Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Классный час'
1) Познакомить учащихся со способами создания позитивных дружеских отношений с целью взаимопомощи, удовлетворение потребностей в любви, сосуществовани...полностью>>
'Документ'
Прочитайте задание, подумайте, выберите из предложенных ответов один правильный. В бланке ответов под номером выполняемого вами задания поставьте метк...полностью>>
'Методические разработки'
В. ноябрь 013 Мастер-класс для учителей математики района «Использование СПО GeoGebra» Методические рекомендации по использованию СПО GeoGebra Лист ре...полностью>>
'Сценарий'
Цель: подвести учащихся к пониманию философского смысла романа; показать противоречие между гуманизмом и «наполеонизмом» Раскольникова; продол­жить вн...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Математические основы вычислительной геометрии и компьютерной графики

ОГЛАВЛЕНИЕ

  1. Координаты и векторы на плоскости.

  2. Уравнения линий.

  3. Задачи компьютерной графики на взаимное расположение точек и фигур.

  4. Многоугольники.

  5. Геометрические объекты в пространстве.

  6. Практическая работа.

Координаты и векторы на плоскости

(программные продукты Graph-16, АвтоГраф)

  1. Понятие вектора

Термин вектор употребляют в геометрии по крайней мере в двух смыслах. С одной стороны, вектором называют направленный отрезок, с другой стороны, вектор понимают так, как понимают в физике “векторные величины”. Различают соответственно “конкретный вектор” – направленный отрезок и “абстрактный (или, как принято говорить, свободный) вектор”.

Направленным отрезком называют отрезок, у которого указан порядок концов, т.е. один конец назван началом, а другой конец – концом этого отрезка. Направленный отрезок называют вектором. Вообще, вместо векторов – направленных отрезков часто рассматривают “векторы” – упорядоченные пары точек: одна точка начало, другая – конец, не исключая их совпадения.

Свободным вектором (или просто вектором) называется абстрактный объект, связанный с равными направленными отрезками тем, что каждый из равных направленных отрезков считается представителем данного свободного вектора, а неравные направленные отрезки представляют собой неравные свободные векторы. Так понимаемый вектор называется свободным потому, что он представляется направленным отрезком независимо от того, от какой точки он отложен. Равные направленные отрезки и представляют один и тот же вектор.

В частности, все нуль–векторы представляют один и тот же нуль–вектор, который обозначается.

Вектор характеризуется направлением и длиной (модулем). Задать вектор, – значит, задать направление и длину. Длина нуль–вектора равна 0, а направления он не имеет. Изображается нуль вектор любой точкой, которая рассматривается, как его начало и конец. Считается, что нулевой вектор параллелен и перпендикулярен любому вектору.

  1. Основные определения (по учебнику Атанасяна Л.С.)

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется направленным отрезком или вектором

Любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым.

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены одинаково, то они называются сонаправленными; если противоположно направлены, то противоположно направленными.

* Два ненулевых вектора, лежащие на параллельных прямых, называются сонаправленными (противоположно направленными), если их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, проходящей через начала.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

  1. Операции над векторами

    • Сложение векторов

Сложение векторов. Правило параллелограмма





Правилом параллелограмма сложения векторов называется следующий способ:
Пусть есть векторы AB и AC у которых начало вектора совпадает, а концы не совпадают
Достроим данный угол до параллелограмма, так что AC = BD и AB = CD.

Тогда AB + BD = AD, а так как BD = AC, то AB + AC = AD


Сложение векторов. Правило треугольника





Правилом треугольника сложения векторов называется следующий способ:
Пусть есть произвольные векторы a и b. Надо от конца вектора a отложить вектор b`, равный вектору b. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец совпадет с концом вектора b`, будет суммой a + b.

    • Вычитание векторов

Сложение векторов. Разность





Разностью векторов a(a1; a2) и b(b1; b2) называется такой вектор c, который в сумме с вектором b дает вектор a:

    • Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна |k|·||, причем векторы и сонаправлены при k0 и противоположно направлены при k<0. Произведением нулевого вектора на произвольное число считается нулевой вектор.

