Решение Число возможных исходов: m=6*6=36

Задача 1. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит 7; б) произведение числа очков не превосходит 7; в) произведение числа очков делится на 7.

Решение

Число возможных исходов: m=6*6=36

А) число благоприятствующих исходов: 1и1, 1и2, 1и3, 1и4, 1и5, 1и6, 2и 3, 2и4,3и3 – n=9

Б) число благоприятствующих исходов: 1и1, 1и2, 1и3, 1и4, 1и5, 1и6, 2и 3

В) число благоприятствующих исходов: 0

Задача 2. Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го сорта равно 2,3,4,2. Для контроля наудачу берутся 7 изделий. Определить вероятность того, что среди них 1 первосортных, 2, 3 и 1 второго, третьего и четвертого сорта соответственно =m.

Решение

Всего изделий - 2+3+4+2=11 изделий

Вынимается 1+2+3+1=7 изделий

Событие А ={1 изделие 1 сорта, 2 изделия 2-го сорта, 3 изделия 3-го сорта, 1 изделие 4-го сорта}

Искомая вероятность равна

Задача 3. Среди 9 лотерейных билетов 7 выигрышных. Наудачу взяли 3 билетов. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных.

Решение

Пусть событие А - среди 9 билетов 7 выигрышных. Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно

Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию равно

Отсюда, искомая вероятность равна:

Задача 4. В лифт 40-этажного дома сели 4 пассажиров (n <k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а) все вышли на разных этажах; б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.

Решение

а) Событие А – все пассажиры вышли на разных этажах.

Событие А₁ – первый пассажир вышел на любом из 39, кроме первого, этаже.

Событие А₂ – второй пассажир вышел на любом из оставшихся 38 этажей, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир.

Событие А₃ – третий пассажир вышел на любом из оставшихся 37 этажей, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.

Событие А₄ – четвертый пассажир вышел на любом из оставшихся 36 этажей, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.

Вероятность события А находим по теореме умножения, поскольку события А₁, А₂, А₃, А₄ являются зависимыми. Тогда:

где:

б) Событие В – по крайней мере двое сошли на одном этаже.

Событие В₁ – первый пассажир вышел на любом из 39, кроме первого, этаже.

Событие В₂ – второй пассажир вышел на любом из оставшихся 38 этажей, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир.

Событие В₃ – третий пассажир вышел на любом из оставшихся 37 этажей, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.

Событие В₄ – четвертый пассажир вышел на любом из трех этаже, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.

Вероятность события В находим по теореме умножения, поскольку события В₁, В₂, В₃, В₄ являются зависимыми. Тогда:

Задача 5. В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит величину 1/6.

Решение

Так как расстояние до обоих концов 1/6, то удачное событие, это попадание точки на отрезок длины

Задача 6. Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени от 1200 до 1300. Одно из событий длится 10 мин., другое - 5 мин. Определить вероятность того, что: а) события «перекрываются» по времени; б) «не перекрываются».

Решение

Будем считать промежуток появления событий длины 1 (поделим все времена на 100).

Введём случайные величины: X - момент появления первого события длительности 0.1 и Y - момент появления второго события длительности 0.05.

Тогда пара случайных величин (X,Y) - моменты появления может быть произвольной точкой на единичном квадрате (множество всех случаев).

Тогда множество случаев, которые благоприятны событию А (промежутки «перекрываются» по времени) удовлетворяют условиям

y < x < y+0.05 или x < y < x+ 0.1.

Площадь этого множества равняется вероятности наступления события А

Б) вероятность данного события является величиной противоположной событию А

Задача 7. В круге радиуса R=15 наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны S₁=2,5 и S₂=8,7

Решение

Искомая вероятность

Задача 8. В двух партиях 75 и 43 % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них: а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное?

Решение

Обозначим события:

Событие А – из первой партии наудачу вынули доброкачественное изделие;

Событие B - из второй партии наудачу вынули доброкачественное изделие

Вероятности этих событий соответственно равны: р₁ = 0,75 и р₂ = 0,43.

а) Пусть событий С – среди двух изделий хотя бы одно бракованное.

Рассмотрим противоположное событие - среди двух изделий нет бракованных, то есть эти два изделия доброкачественные. Вероятность события находим, используя теорему умножения:

Отсюда, вероятность искомого события Р(С) найдём по формуле:

б) Пусть событий D – среди двух изделий два бракованных.

Вероятность события D находим, используя теорему умножения:

в) Пусть событий Е - одно бракованное и одно доброкачественное. Здесь необходимо рассмотреть два события: Событие - из первой партии вынули доброкачественное изделия, а из второй – бракованное; Событие - из первой партии вынули бракованное изделие, а из второй – доброкачественное.

Тогда:

или

Вероятность события Е находим, используя теорему сложения и умножения:

0.535

Задача 9. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком 0,74, вторым – 0,42. Первый сделал 2, второй – 3 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.

