Данное пособие соответствует официальной программе по алгебре и началам анализа для десятых классов лицея №40 Нижнего Новгорода. Ссылки в последующем тексте

Данное пособие соответствует официальной программе по алгебре и началам анализа для десятых классов лицея № 40 Нижнего Новгорода.

Ссылки в последующем тексте:

(А) Алимов и др. Алгебра и начала анализа. М., 1994

(В) Виленкин и др. Алгебра и математический анализ для 10 класса. М., 2008

(Д) Демидович. Сборник задач по математическому анализу. М., 1972

I. Действительные числа

Расширение понятия о числе. Рациональные числа. Бесконечные десятичные периодические дроби, их обращение в обыкновенные.

Натуральные числа - первое множество чисел, с которыми встречается изучающий математику. Мы считаем множество натуральных чисел первичным, не подлежащим предварительному анализу.

На множестве натуральных чисел имеются две алгебраические операции - сложение и умножение. Это означает, что складывая и умножая натуральные числа, мы получаем снова натуральные числа.

Первым числом, выводящим за пределы множества натуральных чисел, является число ноль. Оно однозначно определяется как такое число 0, что для любого натурального числа n выполняются равенства n + 0 = 0 + n = n. 0 является решением уравнения n + x = n.

Целые числа появились как расширение множества натуральных чисел в связи с потребностью решать уравнения n + x = 0, где n - натуральное число. Решение этого уравнения обозначается x = -n. Так вводятся целые отрицательные числа. Они позволяют определить операцию вычитания как обратную (противоположную) относительно операции сложения.

N (Z) - общепринятое обозначение множества натуральных (целых) чисел.

Вы уже знакомы с обыкновенными дробями и правилами действий с ними.

Определение 1. Две обыкновенные дроби и () равны, если mq=np.

Теперь введем новое понятие - понятие рационального числа.

Определение 2. Рациональное число - класс всех попарно равных обыкновенных дробей.

Таким образом., дроби 1/2, 2/4, 7/14,... представляют одно и то же рациональное число 1/2.

Обыкновенные дроби называются еще рациональными. Q - обозначение множества рациональных чисел.

Теперь мы умеем решать уравнение вида qx = p, p,qQ, q0. Его решение есть x =.

Появляется операция деления как обратная к умножению (если ql=p, q0, то l=).

Заметим, что число 1 - единственное, обладающее следующим свойством: для любого qQ. Рациональное число (q0) обозначается еще q^-1.

Важное обстоятельство: множество рациональных чисел замкнуто относительно арифметических операций (сложение, вычитание, умножение и деление). Другими словами, сумма, разность, произведение и частное (если делитель не равен нулю) двух рациональных чисел есть рациональное число.

Кроме обыкновенных, в арифметике рассматриваются десятичные дроби. Запись представляет число _. Пусть r - рациональное число, r=m/n, m,nN, n0. Осуществим "длинное" деление (уголком) m на n. Результатом вычисления каждой цифры частного является остаток, который становится текущим делимым, при этом делитель - одно и то же число n для всех последовательных операций деления. Поскольку остатками при делении целых чисел на n могут быть только числа 0, 1, 2,..., n-1, на некотором шаге впервые появится уже ранее встречавшийся остаток, и процесс накопления остатков "зациклится". В полученной десятичной дроби или только конечное число отличных от нуля цифр (такая дробь называется конечной), или же данное рациональное число не представимо конечной десятичной дробью, но тогда его десятичное разложение содержит периодически повторяющуюся часть (период).

Пусть теперь дана периодическая дробь . Докажем, что она представляет собой рациональное число, то есть эта дробь равна некоторой обыкновенной дроби m/r. Рассмотрим две дроби и и вычтем из второй первую: (разность двух чисто периодических дробей с одним и тем же периодом - целое число). Получили x=m/r, где , но это и есть обыкновенная (рациональная) дробь.

Пример. Дробь 22/7 доставляет очень хорошее приближение числа . 22/7=3,(142857). Обратное преобразование: x=3,(142857), n=0, k=6, y=3,(142857), z=3142857,(142857), m=y-z=3142854, r==999999, x=m/r=3142854/999999=22/7.

Теорема 1. Всякое рациональное число представимо как конечная или бесконечная периодическая десятичная дробь. Обратно, любая конечная или бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой некоторое рациональное число.