  1. Основные отношения и свойства

Свойства векторов полезно рассматривать в аналогии со свойствами скалярных величин. Например, свойства равных векторов в аналогии со скалярными величинами представлены в следующей таблице:

векторы

скаляры

 

а=а

рефлексивность

a=bb=a

симметричность

,

a=b, b=c a=c

транзитивность

Общеизвестно следующее свойство равных векторов: если четырехугольник ABCD – параллелограмм, то .

Введя этот признак, можно озадачить учащихся такими вопросами:

1. О равенстве каких еще векторов, можно говорить применительно к параллелограмму ABСD?
2. Можно ли утверждать, что при наличии пары равных векторов можно получить и другую пару также равных векторов?
3. Можно ли найти равные векторы в каких–либо пространственных телах (например, в параллелепипеде, призме)?

И еще одно свойство: от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один (сравните со свойствами параллельных прямых).

Задача. Как видно из свойств равных векторов, любые два вектора, равных между собой, но не лежащих на одной прямой, принадлежат некоторому параллелограмму. Что можно сказать о векторах, составляющих основания трапеции? Что можно сказать о векторах, принадлежащих основаниям усеченной призмы?

Учащиеся должны продемонстрировать понимание разницы между равными векторами и коллинеарными. К тому же необходимо “увидеть” не только сонаправленные, но и противоположные векторы.

  1. Сумма векторов. Умножение вектора на число.

Рассмотрим свойства суммы также в аналогии со скалярами:

Весьма полезно после этого разобрать, какие из рассмотренных свойств имеют аналогию со свойствами произведения скалярных величин, а какие – нет.

  1. Координаты вектора. Скалярное произведение.

Проекцией vx вектора на ось х называется длина его составляющей по этой оси, взятая со знаком “+”, если направление вектора совпадает с направлением оси, и со знаком “–” в противном случае. Заметим, что проекция вектора на ось равна длине этого вектора умноженной на косинус угла между вектором и осью.

При разложении вектора на составляющие вдоль осей координат в декартовой системе координат вводится понятие координат вектора как коэффициентов разложения: если то вектор имеет координаты . При этом длина вектора равна

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их абсолютных величин на косинус угла между ними: .

В декартовой системе координат скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов: Весьма полезным при изучении данной темы может оказаться рассмотрение аналогичных определений в трехмерной модели пространства:

КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОТРАБОТКИ ПОНЯТИЙНОГО АППАРАТА И ОСНОВНЫХ ОПЕРАЦИЙ С ВЕКТОРАМИ.

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ

Векторный аппарат используется при доказательстве некоторых теорем и решении многих задач. Сила векторного метода заключается в том, что он позволяет легко делать обобщения, роль которых в математике трудно переоценить. Хотя следует иметь в виду, что векторный метод не является универсальным и к решению некоторых задач может быть неприменим или малоэффективен.

После изучения основных понятий и фактов, целесообразно провести обобщающий урок, результатом которого должна стать следующая таблица, используемая в дальнейшем при решении задач более высокого уровня.

Компонентами умения использовать векторный метод являются следующие умения:

  1. переводить геометрические термины на язык векторов и наоборот (осуществлять переход от соотношения между фигурами на соотношения между векторами и наоборот);

  2. выполнять операции над векторами (находить сумму, разность векторов);

  3. представлять вектор в виде суммы, разности векторов;

  4. преобразовывать векторные соотношения;

  5. переходить от соотношения между векторами к соотношениям между их длинами;

  6. выражать длину вектора через его скалярный квадрат;

  7. выражать величину угла между векторами через их скалярное произведение.

Классифицируем наиболее употребительные задачи, при решении которых применяется векторный метод.

    1. Доказательство параллельности прямых и отрезков.

    2. Задачи на доказательство деления отрезка в данном отношении.

    3. Доказательство принадлежности трех точек одной прямой.

    4. Доказательство перпендикулярности прямых и отрезков.

    5. Задачи на обоснование зависимости между длинами отрезков.

    6. Задачи на вычисление величины угла.

Ключом к решению задач указанных типов является приведенная выше таблица.

КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ, СПОСОБСТВУЮЩИЕ ФОРМИРОВАНИЮ УМЕНИЯ ИСПОЛЬЗОВАТЬ ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД.

  1.  Отрезки АВ и СD параллельны. Записать это соотношение в векторной форме.

  2. Точка С принадлежит отрезку АВ и АВ:ВС=m:n. Что означает это на векторном языке?

  3. Постройте точки A(1;2), B (3;-2), C(0;5), D(1;-2). Найдите +,

  4. Представьте вектор в виде суммы или разности следующих векторов:

  1. Докажите.

Уравнения линий

(программный продукт Graph-16)

Инструктаж по работе в программе Graph-16

При изучении явлений окружающего мира и в прак­тической деятельности нам приходится рассматривать величины различной природы: длину, площадь, объем, массу, температуру, время и т. д. В зависимости от рас­сматриваемых условий одни из величин имеют посто­янные числовые значения, у других эти значения пере­менные. Такие величины соответственно называются постоянными и переменными.

Математика изучает зависимость между перемен­ными в процессе их изменения. Например, при измене­нии радиуса круга меняется и его площадь, и мы рассматриваем вопрос об изменении площади круга в зависимости от изменения его радиуса.

Математическим выражением взаимной связи ре­альных величин является идея функциональной зави­симости. Понятие функции — важнейшее понятие мате­матики. Слово "функция" (от латинского "Functio" — исполнение обязанностей, деятельность) впервые ввел немецкий ученый Г. Лейбниц.

Понятие функции

Пусть D и Е — непустые числовые множества, ахи у — соответственно их элементы. Если каждому х D принадлежит множеству D) ставится, в соответствии с некоторым законом, только одно значение у Е, то говорят, что между переменными х и у существует функ­циональная зависимость, и х называют независимой переменной (или аргументом), а у — зависимой пере­менной (или функцией).

Символическая запись функции: у = f(x) (x D , у Е). Множество D называют областью определения функции и обозначают D(f), а множество Е называют областью изменения функции. Говорят еще, что функ­ция f отображает множество D на множество Е.

Способы задания функции

1. Табличный способ

Он состоит в том, что все числовые значения аргу­мента располагают в одной строке, а значения функции — в другой строке так, чтобы каждому значению аргумента отвечало соответствующее значение функ­ции. Например,

X

0

1

2

3

4

У

0

1

4

9

16

По этому принципу построены таблицы Брадиса и многие другие.

2. Словесный способ

Обычно этот способ задания иллюстрируют приме­ром функции Дирихле у = D(x): если х — рациональное число, то значение функции D(x) равно нулю. Таким образом, чтобы найти значение D(x0) при заданном х - xQ, необходимо каким-либо способом установить, рацио­нально или иррационально число х0. Рассмотрим еще один пример. Пусть у — наибольшее целое число, не превосходящее х. Эту функцию принято обозначать [х]. Пусть х = 2, тогда = 2. При х = 5,7 у = [5,7] = 5, а при х =-3,17 у = [-3,17] =-4.

3. Аналитический способ

При аналитическом способе функция задается ма­тематической формулой, с помощью которой значение у вычисляется по заданному значению х. В математи­ке чаще всего используется именно аналитический спо­соб задания функций. Преимуществами такого способа задания являются компактность, возможность подсче­та значения у при любом значении х и возможность применения математического аппарата для более де­тального исследования поведения функции.

4. Графический способ

Функциональная зависимость может быть задана с помощью графика функции у = f(x).

Графиком числовой функции f называется множе­ство точек плоскости (х; у), где х принимает всевоз­можные значения из области определения функции, а y = f(x).

Виды функции

Название функции

Определение

График

Линейная функция

Функция вида y = kx+b, где k и b некоторые числа, называется линейной функцией.

Обратная пропорциональность

Функция вида , где , называется обратной пропорциональностью.

Квадратичная функция

Функция вида , где a,b,c – некоторые числа, , называется квадратичной.

Степенная функция

Функция, заданная формулой , называется степенной.

Показательная функция

Функция, которую можно задать формулой , a>0,, называется показательной.