Решение

Пусть событие А - цель не поражена.

Чтобы цель была не поражена, необходимо, чтобы первый стрелок, сделав 2 выстрела, ни разу не попал, и, чтобы второй стрелок, сделав 3 выстрела, тоже ни разу не попал.

Обозначения:

А1 – вероятность непоражения цели при одном выстреле первым стрелком (1 – р₁) ;

A2 – вероятность непоражения цели при одном выстреле вторым стрелком (1 – р₂) ;

Р – цель не поражена в результате общего количества испытаний.

Искомая вероятность равна

Р(А) = (1 – р₁)ⁿ¹ x (1 – р₂)ⁿ² = (1 – 0,74)² x (1 – 0,42)³ = 0.0132

Задача 10. Два игрока A и B поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадает герб. Первый бросок делает игрок A, второй - B, третий - A и т. д.

Найти вероятность указанного ниже события.

Выиграл A не позднее 8-го броска.

2. Каковы вероятности выигрыша для каждого игрока при сколь угодно длительной игре?

Решение

p = 1/2 - выпадение герба при одном бросании

q = 1 - p = 1 - 1/2 = 1/2 - выпадение решки при одном бросании

A = {игрок A выиграет не позднее 8 броска}

A = A1 + A3 + A5 + A7

Ai = {игрок A выиграет на i-том броске}

A1 = {при первом броске у игрока A выпадает герб}

P(A1) = p = 1/2

A3 = {у игрока A выпала решка, у игрока B выпала решка, у игрока A выпал герб}

P(A3) = q*q*p = (1/2)*(1/2)*(1/2) = 1/8

P(A1 + A3 + A5 + A7) = P(A1) + P(A3) + P(A5) + P(A7) =

Для игрока А

Для игрока В

Задача 11. Урна содержит 6 занумерованных шаров с номерами от 1 до 6. Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события:

A - номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2, ... 6;

B - хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения;

C - нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения.

Определить вероятности событий А, В, С. Найти предельные значения вероятностей при M.

Решение

A - номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2, ... 6;

В данном случае вероятность равна

При M.

B - хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения

При M.

C - нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения.

При M.

Задача 12. Из 1000 ламп 270, 640, 90 принадлежат i-й партии, i = l, 2, 3,

=1000. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа - бракованная.

Решение

Рассмотрим три гипотезы:

Н₁ – выбор лампы из первой партии;

Н₂ – выбор лампы из второй партии;

Н₃ – выбор лампы из третьей партии;

а также событие А – выбор бракованной лампы.

Учитывая то, что Н₁, Н₂, Н₃ – полная группа попарно несовместимых событий, причем Р(Нi) ¹ 0, i = 1,2,3, то для любого события А имеет место равенство (формула полной вероятности):

Тогда:

Задача 13. В первой урне 2 белых и 2 черных шаров, во второй 3 белых и 1 черных. Из первой во вторую переложено 1 шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар - белый.

Решение

В первой урне всего шаров – 2+2=4, во второй – 2+2=4 шара.

Возможны два исхода испытания

1. из первой урны извлечен белый шар. Вероятность данного события равна

Тогда во второй урне стало 5 шаров, из них 4 белых. Вероятность извлечения белого шара из второй урны

2. из второй урны извлечен черный шар. Вероятность данного события равна

Тогда во второй урне стало 5 шаров, из них 3 белых. Вероятность извлечения белого шара из второй урны

Искомая вероятность состоит в наступлении одного из этих двух событий

Задача 14. В альбоме 12 чистых и 10 гашеных марок. Из них наудачу извлекаются 4 марок (среди которых могут быть и чистые и гашеные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекается 2 марок. Определить вероятность того, что все 2 марок чистые.

Решение

Возможны следующие исходы испытания:

H2 = {2 чистых и 2 гашеные}

H3 = {1 чистых и 3 гашеных}

H4 = {3 чистых и 1 гашеных}

H5 = {4 гашеных }

H6 = {4 чистых }

Тогда вероятности этих событий равны

Проверка

A = {2 чистые марки}

A|H2 = {достали 2 чистых марки, если в альбоме 10 чистых и 12 гашеных марок}

A|H3 = {достали 2 чистых марки, если в альбоме 11 чистая и 11 гашеных марок}

A|H4 = {достали 2 чистых марки, если в альбоме 9 чистых и 14 гашеных марок}

A|H5 = {достали 2 чистых марки, если в альбоме 12 чистых и 10 гашеных марок}

A|H6 = {достали 2 чистых марки, если в альбоме 8 чистых и 14 гашеных марок}

По формуле полной вероятности

Задача 15. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет 70,20,10% изделий (i=l, 2, 3). Среди изделий i-го завода 70,80,90% первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено 1-м заводом.