См.: В(стр. 8, 9, 12, 13).

Иррациональные числа. Действительные числа.

Рассмотренные выше десятичные дроби - конечные или бесконечные периодические представляли собой рациональные числа. Логически остается еще возможность для десятичной дроби быть непериодической. Такая дробь заведомо не может представлять рациональное число (иначе она была бы периодической, в соответствии с теоремой 1). Непериодические дроби существуют, например, x=0,101001000100001.... (за n-й по счету единицей следует n нулей; период должен содержать сколь угодно большое количество нулей и поэтому длина периода не выражается никаким натуральным числом, что и доказывает непериодичность дроби).

Определение 3. Иррациональным числом называется десятичная непериодическая дробь.

Определение 4. Действительным числом называется десятичная дробь.

R - обозначение множества действительных чисел.

Из определения 4 следует, что R включает в себя в качестве подмножеств множества рациональных и иррациональных чисел.

Другой подход к введению действительных чисел - измерение отрезков прямой. Предполагается, что прямая ориентирована, т.е. на на ней задано положительное направление, и выделены две точки, одна из которых соответствует числу 0, другая - 1, причем вектор с началом в 0 и концом в 1 имеет положительное направление. Такая прямая называется числовой. Существует правило, взаимно однозначно сопоставляющее точки числовой прямой действительным числам и обратно. Пусть a - точка из отрезка [0;1]. Разобъем этот отрезок на 10 равных отрезков и занумеруем их последовательно цифрами (десятичными!) 0, 1, 2,..., 9 и обозначим через a₁ номер отрезка, содержащего точку a. Далее - индуктивное построение: разобъем отрезок с номером a₂ (это есть отрезок [a₁/10;(a₁+1)/10]) на 10 равных, занумеруем их последовательно цифрами 0, 1, 2,..., 9 и обозначим через a₂ номер отрезка, содержащего a, и так далее. Десятичной записью числа (точки) a является бесконечная десятичная дробь 0,a₁a₂... Если положительное число a больше 1, то сначала вычтем из a его целую часть, проведем только что указанное построение для дробной части и припишем к полученной дроби целую часть a. Если a<0, то, изменив на время знак, реализуем приведенный алгоритм, после чего поставим перед дробью знак "-".

Обратный процесс: дано действительное число a; требуется указать соответствующую ему точку числовой прямой. Решение таково. Пусть - дробь, представляющая a. Если a>0, разбиваем на 10 равных частей отрезок [a₀; a₀+1], при a<0 разбиваем на 10 равных частей отрезок [a₀-1; a₀]; нумеруем эти части последовательно 0, 1, 2,..., 9 и выбираем отрезок с номером a₁ (первая цифра дробной части a); с выбранным отрезком проделываем то же самое и так далее... Разбиения измельчаются и вложенные друг в друга отрезки этих разбиений "стягиваются" в точку, которая и является геометрическим образом числа a. Нулю отвечает точка "0" числовой прямой (начало координат на прямой).

Задачи: В15, В34, В35.

Приближения с недостатком и избытком. Арифметические действия над действительными числами.

Любое действительное число a, как указано выше, является десятичной дробью , то есть дробь равна заданному числу a. Если эту дробь «обрезать» по какую-то цифру, то есть в представлении числа a ограничиться рассмотрением конечной дроби , мы получим некоторое рациональное число (конечная десятичная дробь!) - десятичное приближение a. Такое приближение называется приближением "по недостатку" с точностью . Добавив к b (то есть увеличив цифру n-го разряда дробной части b на 1, где n - количество цифр, которым мы ограничиваемся для дробной части числа a), получим приближение c числа a "по избытку" с точностью . Таким образом, a заключено между рациональными границами - приближением b "по недостатку" и приближением c "по избытку" с точностью , именно: .

Как определяются арифметические операции над действительными числами? Если x₁a1, x₂b2, то существует единственное число c, такое, что x₁+x₂c1+y₂ для всех допустимых (то есть удовлетворяющих выписанным неравенствам) границ x₁, x₂, y₁, y₂, в которых заключены a и b. Это число c называется суммой a и b, c=a+b. Другие операции (вычитание, умножение, деление) определяются аналогично. Оказывается (мы это не доказываем), что при таком построении арифметики действительных чисел арифметические операции подчиняются следующим законам (x, y, z - действительные числа):

R1. Коммутативность сложения. x + y = y + x.

