Голицына О. Л., Партыка Т. Л., Попов И. И. Системы управления базами данных: Учеб пособие

Кодирование и обработка чисел

Кроме кодирования символов в ЭВМ очевидное и важное значение имеют кодирование и представление чисел.

Системы счисления. Человек считает предметы десятками, сотнями: десять единиц образуют десяток, десять десятков — сотню, десять сотен — тысячу и т. д. Это — десятичная система счисления, которая не является единственно возможной. Существует, например, двенадцатеричная система (счет идет на дюжины) или римская система счисления.

Наиболее естественный способ представления числа в компьютерной системе заключается в использовании строки битов, называемой двоичным числом — числом в двоичной системе счисления.

Система счисления — способ именования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения. В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на непозиционные и позиционные:

1. В непозиционной системе цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе;

2. В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе.

Десятичная система счисления является позиционной, так как значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе.

Например:

23 = 2x10 + 3;

32 = 3 х 10 + 2 и 23*32.

Римская система счисления является смешанной, так как значение каждой цифры частично зависит от ее места (позиции) в числе. Так в числах VII, VI, IV цифра V обозначает 5, а I обо­значает 1.

Но, с другой стороны, важно, как цифры расположены относительно друг друга:

VII = 5+1 + 1=7,

VI = 5+ 1 =6,

IV = 5 - 1 = 4.

Основание системы счисления — количество (Р) различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления.

Значения цифр лежат в пределах от 0 до Р - 1.

В общем случае запись любого числа N в системе счисления с основанием Р будет представлять собой ряд (многочлен) вида

N = a_m-1  P^m-1 + a_m-2  P^m-2 +…+ a_k  P^k…+ a₁  P¹ + a₀  P⁰ +…+ a_-1  P^-1 + a_-2  P^-2 +…+ a_-s  P^s  .(1.1)

Нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

         положительные значения индексов — для целой части числа (т разрядов);

         отрицательные значения — для дробной (s разрядов).

Имея в целой части числа т разрядов, а в дробной — s, мож­но записать P^m+S разных чисел.

Двоичная система счисления имеет основание Р=2 и использует для представления информации две цифры — 0 и 1.

Существуют правила перевода чисел из одной системы счисления в другую, основанные в том числе и на выражении (1.1).

Например, двоичное число 101110,101 равно десятичному числу 46,625:

101110,101₂ = 1  2⁵ + 0  2⁴ +1  2³ + 1  2² + 1  2¹ + 0  2⁰ + 1  2^-1 + 0  2^-2 + 1  2^-3 = 46,625_10.

Практически перевод из двоичной системы в десятичную можно легко выполнить, надписав над каждым разрядом соответствующий ему вес и сложив затем произведения значений соответствующих цифр на их веса.

Таким образом, для перевода числа из позиционной системы счисления с любым основанием в десятичную систему счисления можно воспользоваться выражением (1.1).

Обратный перевод из десятичной системы счисления в систему счисления с другим основанием непосредственно по (1.1) затруднителен, поскольку все арифметические действия, предусмотренные этой формулой, следует выполнять в той системе счисления, в которую число переводится. При переводе смешанного числа следует переводить его целую и дробную части отдельно.

Кроме двоичной и десятичной при работе с компьютером часто используются также двоично-десятичная и шестнадцатеричная системы счисления (табл. 1.6).

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную весьма прост — он выполняется поразрядно.

Для изображения цифр, больших 9, в шестнадцатеричной системе счисления применяются буквы А =10, В =11, С =12, D= 13, Е= 14, F= 15.

Например, шестнадцатеричное число F17B в двоичной системе выглядит так: 1111000101111011, а в десятичной — 61819.

Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных компьютерах ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами и в таком виде записываются последовательно друг за другом.

Двоично-десятичная система не экономична с точки зрения реализации технического построения машины   (примерно  на

Таблица 1.6. Перевод цифр из двоичной системы счисления в восьмеричную и десятичную и наоборот

20 % увеличивается требуемое оборудование), но очень удобна при подготовке задач и при программировании. В двоично-десятичной системе счисления основанием системы счисления является число 10, но каждая десятичная цифра (0, 1, ..., 9) кодируется двоичными цифрами.

Представление чисел в ЭВМ

В ЭВМ применяются две формы представления чисел:

• естественная форма, или форма с фиксированной запятой (точкой), — ФЗ (ФТ);

• нормальная форма, или форма с плавающей запятой (точкой), - ПЗ (ПТ).

Фиксированная запятая (точка). В форме представления с фиксированной запятой (точкой) числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.

Например, пусть числа представлены в десятичной системе счисления и имеют пять разрядов в целой части числа (до запятой) и пять в дробной части (после запятой). Числа, записанные в такую разрядную сетку, имеют вид

+00721.35500;

+00000.00328.

Эта форма наиболее проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел и потому чаще всего неприемлема при вычислениях.