Логарифмическая функция

Функция вида , где a>0, , называется логарифмической.

Тригонометрическая функция

Числовая функция, заданная формулой y = sin x, называется синусом.

Числовая функция, заданная формулой y = cos x, называется косинусом.

Числовая функция, заданная формулой y = tg x, называется тангенсом.

Числовая функция, заданная формулой y = сtg x, называется котангенсом.

Свойства функций

Свойство

Определение

Иллюстрация

Четность и нечетность

Функция f(x) называется четной, если для любого значения х, взятого из области определе­ния функции, значение х также принадлежит области определения и выполняется равенство f(x) = f(-x) и нечетной, если f(x) = -f(x)

Периодичность

Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое число T≠0, что для лю­бого значения х, взятого из области опреде­ления, значения х + Т и х - Т также принадлежат области определения и выполняется равенство f(x) = f(x+T)=f(x-T)

Нули функции

Нулем функции называется такое действитель­ное значение х, при котором значение функции равно нулю.

Промежутки знакопостоянства

Числовые промежутки, на которых непрерывная функция сохраняет свой знак и не обращается в нуль, называются промежутками знакопостоянства.

f(x)>0 при x>a

f(x)<0 при x

Монотонность

Функция y = f(x) называется монотонно возра­стающей на интервале (а, b), если для любых х1,, х2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства х2> х1, следует неравенствоf(x2) > f(х1).

Функция y = f(x) называется мо­нотонно убывающей на интервале (а, b), если для любых х1,, х2 принадлежащих этому ин­тервалу, из неравенства х2> х1 следует нера­венство f(x2) < f(х1).

Интервал (а, b) пред­полагается взятым из области определения функции.

Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции.

Точка х0 называется точкой максимума (точкой ми­нимума) для функции f(x), если значение в этой точке больше (меньше), чем значение функции в ближайших соседних точках.

Для обозначения максимума и минимума существует общий термин "экстремум" (от латинского "крайний").

Непрерывность

Функция y = f(x) называется непрерывной на промежутке, если она определена на этом про­межутке и непрерывна в каждой точке проме­жутка.

ЗАДАНИЕ

  1. Постройте графики функций, укажите какие из них четные, а какие нечетные

  1. у = х2; (четная)

  2. у = х2 + 5; (четная)

  3. у = —Зх2 + 1; (четная)

  4. у = |х|; (четная)

  5. у = 3; (четная)

  6. у = х3; (нечетная)

  7. у = х3 + х; (нечетная)

  8. ; (нечетная)

  9. ; (не является ни четной, ни нечетной)

  10. . (не является ни четной, ни нечетной)

  1. Постройте график функции и определите, есть ли у функции точки разрыва.

(функция претерпевает разрыв в точке х = 1)

  1. Постройте график функции и определите, является ли функция непрерывной

(функция непрерывна на всем множестве действительных чисел)

  1. Постройте график функции и укажите точки экстремума.

y = x3-3x + 15 (xmin = 1, xmax = -1)

  1. По графику найдите промежутки возрастания и убывания функции

а) (убывает на промежутке , возрастает на промежутке )

б) (возрастает на промежутке и убывает на промежутке )

в) (возрастает на промежутках и убывает на промежутке )

6) Найдите промежутки знакопостоянства функции.

а) (функция принимает отрицательные значения на промежутках и положительные значения на промежутках )

б) (функция положительна на всей числовой оси)

Задачи компьютерной графики на взаимное расположение точек и фигур.

(программные продукты Живая математика, MS Word)

Инструктаж по работе с панелью рисования в MS Word, инструментарием программы Живая математика.

  1. Выполните чертежи, используя программу MS Word

  1. Выполните чертежи, используя программу Живая математика.

Многоугольники.

(программный продукт Живая математика)

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, определяется как замкнутая ломаная. Существуют три различных варианта определения:

  • Плоские замкнутые ломаные;

  • Плоские замкнутые ломаные без самопересечений;

  • Части плоскости, ограниченные ломаными.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n-2)·180

Задание:

  1. В треугольнике ABC постройте медиану AD и биссектрису BK. Их точку пересечения назовите O и опустите из нее перпендикуляр OM на сторону AB.

