Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
специальности и профили 180800 «МОРСКАЯ ТЕХНИКА» Направление «Корабельное вооружение» 180800....полностью>>
'Документ'
Искривление горизонтальных линий стен, осадка отдельных участков, перекосы оконных и дверных проемов, полное разрушение цоколя, нарушение монолитности...полностью>>
'Документ'
Предметом курса является изучение отечественной культуры в её историческом развитии. Данный курс способствует формированию высокого уровня общей культ...полностью>>
'Документ'
Извещение № 9503 / 11707 размещено на сайте ; извещение № 31300602309 размещено на сайте /223 и извещение № 154-4-13/12.10.3 размещено на сайте Заказч...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

§ 15. Непрерывные случайные величины .

Плотность вероятности.

Случайная величина х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей числовой оси.

Для непрерывной случайной величины х при любом х0  R имеет место равенство

р(х = х0) = 0, (1)

а также

р(х1 х х2 ) = р(х1 < х < х2 ) = р(х1 < х х2 ) = р(х1 х < х2 ) = F(х2 ) - F (х1 ), (2)

где F(x) функция распределения величины х.

Пусть f(x) - неотрицательная интегрируемая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условию

. (3)

Тогда функция

(4)

обладает всеми свойствами функции распределения. Кроме того, F(x) непрерывна в любой точке (и слева, и справа). Следовательно, случайная величина х, определяемая функцией распределения F(x), является непрерывной.

Мы говорим, что случайная величина х с функцией распределения F(x) раcпределена с плотностью, если существует неотрицательная функция f(x), такая, что для любого х  R имеет место равенство (2). При этом f(x) называется плотностью вероятности случайной величины х, а ее график – кривой распределения.

Из определения плотности вероятности f(x) и свойств функции распределения следует, что f(x) должна удовлетворять условию (1). И обратно, если f(x) 0 и выполняется условие (1), то f(x) является плотностью вероятности.

Если случайная величина х имеет плотность вероятности f(x) , то имеет место формула

р(х1 х х2 ) = . (5)

Пример 1. Случайная величина х с функцией распределения

является непрерывной, так как функция F(x) непрерывна на всей числовой оси.

Пример 2. Случайная величина х с функцией распределения

не является непрерывной, так как х = -1 является точкой разрыва функции F(x).

Пример 3. Представляется важным следующий вопрос: как узнать, существует ли плотность вероятности f(x) для случайной величины х с заданной функцией распределения F(x) и если существует, то как ее найти?

Установим следующее достаточное условие существования плотности.

Если F(x) непрерывна всюду, а F`(x) непрерывна всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек, то случайная величина х имеет плотность вероятности f(x), причем f(x) = F`(x) в точках непрерывности F(x). (В точках разрыва функции F`(x) значения f(x) можно задавать произвольно).

Доказательство. Если F`(x) непрерывна всюду, то положим f(x) = F`(x) при любом х. Условие f(x)  0 следует из того, что F(x) неубывающая, а равенство (4) следует из :

Если F(x) разрывна в точках х1, х2, ..., xn, то положим:

где ck – произвольные неотрицательные числа. Условие f(x)  0 выполняется, так как F`(x)  0 и ck  0. Равенство (4) также выполняется. Действительно, пусть, например, n = 1. Для любого х, х < х1, имеем:

Если же хх1, то

(продумайте это равенство!)

Следовательно,

Пример 4. Случайная величина х задана функцией распределения

Убедимся, что величина х имеет плотность вероятности, и найдем ее.

Решение. В точках х = 0; ; правосторонние и левосторонние пределы функции F(x) совпадают, следовательно, F(x) непрерывна всюду. Производная F`(x) непрерывна везде, за исключение точек х = 0; ; . Следовательно, плотность вероятности f(x) существует. Вычислим односторонние пределы F`(x) в точках х = 0; ; :

F`(0 - 0) = 0, F`(0 + 0) = , F`( - 0) = 1, F`( + 0 = 4),

F`( - 0) = 4, F`( + 0) = 0.

Следовательно, точки 0; ; являются точками разрыва для F`(x).