В памяти ЭВМ числа с фиксированной точкой хранятся в трех форматах:

•  полуслово — это обычно 16 бит или 2 байта;

•  слово — 32 бита или 4 байта;

• двойное слово — 64 бита или 8 байтов.

Отрицательные числа с ФТ записываются в разрядную сетку в дополнительных кодах, которые образуются прибавлением единицы к младшему разряду обратного кода. Обратный код получается заменой единиц на нули, а нулей на единицы в прямом двоичном коде.

Плавающая запятая (точка). В форме представления с плавающей запятой (точкой) число изображается в виде двух групп цифр:

• мантисса;

• порядок.

При этом абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок — целым числом.

Например, приведенные ранее числа в нормальной форме запишутся следующим образом:

+0,721355 х 10³;

+0,328 х 10 ³.

Нормальная форма представления обеспечивает большой диапазон отображения чисел и является основной в современных компьютерах.

Следует заметить, что все числа с плавающей запятой хранятся в машине в так называемом нормализованном виде.

Нормализованным называют такое число, в старшем разряде мантиссы которого стоит больше нуля. Нормализованные, т. е, приведенные к правильной дроби, числа:

10,35₁₀ = 0,1035₁₀ х 10⁺²; 0,00007245₈ = 0,7245₈ х 8"⁴; F5C,9B_l6 = 0,F5C9B_l6x 16⁺³.

В памяти ЭВМ числа с ПТ хранятся в двух форматах:

•  слово — 32 бита или 4 байта;

• двойное слово — 64 бита или 8 байт.

Алгебраическое представление двоичных чисел.

Знак числа обычно кодируется двоичной цифрой, при этом:

•  код 0 означает знак «+» (плюс);

• код 1 — знак «-» (минус).

Для алгебраического представления чисел, т. е. для представления чисел с учетом их знака, в вычислительных машинах используются специальные коды:

• обратный;

•  дополнительный.

Эти коды позволяют заменить неудобную для компьютера операцию вычитания на операцию сложения с отрицательным числом. Дополнительный код обеспечивает более быстрое выполнение операций, поэтому в компьютере применяется чаще именно он.

Обратный код числа N обозначим [N]_обр. Пусть N= я,, а₂, а₃, ..., а_т и а обозначает инверсию а, т. е. если а =1, то а= 0, и наоборот. Тогда

при N > 0, [N]_обр = 0, a₁,a₂,a₃, … , a_m;

при N < 0, [N]_обр = 1,a₁,a₂,a₃, …, a_m;

при N= 0 имеет место неоднозначность [0]_обр = 0,00 ... 0 = 1,11...1.

Для того чтобы получить обратный код отрицательного числа, необходимо все цифры этого числа инвертировать, т. е. в знаковом разряде поставить 1, во всех значащих разрядах нули заменить единицами, а единицы — нулями.

Например:

для N =1011, [N]_обр = 0,1011;

для N = -1011, [N]_обр = 1,0100.

Дополнительный код числа N обозначим [N]mTl.                                                                                 

Пусть, как и выше, обозначает N=a1,a2,a3, …,am  и a    величину, обратную а (инверсию а), т. е. если а = 1, то ã=0, и наоборот. Тогда

1. V. Оценочные средства 19 Вопросы к экзамену 20

   Вопросы к экзамену
   ... :-608 с., ил. Голицына О.Л., Максимов Н.В., Попов И.И., Базы данных: Учеб. пособие, − М.:ФОРУМ: ... Н.В., Партыка Т.Л., Попов И.И. Системы управления базами данных: Учеб. пособие. М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. - 350 с. Максимов Н.В., Партыка Т.Л., Попов ...

2. Рабочая программа дисциплины информационные системы специальность

   Рабочая программа
   ... Информационные системы [Text] : учеб. пособие / Голицына, О.Л., Максимов, Н.В., Попов, И.И. - М. : ФОРУМ; ИНФРА-М, 2007. - 496 с. Информационные системы в экономике : Учеб. пособие - 2-е изд ...

3. Баркалова Н. В.; Левакова И. В. Изд. 3-е, перераб и доп

   Документ
   ... автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы: учеб. пособие для ... Голицына Ольга Леонидовна , Максимов Николай Вениаминович; Партыка Татьяна Леонидовна; Попов ... 2003: практ. разраб. баз данных; учеб. курс / Сеннов Андрей Светозарович ...

4. Бюллетень новых поступлений сентябрь 2013 год

   Бюллетень
   ... учеб. пособие для вузов по спец. "Менеджмент организации", "Управление ... СИСТЕМЫ 6Ф7.3(075) Г60 Голицына О.Л.    Основы проектирования баз данных [Текст] : учеб. пособие для сред. проф. образования / О. Л. Голицына, Т. Л. Партыка, И. И. Попов ...

Другие похожие документы..