  2. В параллелограмме ABCD постройте точку O – точку пересечения его диагоналей. На стороне DC отметьте середину M и соедините ее с серединой L стороны BC. Точку пересечения LM и CO обозначьте – F. Выпишите все получившиеся четырехугольники.

  3. Постройте окружность с центром в точке O радиуса OR = 2 см (проверьте с помощью измерений).В точке K постройте касательную FL к данной окружности. Через точки F и L постройте две касательные FM и LS к той же окружности. Назовите получившуюся фигуру. Как фигуры расположены относительно друг друга?

  4. Постройте равнобокую трапецию MNLQ. Постройте квадрат NLPR, вписанный в эту трапецию. Чем отрезки NR и LP являются для данной трапеции?

  5. Постройте произвольный пятиугольник. Проведите в нем все диагонали. Назовите все получившиеся четырехугольники и треугольники.

Геометрические объекты в пространстве.

(программный продукт Живая математика)

Для изображения пространственных фигур ис­пользуют параллельную проекцию. Плоскость, на которую проектируется фигура, называется плоскостью изображений, а сама проекция фигуры — изображением.

Приведем примеры изображений пространственных фигур на плоско­сти.

Изображение параллелепипеда строится, исходя из того, что все его грани — параллелограммы и, следовательно, изображаются параллело­граммами (рис. 11).



П ри изображении куба плоскость изображений обычно выбирается параллельной одной из его граней. В этом случае две грани куба, парал­лельные плоскости изображений (передняя и задняя), изображаются равными квадратами. Остальные грани куба изображаются параллелограм­мами (рис. 12). Аналогичным образом изображается прямоугольный параллелепипед (рис. 13).

Рис.11 Рис.12 Рис.13

Для того чтобы построить изображение призмы, достаточно построить многоугольник, изображающий ее основание. Затем из вершин много­угольника провести прямые, параллельные некоторой фиксированной пря­мой, и отложить на них равные отрезки. Соединяя концы этих отрезков, получим многоугольник, являющийся изображением второго основания призмы (рис. 14).

Для того чтобы построить изображение пирамиды, достаточно построить многоугольник, изображающий ее основание. Затем выбрать какую-нибудь точку, которая будет изображать вершину пирамиды, и соединить ее с вершинами многоугольника (рис. 15). Полученные отрезки будут изобра­жать боковые ребра пирамиды.



Рис.14 Рис.15

Для изображения цилиндра достаточно изобразить его основания в виде двух эллипсов, получающихся друг из друга параллельным переносом, нарисовать две образующие, соединяющие соответствующие точки оснований (рис. 16).

Для изображения конуса достаточно изобразить его основание в виде эллипса, отметить вершину и провести через нее две образующие, являющиеся касательными к этому эллипсу (рис. 17).

Рис.16 Рис.17

Обратим внимание на тот факт, что плоское изображение, подчиняясь определенным законам, способно передать впечатление о трехмерном предмете. Однако при этом могут возникать иллюзии.

В живописи существует целое направление, которое называется поссибилизм (impossibility — невозможность) — изображение невозможных фигур, парадоксов. Известный голландский художник М. Эшер (1898 - 1972) в гравюрах «Бельведер» (рис. 18), «Водопад» (рис. 19), «Поднимаясь и опускаясь» (рис. 20) изобразил невозможные объекты.

Современный шведский архитектор О. Рутерсвард посвятил невозможным объектам серию своих художественных работ. Некоторые из них представлены на рисунке 21.

Рис.18 Рис.19


Рис.20 Рис.21


Упражнения

  1. Постройте изображение куба, две грани которого параллельны плоскости изображений.


  1. Постройте изображение куба, ребро которого параллельно плоскости проектирования, а грани — нет.


  1. Постройте изображения прямого и наклонного параллелепипедов, две противоположные грани которых параллельны плоскости изображения.


