Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Оказание материальной помощи работающим членам профсоюза, пенсионерам, вышедшим на заслуженный отдых, уплачивающим членские взносы, может производитьс...полностью>>
'Документ'
Администрация г.п.Менделеево при поддержке Комитета по культуре Администрации Солнечногорского муниципального района Московской области и ФГУП «ВНИИФТ...полностью>>
'Документ'
Могилев, проспект Шмидта, 3, к. 1. ауд. 100А www.mgup.mogilev....полностью>>
'Документ'
Аэробика - Аэробный тренинг способствует улучшению работы сердечно сосудистой и дыхательной систем, развивает координацию, улучшает память. Продолжите...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 22

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ

КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА

Приборы и принадлежности: лабораторная установка ФМ 15 «Унифилярный подвес», используемая в данной работе как крутильный маятник; блок электронный ФМ 1/1; набор исследуемых образцов.

Цель работы: экспериментальное определение моментов инерции твердых тел с помощью крутильного маятника, проверка теоретических формул расчета моментов инерции твердых тел.

Краткая теория

Моментом инерции материальной точки называется величина

, (22.1)

где m – масса точки; r – расстояние от точки до оси вращения.

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется величина

(22.2)

где n – количество материальных точек в системе; mi – масса i-той материальной точки; ri − расстояние от i-той материальной точки до рассматриваемой оси вращения.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

(22.3)

где − плотность тела.

Момент инерции тела – мера инертности твердых тел при вращательном движении. Его роль такая же, что и массы при поступательном движении.

Момент инерции – величина аддитивная: момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей тела относительно той же оси.

Моменты инерции тел правильной геометрической формы находятся путем интегрирования по (22.3) и являются табличными значениями. Для определения моментов инерции тел сложной формы обычно используют экспериментальные методы, одним из которых является метод крутильных колебаний.

Крутильным маятником называется твердое тело, подвешенное на упругой проволоке и совершающее крутильные колебания относительно положения равновесия.

Крутильный маятник установки ФМ-15 представляет собой металлическую рамку, в которую можно устанавливать исследуемый образец – тело, момент инерции которого нужно найти. На рамку можно также устанавливать (и снимать) массивные грузы m1 (рис. 22.1а). Вся система подвешена на двух натянутых упругих проволоках. Если маятник повернуть на угол от положения равновесия (рис. 22.1б), а затем отпустить, то он под действием упругого момента проволоки начнет совершать крутильные (вращательные) гармонические колебания относительно положения равновесия.

а б

Рис. 22.1

Выведем закон движения крутильного маятника. Используем основной закон динамики вращательного движения:

М = Iм·м, (22.4)

где M − момент упругих сил, действующих маятник со стороны проволок; Iм – момент инерции маятника относительно оси вращения ОО1; м – угловое ускорение маятника.

Упругий момент проволоки по закону Гука для деформации кручения пропорционален углу закручивания: М = D, где D модуль кручения проволоки, а знак минус указывает, что момент действует противоположно направлению увеличения угла закручивания . Если известен закон изменения угла закручивания (t), то угловое ускорение и после подстановки в уравнение (22.4) и преобразований будем иметь

Обозначив окончательно получим

, или компактно . (22.5)

Уравнение (22.5) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Из математики известно, что его решение, которое является уравнением гармонических колебаний и уравнением движения крутильного маятника, имеет вид

(22.6)

а его циклическая (круговая) частота связана с периодом колебаний соотношением

(22.7)

Отсюда период колебаний крутильного маятника

(22.8)

Экспериментально определив период колебаний T маятника и модуль кручения D проволоки, по формуле (22.8) можно рассчитать момент инерции твердого тела любой формы относительно данной оси. При этом нужно знать момент инерции рамки, в которую устанавливается твердое тело, который также можно найти экспериментально.

Для определения модуля кручения и собственного момента инерции рамки воспользуемся тем, что легко можно рассчитать момент инерции грузов m1, которые можно устанавливать на рамку или снимать. Рассматривая грузы m1 как материальные точки, получим их момент инерции относительно оси вращения 2m1r2.

Период колебаний крутильного маятника в отсутствие грузов m1 (период колебаний пустой рамки) согласно (22.8) будет

(22.9)

где Iр – момент инерции пустой рамки.

