Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Касабян А.А. – 1 лекция; неудовлетворительные оценки; 5. Мурад И.Х. – неудовлетворительные оценки; Группа №5 1. Габибов А....полностью>>
'Документ'
требования в области промышленной и пожарной безопасности, охраны труда и ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ к организациям, привлекаемым к работам и оказанию услуг на ...полностью>>
'Документ'
См.: Кочергин А.И. Конструирование и расчет металлорежущих станков и станочных комплексов. Учебное пособие для вузов. – Мн.: Выш. шк., 1991. - 382 с.:...полностью>>
'Документ'
Электронные аналоговые вольтметры. Классификация. Аналоговые вольтметры постоянного тока, структурные схемы, уравнения преобразования, достоинства и н...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Тема 7

КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Квадратичная форма от двух переменных. Приведение квадратичной формы

к каноническому виду

Пусть A, B, C — некоторые действительные числа, не обращающиеся в нуль одновременно.

Рассмотрим однородный многочлен второй степени

(1)

«Однородный» означает, что в многочлен входят только члены второй степени,

при этом степень второго слагаемого есть сумма степеней l и m в этом слагаемом.

Такой многочлен называется квадратичной формой от двух переменных l и m.

Чтобы пояснить геометрический смысл приведения квадратичной формы к каноническому (наиболее «простому») виду, рассмотрим

Пример. Дана квадратичная форма

Перейдем к новым переменным l’, m’ по формулам

(2)

Имеем (2)

Говорят, что при этом квадратичная форма приняла канонический вид ( в данном случае исчезло слагаемое с произведением l’, m’).

Рассмотрим уравнение, в левой части которого стоит данная квадратичная форма:

Это — уравнение кривой второго порядка. Указанное преобразование координат приводит его к каноническому виду

Линия с таким уравнением является эллипсом с полуосями a=1, b=2.

Если записать более общее (чем (2)) преобразование (поворот осей Olm на угол )

(3)

то в нашем случае tg=½, и переход к новым переменным l, m означает поворот осей Olm на угол , для которого tg=½.

Вернемся к квадратичной форме (1). Приведем ее к каноническому виду, для этого повернем координатные оси на угол  так, что в новых координатах l, m исчезнет слагаемое, содержащее произведение l m(или исчезнут слагаемые с квадратами переменных l и m, что соответствует, как мы увидим ниже, гиперболическому случаю). Рассмотрим кривую второго порядка

(4)

Пусть коэффициенты A, B, C, E, K таковы, что эта кривая представляет собой одну из следующих кривых: невырожденный эллипс, невырожденную гиперболу, невырожденную параболу.

После приведения формы (1) к каноническому виду приведется к каноническому виду и уравнение этой кривой.

Уравнение (4) определяет эллипс, если AC-B2>0 (проверьте, что в приведенном выше примере это неравенство выполняется), гиперболу, если AC-B2<0. Если AC-B2=0, то уравнение (4) определяет параболу.

Приведение к каноническому виду

линейного дифференциального оператора второго порядка.

Классификация дифференциальных уравнений с частными производными

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор

где A, B, C, E, K — те же действительные числа, что и в (4).

Применим этот оператор к функции u(x, y):

Сделаем линейное преобразование (сравните с (3)):

При этом

Имеем

. Таким образом, выражение Lu(x, y) принимает вид

где точками обозначены слагаемые, содержащие частные производные

первого порядка , и

(5)

В то же время рассмотрим квадратичную форму (1). Положим в (3)

Покажем, что с помощью преобразования

(6)

она переходит в квадратичную форму с коэффициентами  из(5):

Итак,

Рассмотрим кривую второго порядка (4). По нашему предположению она невырожденная. Пусть в случае AC=B2 левая часть уравнения (4) содержит слагаемые с l и m в первой степени.

Приведем это уравнение к каноническому виду, подобрав соответствующее значение угла  в (6). Мы видели, что возможны три случая.

1. AC-B2>0, кривая (4) — эллипс.

2. AC-B2<0, кривая (4) — гипербола.

3.AC=B2, кривая (4) — парабола.

Соответственно этому дифференциальный оператор L называется

В случае 1 эллиптическим,

в случае 2 гиперболическим,

в случае 3 параболическим.