  1. На рисунке 13 изображен прямоугольный параллелепипед. Верно ли утверждение о том, что какие-то его ребра параллельны плоскости проектирования? (ДА)

  2. На рисунке 11 изображен наклонный параллелепипед. Верно ли утверждение о том, что какие-то его ребра параллельны плоскости проектирования? (НЕТ)

  3. Постройте изображение правильной шестиугольной призмы.

  1. На рисунке 14 изображена треугольная призма. Верно ли утвержде­ние о том, что какие-то ее ребра параллельны плоскости проектирования? (НЕТ)

  2. Постройте изображение правильного тетраэдра ABCD, грань ABD которого параллельна плоскости проектирования. Каким будет изображение треугольника ABD?(ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК)

  1. Изобразите в параллельной проекции правильную четырехугольную пирамиду.

  1. Изобразите правильный октаэдр SABCDS', две диагонали АС и SS' которого параллельны плоскости проектирования. Каким будет изображение четырехугольника ASCS"? (КВАДРАТ)

  2. Параллельными проекциями каких многогранников являются фигуры, изображенные на рисунке 22? (а,б – ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА; в- ТЕТРАЭДР; г,д – ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА; е – ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)

д)

е)

Рис. 24

Рис. 23

  1. Возможен ли многогранник, изображение которого показано на рисунке 23? (НЕТ)

  2. Можно ли рисунок 24 считать изображением правильного тетраэдра? (ДА)

  3. Дано изображение правильного тетраэдра ABCD (рис. 25). Постройте высоту этого тетраэдра, опущенную из вершины D. (Основанием Н высоты DH правильного тетраэдра ABCD является точка пересечения медиан треугольника ABC. Для его нахождения построим середины двух сторон основания и соединим их с противоположными вер­шинами. Точка пересечения этих отрезков и будет искомым основанием Н высоты тетраэдра. Соединим теперь эту точку с противоположной вер­шиной D тетраэдра. Получим искомую высоту DH.)

  4. Дано изображение правильного тетраэдра (рис.26). Постройте центр вписанной в него сферы. (Центром вписан­ной сферы правильного тетраэдра является точка О пересечения отрезков, соединяющих вершины тетраэдра с точками пересечения медиан проти­воположных граней. Причем в точке О эти отрезки делятся в отношении 3:1, считая от вершины. Для построения центра О правильного тетраэдра ABCD построим высоту DH (см. предыдущую задачу) и отложим на нем отрезок ОН, равный одной четвертой DH.)

D


Рис. 26


Практическая работа

Выполните построения в программе Живая математика.



Похожие документы:

  1. Тематическое планирование Курс «Математические основы информатики»

    Тематическое планирование
    ... на плоскости.   §6.1 2. Уравнения линий.   §6.2 3. Уравнения линий.   §6.2 4. Задачи компьютерной графики на взаимное расположение точек и фигур.   §6.3 5. Задачи компьютерной графики на взаимное расположение точек и фигур.   §6.3 6. Многоугольники ...
  2. Задачи, реализуемые в образовательной программе направлены: на формирование общей культуры обучающихся

    Документ
    ... решения задачи. 2.5.4. Пространственные отношения. Геометрические фигуры Выпускник научится: · описывать взаимное расположение предметов в пространстве и на плоскости ...
  3. Программа формирования универсальных учебных действий у обучающихся на ступени начального общего образования 2 17

    Программа
    ... , угла, многоугольника; различать: луч и отрезок; характеризовать: расположение чисел на числовом луче; взаимное расположение фигур на плоскости (пересека ...
  4. Программа духовно-нравственного развития и воспитания обучающихся на ступени начального общего образования (1)

    Программа
    ... задачи. 2.5.4. Пространственные отношения. Геометрические фигуры Выпускник научится: · описывать взаимное расположение предметов в пространстве и на ... построек средствами изобразительного искусства и компьютерной графики; ·выполнять простые рисунки и ...
  5. Учебные программы по предметам образовательной области «Математика и информатика»

    Документ
    ... использование формул площадей многоугольников, круга и его ... двух плоскостей; задачи практического содержания на взаимные расположения прямых и плоскостей ... от компьютерных вирусов; виды компьютерной графики (векторная и растровая графика); ...

Другие похожие документы..