Решение

Испытание состоит в том, что наудачу покупают одно изделие.

Рассмотрим событие А – изделие оказалось первосортным.

Рассмотрим гипотезы:

Событие H₁ – наудачу купленное изделие изготовлено на 1-ом заводе.

Событие H₂ – наудачу купленное изделие изготовлено на 2-ом заводе.

Событие H₃ – наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе.

По условию задачи необходимо найти вероятность события Н₃|А, то есть события состоящего в том, что наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе, если известно, что она первосортное.

Так как события H₁, H₂ и H₃ образуют полную группу событий, и событие А может наступить с одним из этих событий, то для нахождения вероятности события воспользуемся формулой Байеса:

где полная вероятность события А, которая может быть определена по формуле полной вероятности:

Находим условные вероятности события А при условии, что события Н₁, Н₂, Н₃ соответственно наступили

Задача 16. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадает 8 раз. Определить вероятность того, что цифра выпадает 6 раз.

Решение

Испытание состоит в бросании монеты.

Вероятность выпадения решки в каждом испытании постоянна: р = 0,5 , а выпадения герба – q = 1 – p = 1 -0,5 = 0,5. Всего монета бросается (n + m) = 8+6= 14раз. Следовательно, указанный эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли. Тогда искомую вероятность находим по формуле:

Отсюда, искомая вероятность равна:

Задача 17. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,5. Куплено 12 билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Решение

По условию

n = 12

p = 0.5

q = 1 - p = 1 - 0.5 = 0.5

m* - наивероятнейшее число выигравших билетов

Используем следующую формулу

По формуле Бернулли

Задача 18. На каждый лотерейный билет с вероятностью 0,19 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью 0,11 - мелкий выигрыш и с вероятностью 0,7 билет может оказаться без выигрыша, =1. Куплено 15 билетов. Определить вероятность получения 3 крупных выигрышей и 1 мелких.

Решение

Событие А – среди 15 билетов получено 3 крупных выигрыша и 1 мелких.

Рассмотрим события:

Событие А₁ – выпал крупный выигрыш.

Событие А₂ – выпал мелкий выигрыш.

Событие А₃ – билет оказался без выигрыша.

Вероятности этих событий соответственно равны: р₁ = 0,19, р₂ = 0,11, р₃ = 0,7

Вероятность события А находим по формуле полиномиального распределения вероятностей:

Задача 19. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,02. Поступило 200 вызовов. Определить вероятность 8 «сбоев».

Решение

q = 1 – p = 1 – 0,01 = 0,99 .

Так как n – большое число (n = N = 200), а npq » 4, т.е. npq < 9 , то применяем формулы Пуассона:

Задача 20. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,7. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет следующему неравенству.

70  m.

Решение

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

,

где: Ф(х) – функция Лапласа,

По условию, n=100, p= 0,7, q = 1- p = 1- 0,7 = 0,3 , k₁ = 70, k₂ = 100.

Вычислим х` и x``:

1. «Решение задач на нахождение количества информации»

   Решение
   ... нужно знать или иметь возможность вычислить общее число возможных исходов какого-либо процесса, вероятность ... мыслить, находить нестандартные решения и проявлять инициативу. Приложение 1 Решение задач на нахождение количества ...

2. Решение о возможности использования того или иного типа датчиков в условиях реального технологического процесса может приниматься лишь после тщательного исследования как конструктивных особенностей датчика,

   Решение
   ... и не имеющих ограничений, свойственных используемым. Решение о возможности использования того или иного типа ... исходя из заданных матриц ковариаций шума процесса и шума измерения с помощью достаточного числа ...

3. Решение. Так как расписание дежурств зависит от порядка записи людей (упорядоченное множество), то воспользуемся формулой

   Решение
   ... случайным образом? Решение. Число возможных способов выбрать 5 человек из 14 (3 + 4 + 7 = 14): ; . Число возможных способов выбрать ... исходами в каждом – «успех» или «неуспех». Вероятность «успеха» равна р, «неуспеха» в каждом испытании. Х – число ...

4. Задачи для самостоятельного решения 17 Глава 3 принятие решений в условиях неопределенности и риска (игры с природой) 18

   Документ
   ... - это некоторое число, припи­сываемое лицом, принимающим решение, каждому возможному исходу. Функция полезности Неймана ... из числа непроверенных (N-n), если N = 100; k = 2 и возможном возврате изделий из числа непроверенных, если W= 0,05. Решение ...

5. Методы принятия управленческих решений

   Документ
   ... решение; -) принятие решений в условиях неопределённости. Любое принятое решение может привести к одному из множества возможных исходов ... В том случае, если число возможных стратегий i конечно (i=1,…,I) и число возможных исходов j конечно (j=1,…,J), то ...

Другие похожие документы..