Итак,

В точках х = 0, х = и х = значения f(x) можно выбрать произвольно.

Пример 5. Дана функция

При каком значении постоянной а функция f(x) является плотностью вероятности некоторой случайной величины х? Найдите функцию распределения F(x) величины х? Вычислите вероятность попадания случайной величины х в промежуток [0; 1] двумя способами: при помощи плотности вероятности f(x) и при помощи функции распределения F(x).

Решение. Прежде всего должно быть а  0. Для нахождения значения а запишем условие (3) и преобразуем его:

.

Следовательно, а =  и функция f(x) имеет вид:

(6)

Найдем функцию распределения F(x) по формуле (4):

если х  0, то

если x > 0, то

.

Следовательно,

(7)

Вычислим вероятность Р( 0  х  1) по формуле (5):

Формула (2) дает тот же результат:

Р( 0  х  1) = F(1) – F(0) = 1 - .

Случайные величины x с плотностью вероятности (6) или с функцией распределения (7) часто встречаются на практике (показательный закон распределения).

Кривая распределения и график функции распределения случайной величины х с показательным законом распределения (6) и (7) представлены на рисунке 14, а, б.


Пример 6. (Закон равномерного распределения на отрезке).

Случайная величина х называется равномерно распределенной на отрезке [a, b], если ее плотность вероятности имеет вид:

(8)

Этот пример подробно разобран в учебном пособие [6] (см. § 24).

Пример 7. Закон нормального распределения на прямой (закон Гаусса). Говорят, что случайная величина х подчиняется нормальному закону распределения, если ее плотность вероятности имеет вид:

, (9)

где а – произвольный, а  - положительный параметры.

Найдем функцию распределения для нормального закона (9).

По формуле (4) запишем:

После замены получим:

Здесь мы воспользовались равенством .

Наконец, используя функцию Лапласа , получим окончательно:

. (10)

Формула (2) для случайной величины с нормальным законом распределения перепишется:

. (11)

Пример 8. (Закон Максвелла). Модуль скорости молекулы газа является случайной величиной х, распределенной по закону Максвелла:

где , m – масса молекулы, k – постоянная Больцмана и Т – абсолютная температура. Найдем функцию распределения случайной величины х.

Решение. По формуле (4) имеем:

.

Сделаем замену , а потом проинтегрируем по частям.

В результате получим

Задачи.

372. Случайная величина х задана функцией распределения F(x).

а) Является ли случайная величина х непрерывной? б) Имеет ли случайная величина х плотность вероятности f(x)? Если имеет, то найдите ее. в) Постройте схематически графики F(x) и f(x).

1) 2)

3) 4)

5)

6)

373. Случайная величина х имеет плотность вероятности (закон Коши)

.

Найдите: а) постоянную с; б) функцию распределения F(x); в) вероятность события –1 < x < 1.

374. Случайная величина х имеет плотность вероятности

Найдите: а) постоянную с; б) функцию распределения F(x); в) вероятность события .

375. Задана плотность вероятности случайной величины х:

Найдите: а) коэффициент а; б) функцию распределения F(x); в) вероятность события x > 1.

376. Случайная величины х имеет плотность вероятности

Найдите функцию распределения F(x) и вероятность события . Постройте кривую распределения и график функции распределения.

377. Случайная величина х имеет плотность вероятности (закон Релея)

Найдите функцию распределения F(x). Постройте графики f(x) и F(x) при .

378. Пусть х – проекция радиус-вектора точки на ось абсцисс, наудачу выбранной на окружности радиуса R с центром в начале координат, причем вероятность выбора точки, принадлежащей данной дуге окружности, зависит только от длины этой дуги и пропорциональна ей. Найдите функцию распределения случайной величины х и плотность вероятности. Определите вероятность того, что х окажется в промежутке .

379. Точка брошена в круг радиуса R. Вероятность ее попадания в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади этой области. Найдите функцию распределения F(x) и плотность вероятности f(x) случайной величины х, равной расстоянию точки до центра круга.

380. Случайная величина х имеет плотность вероятности (закон Лапласа)

Найдите коэффициент а и функцию распределения. Постройте графики плотности вероятности и функции распределения.