R2. Ассоциативность сложения. (x + y) + z = x + (y + z).

R3. Существование нейтрального элемента. Для любого xR x + 0 = x.

R4. Существование противоположного элемента. Для любого xR cуществует такое yR, что x + y = 0. Обозначение: y = (-x) = -x.

R5. Коммутативность умножения. xy = yx.

R6. Ассоциативность умножения. (xy)z = x(yz).

R7. Существование нейтрального элемента. Для любого .

R8. Существование обратного элемента. Для любого xR, x0 cуществует такое yR, что xy = 1. Обозначение: y.

R9. Дистрибутивность. (x + y)z = xz + yz, x(y + z) = xy + xz.

Также имеют место законы (свойства) упорядоченности:

R10. Если xy и yz, то xz (транзитивность).

R11. xx (рефлексивность).

R12. Если xy и yx, то x=y (антисимметричность).

Алгебраическая система с двумя операциями (сложение и умножение), удовлетворяющая условиям R1-R9, называется полем. Учтывая R10-R12, говорим, что R - упорядоченное поле.

Если для какой-то величины a>0 неизвестно ее точное значение, а известны только границы, в которых заключено ее значение, 0

m(x+y)=m(x)+m(y)

m(x-y)=m(x)-M(y)

m(xy)=m(x)m(y)

m(x/y)=m(x)/M(y) (M(y)0)

M(x+y)=M(x)+M(y)

M(x-y)=M(x)-m(y)

M(xy)=M(x)M(y)

M(x/y)=M(x)/m(y) (m(y) 0)

Задача. В каких границах изменяется величина x = , если 1,25

Решение. Требуется найти нижнюю и верхнюю границы для x. Имеем:

откуда 4,3 < x < 4,5.

Задача. Сколько можно найти десятичных знаков чисел a+b, a-b, ab, a/b по данным десятичным знакам чисел a и b:

a=2,30114..., b=0,23761...?

Фрагмент решения. Так как 2,30114 a < 2,30115, 0,23761 b < 0,23762, то 2,53875 a+b < 2,53877, поэтому a + b = 2,5387...

Доказательство иррациональности некоторых чисел.

Примеры. Докажем иррациональность следующих чисел.

1.

Решение. Предположим, что число рационально, то есть = , (*). Дробь можно считать несократимой (иначе бы ее сократили). Возведем равенство (*) в квадрат: m² = 2n² (**). Правая часть (**) - число четное, поэтому m² кратно 2; так как квадрат нечетного числа есть число нечетное, m четно и m=2m₁; переписав (**) в виде 4m₁² = 2n², 2m₁²=n, придем к тому, что n четно, n=2n₁, и дробь m/n оказалась сократимой (числитель и знаменатель кратны 2) - противоречие с предположенной ее несократимостью, откуда следует иррациональность .

Заметим, что при решении существенно использовано то обстоятельство, что если n² делится на 2, то n делится на 2.

2. .

Решение. Пусть r = . Имеем: ; после возведения в квадрат получим , или - противоречие с доказанной иррациональностью , следовательно, число иррационально.

Здесь воспользовались доказанной ранее иррациональностью числа и замкнутостью множества рациональных чисел относительно арифметических операций.

3. .

Решение. Предположим, что число рационально, то есть = , (*). Дробь можно считать несократимой (иначе бы ее сократили). Возведем равенство (*) в квадрат: m² = 5n² (**). Правая часть (**) - число, кратное 5, поэтому m² кратно 5; любое натуральное число k при делении на 5 может давать один из остатков 0, 1, 2, 3, 4, то есть любое такое число можно представить в виде k=5s + r, где r=0, 1, 2, 3 или 4 (***); возведем (***) в квадрат: k²=25s² + 10sr + r²; если k² делится на то и r² делится на 5 (так как остальные слагаемые в правой части кратны 5); но среди целых неотрицательных чисел, меньших 5, только 0 делится на 5 - это проверяется непосредственно. Мы доказали, что если k² делится на то и k делится на 5. Правая часть равенства (**) делится на 5, поэтому m² кратно 5, но, по только что доказанному, m делится на 5 и m=5m₁ - подставив в (**), получим 25m₁² = 5n² , 5m₁² = n², то есть n² делится на 5; но тогда n делится на 5 и n=5n₁. В результате получили: m и n кратны 5 и дробь (*) оказалась сократимой - противоречие, и число иррационально.

