенства называются ненасыщенными, а ребра, для которых выполняются равенства — насыщенными. Для определения минимального потока по дугам ...

Другие похожие документы..