381. Кривая распределения случайной величины х имеет вид, указанный на рисунке 15 («закон прямоугольного треугольника). Напишите выражение для плотности распределения. Найдите функцию распределения и постройте ее график. Найдите вероятность попадания случайной величины х в промежуток от до а.

382. Случайная величина х распределена

по закону Симпсона (по "закону равнобедрен-

ного треугольника") (см. рис. 16). Напишите

выражение плотности вероятности. Найдите

функцию распределения и постройте ее

график. Найдите Р ().

383. Случайная величина х имеет равно-

мерный закон распределения на отрезке [0, 2]. Напишите выражение для плотности вероятности f(x) и для функции распределения F(x). Найдите вероятность события 0 < x < 0,5. Постройте графики f(x) и F(x).

384. Автобусы идут с интервалом 5 мин. Предполагая, что время х ожидания автобуса на остановке имеет равномерное распределение, найдите: а) функцию распределения; б) плотность вероятности; в) вероятность того, что время ожидания не превзойдет 2 мин; г) постройте графики плотности вероятности и функции распределения.

385. Шкала угломерного инструмента имеет цену деления в 10. Отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону. Пусть случайная величина х, допущенная при отсчете, ошибка. Найдите функцию распределения F(x) и плотность вероятности f(x). Найдите вероятность того, что допущенная при отсчете ошибка превзойдет 20`.

386. Случайная величина х распределена по нормальному закону с параметрами а = 0 и  = 1. Напишите выражения для плотности вероятности f(x) и функции распределения F(x). Используя таблицу для функции Лапласа, найдите вероятность события 1,25  х  2,55.

387. Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины х имеет вид:

.

Найдите коэффициент с и параметр ; напишите функцию распределения F(x); найдите вероятность попадания случайной величины х в промежуток [2; 5].

388. Случайная величина х распределена по нормальному закону с параметрами а и . В каждом из следующих четырех пунктов а), б), в), г) напишите плотность вероятности и функцию распределения; в одной и той же системе координат постройте кривые распределения; пользуясь «правилом трех сигм», найдите интервал, в который попадает случайная величина х с практической достоверностью (с вероятностью 0,9973):

а) а = 0,  = 1; б) а = 2,  = 1;

в) а = -2,  = 1; г) а = 0,  = 0,5.

389. Размер диаметра втулок, изготовленных заводом, можно считать случайной величиной, распределенной по нормальному закону, с параметрами а = 2,5;  = 0,001. Напишите выражения для плотности вероятности и функции распределения. В каких границах можно практически гарантировать размер диаметра втулки, если за вероятность практической достоверности принимается 0,9973?



Похожие документы:

  1. Случайной называется величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента

    Документ
    ... значения и складывая соответствующие вероятности, получаем закон распределения случайной величины : 0 0.3 0.4 0.2 0.1 Рассмотрим теперь непрерывную случайную величину с плотностью вероятности и пусть . Дополнительно ...
  2. Методические указания по разделу «Одномерные случайные величины»

    Методические указания
    ... случайной величины. Виды случайных величин 4 2. Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства 4 3. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины 6 4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной ...
  3. Учебное пособие Ташкент-2009 Теория вероятностей в задачах и упражнениях. Учебное пособие./ Р. Р. Абзалимов, Г. Абдурахманов. Ташкент: Таш. Гту, 2009

    Документ
    ... непрерывных случайных величин Математическое ожидание =М[Х] и дисперсия D[X] случайной величины X, имеющей плотность .вероятности f(х), вычисляются по формулам Математические ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин ...
  4. 2. Случайные величины, имеющие наиболее известные функции распределения и генерация их значений

    Документ
    ... случайных величин с другими вероятностными распределениями. Для непрерывного равномерного распределения функция плотности вероятностей имеет вид (2.1) Здесь x  случайная величина ... нормального распределения равна: . (2.15) В MS Ехсеl для вычисления ...
  5. Классификация случайных событий. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события, непосредственный подсчет вероятности. Примеры

    Документ
    ... : 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара. Решение ... параметров. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности .Нормальный закон распр также ...

Другие похожие документы..