Период колебаний рамки с установленными на ней грузами m1 согласно (22.8) будет

(22.10)

Совместное решение уравнений (22.9) и (22.10) дает следующие выражения для модуля кручения и момента инерции пустой рамки:

(22.11)

. (22.12)

Если в пустую рамку (без грузов m1) установить исследуемый образец, момент инерции которого нужно найти, то период колебаний такого крутильного маятника будет

(22.13)

где Iо – момент инерции исследуемого образца.

Решая совместно уравнения (22.9) и (22.13) получим момент инерции исследуемого образца:

. (22.14)

Экспериментально определив периоды колебаний и по (22.12) можно подсчитать момент инерции Iр пустой рамки, а также (в случае необходимости) по (22.11) можно рассчитать модуль кручения D проволоки. Тогда, определив экспериментально период колебаний То рамки с исследуемым образцом, можно по (22.14) найти момент инерции Iо исследуемого образца любой формы.

Согласно определению момент инерции твердого тела зависит от положения оси вращения относительно тела.

Ось, положение которой в пространстве остается неизменным при вращении вокруг нее тела в отсутствие внешних сил, называется свободной осью тела. Можно доказать, что для тела любой формы и с произвольным распределением массы существуют три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр масс тела оси, которые могут служить свободными осями; они называются главными осями инерции тела.

У однородного параллелепипеда (рис. 22.2) главными осями инерции являются оси О1, О2 и О3, проходящие через центры противолежащих граней.

Моменты инерции относительно главных осей I1, I2, I3 называются главными моментами инерции тела. Зная главные моменты инерции, можно рассчитать момент инерции относительно любой оси, проходящей через центр масс по следующей формуле:

, (22.15)

где 1, 2, 3 – углы, которые образует данная ось со свободными осями О1, О2 и О3 соответственно.

В частности, для прямоугольного параллелепипеда момент инерции относительно оси, совпадающей с пространственной диагональю, будет равен

, (22.16)

где a, b, cдлины ребер параллелепипеда, параллельные свободным осям О1, О2 и О3, соответственно (рис. 22.2).

Рис. 22.2

Главные моменты инерции прямоугольного параллелепипеда можно найти с помощью интегрирования по формуле (22.3). Главный момент инерции относительно оси О1, проходящей через центр масс и параллельной ребру длины a (рис. 22.2) равен

. (22.17)

По формуле (22.17) можно рассчитать момент инерции прямоугольного параллелепипеда относительно любой оси, проходящей через его центр масс и параллельной одному из его ребер, т.к. обозначения ребер a, b, c можно выбирать произвольно.

Главный момент инерции относительно оси О2, проходящей через центр масс и параллельной ребру b (рис. 22.2) равен

. (22.18)

Главный момент инерции относительно оси О3, проходящей через центр масс и параллельной ребру c (рис. 22.2) равен

. (22.19)

Описание лабораторной установки

Установка (рис. 22.3) состоит из основания 1, на котором укреплена вертикальная стойка (колонка) 2. На ней неподвижно крепятся нижний 3, средний 4 и верхний 5 кронштейны. Верхний и нижний кронштейны предназначены для крепления узлов подвески и натяжения торсиона (стальной проволоки) 6 и 7, с которым связана металлическая рамка 8 с грузами 9, предназначенная для установки исследуемых образцов 10 или съемной мишени 11 (последняя устанавливается в рамку 8 при выполнении на данной установке лабораторной работы №5). На среднем кронштейне 4 нанесена шкала отсчета угла закручивания торсиона (шкала угловых перемещений) и расположены: стреляющее устройство 12 (в данной работе не используется); электромагнит 13, предназначенный для удерживания рамки 8 в исходном положении и ее освобождения (при этом возникают крутильные колебания рамки вокруг вертикальной оси); фотодатчик 14, предназначенный для определения периода колебаний рамки 8 с исследуемыми образцами 10 и без них.

Силу электромагнита 13 можно регулировать винтом 15. Электромагнит может перемещаться вдоль шкалы угловых перемещений по специальной направляющей и закрепляться гайкой, расположенной под электромагнитом.

Исследуемый образец 10 устанавливается в заданном положении между острием 16, расположенным на нижней планке рамки 8, и винтом 17 с острым концом, расположенным на средней планке 18, для чего в исследуемом образце имеются отверстия. Средняя планка 18 может перемещаться вверх и вниз вдоль рамки 8 и фиксироваться на рамке с помощью винтов 19.