При AC-B2>0 квадратичная форма (1) приводится к виду (в координатах 

При AC-B2<0 – к виду (или 2

При AC-B2=0 – к виду 2.

В соответствии с этим оператор Lu после преобразования (3) перейдет

при AC-B2>0 в оператор

, >0 (7.i)

(каноническая форма эллиптического оператора);

при AC-B2<0 в оператор

, <0 или (7.ii)

(каноническая форма гиперболического оператора).

Напомним, что по нашему предположению при AC-B2=0 левая часть уравнения (4) содержит слагаемые с l и m в первой степени, а, следовательно, оператор Lu содержит частные производные первого порядка функции u. Можно показать, что при этом после преобразования (3) оператор Lu перейдет в оператор

(7.iii)

где слагаемое, обозначенное точками, содержит частную производную

(каноническая форма параболического оператора).

Если дифференциальное уравнение Lu=F(x, y) с некоторой функцией F(x, y) с помощью преобразования (3) перешло в уравнение где — функция, в которую при этом перешла функция F(x, y), а имеет один из указанных видов (7.i)- (7.iii), то данное уравнение называется эллиптическим в случае (7.i), гиперболическим – в случае (7.ii), параболическим – в случае (7.iii).

В задачах, которые мы рассмотрели на предыдущих лекциях, мы встретились

1) с уравнением Лапласа легко проверяется, что уравнение Лапласа является уравнением эллиптического типа;

2) с волновым уравнением легко проверяется, что волновое уравнение является уравнением гиперболического типа.

В одной из следующих лекций мы познакомимся с уравнением теплопроводности легко проверяется, что уравнение теплопроводности является уравнением параболического типа.

Эти уравнения стали уже классическими. Они относятся к тем дифференциальным уравнениям с частными производными, которые называются основными уравнениями математической физики.

При описании физических процессов в неоднородных средах возникают дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами и краевые задачи для них. В XIX в. такие задачи иногда удавалось решить, делая замену переменных, позволяющую сводить исходное уравнение к уравнению, разрешимому в квадратурах. Это привело к идее классификации уравнений в частных производных второго порядка. В 1889г. немецкий математик Поль Дюбуа- Реймон (1831- 1899г.г.) выделил три классических типа уравнений, о которых мы только что говорили.

Пусть в некоторой открытой области Oxy рассматривается линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами (предполагается равенство коэффициентов ):

(8)

Это уравнение называется эллиптическим в области , если оно является эллиптическим в каждой точке (x, y).

Уравнение (8) называется гиперболическим (параболическим) в области , если оно является гиперболическим (параболическим) в каждой точке (x, y).

ЛИТЕРАТУРА

11. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М., Наука, 1969.

12. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. М., Наука.

Остальная литература та же, что в теме 1.



Похожие документы:

  1. Ладная тематика рефератов, эссе и курсовых работ студентов по разделам программы

    Эссе
    ... форма дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка в случае n независимых переменных. Характеристики. Классификация и приведение к каноническому виду дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка ...
  2. Основная образовательная программа высшего профессионального образования подготовки специалиста 050201. 65 (2)

    Основная образовательная программа
    ... задач, приводящих к уравнениям с частными производными. Линейные уравнения с частными производными второго порядка и их приведение к каноническому виду. Классификация линейных УЧП второго порядка (двумерный случай). 2. Уравнения гиперболического типа ...
  3. Удк 51 271. 01 Общие вопросы математики

    Документ
    ... квадратичные формы УДК 512.646 271.17.29.25.20 Канонические формы ... дифференциальных уравнений с частными производными УДК 519.63 271.41.19.17.17 Дифференциальные уравнения второго порядка ... 23.15.15 Приведение исходной информации к виду, удобному для ...
  4. Рабочая программа с дополнениями и изменениями утверждена на заседании кафедры высшей математики, протокол № от 201 г. Заведующий кафедрой (1)

    Рабочая программа
    ... переменных. Предел и непрерывность в точке функции многих переменных. Частные производные и дифференциал функции многих переменных. Производные второго и более высокого порядка ...
  5. Аннотация учебной дисциплины (6)

    Документ
    ... Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа. Метод элементарных преобразований. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных. Нормальный вид квадратичной ...

Другие похожие документы..