Заметим, что при решении существенно использовано то обстоятельство, что если n² делится на 5, то n делится на 5.

Замечание. Метод решения примеров 1 и 4 является стандартным: мы предполагаем, что наше число представимо в виде несократимой дроби и после избавления от иррациональности (путем возведения в соответствующую степень) подыскиваем некоторое число, на которое дробь, оказывается, можно сократить - это противоречие доказывает иррациональность нашего числа. В качестве общего множителя числителя и знаменателя удобно брать простое число, являющееся делителем какого-либо коэффициента в полученном после избавления от иррациональности выражении; дело в том, что если степень целого числа n делится на простое число p, то и n делится на p. В первом примере таким простым множителем было простое число 2, в третьем - 5.

4. Докажите, что число иррационально.

Решение. Предположим, что число рационально, то есть = , (*). Дробь можно считать несократимой (иначе бы ее сократили). Возведем равенство (*) в куб: m³ = 3n³ (**). Правая часть (**) - число, кратное 3, поэтому m³ кратно 3; согласно только что сделанному замечанию, m делится на 3 и m=3m₁ - подставив в (**), получим 27m₁³ = 3n³ , 9m₁³ = n³, то есть n³ делится на 9, значит, делится и на 3; но тогда n делится на 3 и n=3n₁. В результате получили: m и n кратны 3 и дробь (*) оказалась сократимой - противоречие, и число иррационально.

5. В16(10). Установим, является число рациональным или иррациональным.

Решение. , и число оказывается рациональным.

Модуль действительного числа, решение уравнений и неравенств с модулем.

Определение 5. Модулем действительного числа a называется действительное число

, равное a, если a0, и равное -a, если a<0.

Из определения 5 следует, что .

Действительные числа изображаются точками числовой оси. Число равно расстоянию от начала координат на числовой прямой (от точки 0) до точки, изображающей число a. Два взаимно противоположных числа имеют одинаковые модули; эти числа изображаются точками числовой прямой, равноудаленными от начала координат 0. Расстояние между точками, изображающими числа a и b, равно .

Свойства модуля:

1);

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Нужно четко усвоить основные виды неравенств, содержащих модуль. Если a>0, то решение неравенства есть -axa (-a

Неравенство равносильно системе неравенств -r< x-a

Неравенство |x|>a задает множество чисел, больших a или меньших -a, то есть совокупность двух бесконечных промежутков и . Это множество точек, расстояние которых до начала координат 0 больше a.

Докажем свойство 2) модуля:

напишем два очевидных неравенства и сложим их почленно: , и отсюда следует неравенство

Решение уравнений и неравенств с параметром.

Параметрами уравнения (неравенства) называются обозначенные буквами числа, входящие в это уравнение (неравенство) помимо неизвестных. Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве), придавать различные числовые значения, то может получиться равенство (неравенство), лишенное смысла, или же уравнение (неравенство), в которое входят только неизвестные и числа и не входит данный параметр. Во втором случае значение параметра называется допустимым, в первом ­недопустимым. Решить уравнение (неравенство), содержащее параметр, - значит для каждого допустимого значения параметра найти множество всех решений данного уравнения (неравенства).

Задача 1. Решите уравнение m² (x-2) - 3m = x + 1.

Решение. (m²-1) x = 2m² + 3m + 1 (1). Если m1, m-1, то уравнение имеет единственное решение x=(2m² + 3m + 1) / (m² - 1) = (2m + 1) / (m - 1).

Если m=1, то уравнение (1) приобретает вид 0 = 6 - ложное равенство. При m=-1 уравнение (1) обращается в тождество. Ответ: x=(2m+1)/(m-1) при m1, m-1;

x - любое число при m=-1; нет решений при m=1.

Задача 2. Решите уравнение .

Решение. Если a0, уравнение эквивалентно . После возведения в квадрат: , . Подставляем в исходное уравнение,..., получим

Ответ. при a0; x<0 при a=0.

Числовые промежутки. Множества точек на плоскости XOY, удовлетворяющих данному условию, их изображение.

Определение 6. Числовым множеством называется подмножество множества действительных чисел.

Геометрически числовое множество изображается точками числовой прямой. Следующие названия и обозначения являются общепринятыми и их необходимо заучить:

Похожие документы:

• Правообладателям
• Написать нам