Рис. 22.3

На передней панели блока электронного 20 располагаются:

счетчик колебаний 21 – световое табло, на котором высвечивается число n полных колебаний;

секундомер 22  световое табло, на котором высвечивается общее время колебаний в секундах (время совершения n полных колебаний);

кнопка ''ПУСК'' 23 – при нажатии кнопки выключается электромагнит 13 и, после пересечения флажком 24 (установленным на рамке 8) луча фотоэлектрического датчика 14, включаются счетчик колебаний и секундомер;

кнопка ''СТОП'' 25 – при нажатии кнопки останавливаются счетчик колебаний и секундомер и включается электромагнит.

На задней панели блока электронного 20 расположен выключатель ''01'' (''Сеть'') – при включении выключателя на блок электронный подается питание, на табло счетчика колебаний и на табло секундомера высвечиваются «минусы», и включается электромагнит. Далее после пересечения флажком рамки луча фотоэлектрического датчика, включаются счетчик колебаний и секундомер.

Техника безопасности

!!! ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ !!! Чтобы не сбить настройку прибора на ноль, запрещается поворачивать рамку 8 на угол больше 40º в любом случае, в том числе и при установке, смене положения и снятии исследуемого образца 10. Не допускать опрокидывание установки (установка имеет всего три опоры). При установке, смене положения и снятии исследуемого образца 10 запрещается сильно тянуть рамку 8 вниз или вверх во избежание обрыва проволоки или выхода ее из мест креплений. Поэтому при перемещении средней планки 18 вверх или вниз (после того как откручены винты 19) нужно давить рукой не только на саму среднюю планку, но и одновременно на верхнюю или, соответственно, на нижнюю планку. При установке, смене положения и снятии исследуемого образца следует выключить блок электронный. Не следует сильно завинчивать винт 17 – в случае заметного проворачивания исследуемого образца 10 относительно рамки 8 для уменьшения проворачивания можно устранить зазор между исследуемым образцом 10 и средней планкой 18. Подключение установки к блоку электронному ФМ-1/1 разрешается только лаборанту в соответствие с паспортом к установке.

Порядок выполнения работы

Упражнение 1. Определение момента инерции пустой рамки

1. Соблюдая требования раздела «Техника безопасности» осторожно удалите мишень 11 или исследуемый образец 10 из рамки 8.

2. Снимите грузы 9 с рамки 8.

3. Установите электромагнит 13 так, чтобы его ближняя к рамке 8 торцевая плоскость показывала угол примерно 35 на шкале угловых перемещений (электромагнит фиксируется гайкой 16 на рис. 5.3 – см. лабораторную работу №5). Для уменьшения влияния остаточной намагниченности на колебания рамки сердечник электромагнита должен входить немного вовнутрь электромагнита (положение сердечника регулируется винтом 15).

4. Убедитесь, что флажок 24 рамки пересекает оптическую ось (луч) фотодатчика 14. Если средний кронштейн 4 находится так низко, что флажок 24 не закрывает окошко фотодатчика, поднимите средний кронштейн, отвернув предварительно зажим для его фиксации на вертикальной стойке 2.

5. Убедитесь, что флажок красного цвета на рамке показывает на ноль шкалы угловых перемещений (рамка находится в исходном положении). Небольшое несовпадение красного флажка на рамке с нулем шкалы можно устранить малым поворотом среднего кронштейна 4 вокруг вертикальной стойки 2.

6. Включите установку в сеть, нажав кнопку ''01'' (''Сеть'') на задней панели блока электронного 20. При этом на табло секундомера и счетчика колебаний появятся «минусы».

7. Отклоните рамку на угол 30 и зафиксируйте ее с помощью электромагнита.

8. Нажмите кнопку «ПУСК» блока электронного.

9. По показаниям секундомера и счетчика колебаний блока определите значение времени tр десяти колебаний (nр=10) рамки (пустой рамки − без грузов 9 и без исследуемого образца 10), нажав на кнопку «СТОП», когда на табло счетчика колебаний появится число 10. Результат измерения занесите в табл. 22.1.

10. Повторите 5 раз измерения по пп. 7-9. После нажатия кнопки «СТОП» электромагнит включается.

11. Установите грузы 9 (m1) на рамку и повторите 5 раз пп. 7-9, занося результаты измерения времени tг десяти колебаний (nг=10) рамки с грузами в табл. 22.1.

12. Для одного из замеров определите период колебаний пустой рамки и период колебаний рамки с грузами. По формуле (22.12) сделайте оценочный расчет момента инерции пустой рамки. В формуле (22.12) m1 – масса груза 9, кг (выбита на нем в граммах); r=(0,0525±0,0005) м – расстояние от оси вращения рамки до центра масс груза m1 (см. рис. 22.1). Подойдите к преподавателю на проверку.

Упражнение 2. Определение главных моментов инерции прямоугольного параллелепипеда

1. Снимите грузы 9 (m1) с рамки.

2. Соблюдая требования раздела «Техника безопасности» осторожно установите исследуемый образец 10 в рамку 8 так, чтобы ось вращения проходила через центры симметрии двух противоположных граней параллельно ребру a (ось О1 на рис. 22.2).

3. Повторите 5 раз пп. 7-9 упражнения 1, занося результаты измерения времени tо1 десяти колебаний (nо1=10) рамки с исследуемым образцом (ось вращения параллельна ребру a) в табл. 22.1.

4. Соблюдая требования раздела «Техника безопасности» осторожно переустановите исследуемый образец 10 в рамке 8 так, чтобы ось вращения проходила через центры симметрии двух противоположных граней параллельно ребру b (ось О2 на рис. 22.2).

5. Повторите 5 раз пп. 7-9 упражнения 1, занося результаты измерения времени tо2 десяти колебаний (nо2=10) рамки с исследуемым образцом (ось вращения параллельна ребру b) в табл. 22.1.

6. Соблюдая требования раздела «Техника безопасности» осторожно переустановите исследуемый образец 10 в рамке 8 так, чтобы ось вращения проходила через центры симметрии двух противоположных граней параллельно ребру c (ось О3 на рис. 22.2).

7. Повторите 5 раз пп. 7-9 упражнения 1, занося результаты измерения времени tо3 десяти колебаний (nо3=10) рамки с исследуемым образцом (ось вращения параллельна ребру c) в табл. 22.1.

8. Для одного из замеров определите период колебаний рамки с исследуемым образцом (ось вращения параллельна ребру a). По формуле (22.14) сделайте оценочный расчет главного момента инерции образца относительно свободной оси О1. Подойдите к преподавателю на проверку.

9. Измерьте штангенциркулем размеры a, b, c ребер параллелепипеда. Для упрощения расчетов рекомендуется расположить образец так же как на рис. 22.2, и ребра обозначить так же как на этом рисунке (в соответствии с их длиной). Результаты измерения занесите в табл. 22.1.

10. Определите массу m исследуемого образца 10 путем взвешивания. Результат измерения занесите в табл. 22.1.

11. По формуле (22.17) рассчитайте теоретическое значение момента инерции параллелепипеда относительно свободной оси О1 и сравните это значение с экспериментальным. Подойдите к преподавателю на проверку.

Упражнение 3. Определение момента инерции прямоугольного параллелепипеда

относительно оси, совпадающей с пространственной диагональю

1. Соблюдая требования раздела «Техника безопасности» осторожно переустановите исследуемый образец 10 в рамке 8, так, чтобы ось вращения совпадала с его пространственной диагональю (рис. 22.3; на рис. 22.2 пространственная диагональ показана жирным пунктиром).

2. Повторите 5 раз пп. 7-9 упражнения 1, занося результаты измерения времени tо4 десяти колебаний (nо4=10) рамки с исследуемым образцом (ось вращения совпадает с пространственной диагональю) в табл. 22.1.

3. Для одного из замеров определите период колебаний рамки с исследуемым образцом. По формуле (22.14) сделайте оценочный расчет момента инерции образца относительно пространственной диагонали параллелепипеда. Подойдите к преподавателю на проверку.

Таблица 22.1

№ замера

Без m1

m1=…

Iр

a=…, b=…, c=…, m=…

tр

tг

tо1

tо2

tо3

tо4

1

2

3

4

5

Отчет о работе

1. При оформлении отчета для каждого эксперимента вычислите средние значения времени По формуле определите для каждого эксперимента средние значения периодов Результаты вычислений занесите в табл. 22.1.

2. Используя средние значения периодов и по формуле (22.12) сделайте расчет среднего значения момента инерции пустой рамки. Результат вычислений занесите в табл. 22.1.

3. Используя найденное значение и средние значения периодов по формуле (22.14) сделайте расчет средних значений главных моментов инерции образца относительно свободных осей О1, О2, О3 и момента инерции образца относительно пространственной диагонали параллелепипеда. Результаты вычислений занесите в табл. 22.1.

4. По формулам (22.17), (22.18), (22.19) рассчитайте теоретические значения главных моментов инерции Результаты вычислений занесите в табл. 22.1.

5. Используя рассчитанные в п. 4 теоретические значения главных моментов инерции , по формуле (22.16) рассчитайте теоретическое значение момента инерции исследуемого образца относительно пространственной диагонали. Результат вычислений занесите в табл. 22.1.

6. Зная теоретическое и экспериментальное значения момента инерции исследуемого образца относительно пространственной диагонали, определите относительную погрешность измерения по формуле

Контрольные вопросы

  1. Что называется моментом инерции материальной точки?

  2. Что называется моментом инерции твердого тела?

  3. В чем физический смысл момента инерции?

  4. Что называется крутильным маятником?

  5. Запишите основной закон динамики вращательного движения.

  6. Запишите закон Гука для деформации кручения.

  7. Какие колебания называются гармоническими? Приведите уравнение гармонических колебаний.

  8. Дайте определения величин, входящих в уравнение гармонических колебаний.

  9. Дайте определение периода гармонических колебаний.

  10. Приведите формулу, связывающую период и круговую частоту гармонических колебаний.

  11. Запишите формулу для периода колебаний крутильного маятника.

  12. Чему равен момент инерции грузов m1?

  13. Что называется свободной осью тела?

  14. Что называется главными осями инерции тела?

  15. Что называется главными моментами инерции тела?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Трофимова Т. И. Курс физики: учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский центр «Академия», 2007, § 16, с. 34-36; § 18, с. 37-38; § 20, с. 40-42; § 140-142, с. 253-258.

2. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики: Учеб. пособие для втузов. – М.: Высш. шк., 2000, § 4.2, пп. 1-4, с. 50-52; § 4.3, пп. 1-4, с. 53-56; § 27.1-27.2, с. 358-363.

3. Савельев И.В. Курс общей физики: в 4 т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: учебное пособие / И.В. Савельев; под общ. ред. В.И. Савельева. – М.: КНОРУС, 2009. § 5.3-5.5, с. 154-172; § 8.1, с. 258-259; § 8.4-8.5, с. 267-275.

4. Общая физика: руководство по лабораторному практикуму: Учеб. пособие / Под ред. И.Б. Крынецкого и Б.А. Струкова. – М.: ИНФРА-М, 2010. Задача № 10, с. 86-91.

Составил преп. Харитонов Д.В.,

14.08.2013



Похожие документы:

  1. Лабораторная работа №1 (1)

    Документ
    ... (2*c)/d + 2   a*a - ln(b-5) d - a*a - 1 21) arctg(12/c) + 73 22) 2*c/a - d*d   a*a - 1 d + tg(a - 1) 23) + d -4*a 24) + b -  ... ЛАБОРАТОРНАЯ работа № 3 ОРГАНИЗАЦИЯ ЦИКЛОВ И РАБОТА С ОДНОМЕРНЫМИ МАССИВАМИ ЦЕЛЬ РАБОТЫ ...
  2. Инструктивные карточки к лабораторным работам по анатомии, физиологии и гигиене человека

    Документ
    ... Антагонисты Синергисты 4.Вывод: Лабораторная работа №6 Утомление при статической и динамической работе Цель: Оборудование: секундомер ... несколько шагов в том же направлении Лабораторная работа22 Рефлексы продолговатого и среднего мозга Цель ...
  3. Е. А. Чередниченко Лабораторная работа №1

    Документ
    ... раздражений В) цепь взаимосвязанных рефлексов Лабораторная работа № 10 Цель работы: научиться определять насекомых до ... млекопитающих есть кора головного мозга. Лабораторная работа22 Приспособления экологических групп млекопитающих к условиям ...
  4. Лабораторная работа №1 Техника лабораторных работ. Методы разделения и очистки веществ

    Документ
    ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 Техника лабораторных работ. Методы разделения и очистки веществ. 1. Химическая посуда, лабораторное оборудование и химические реактивы. 1.1. ... пикнометрами. Мерные цилиндры (рис. 22) представляют собой стеклянные сосуды, которые ...
  5. Лабораторная работа №2 (3)

    Документ
    ... форме таблицы (см.рис.1.22) Рисунок 1.22 – Оценка точности прогноза Таким ... 370 ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ Отчет по лабораторной работе должен содержать: Титульный ... выполнения заданий, выводы по лабораторной работе. Защита отчета предполагает проверку ...

Другие похожие документы..