Поиск
Рекомендуем ознакомиться
Главная > Решение
Информация о документе | |
Дата добавления: | |
Размер: | |
Доступные форматы для скачивания: | ![]() |
Задача 1. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит 7; б) произведение числа очков не превосходит 7; в) произведение числа очков делится на 7.
Решение
Число возможных исходов: m=6*6=36
А) число благоприятствующих исходов: 1и1, 1и2, 1и3, 1и4, 1и5, 1и6, 2и 3, 2и4,3и3 – n=9
Б) число благоприятствующих исходов: 1и1, 1и2, 1и3, 1и4, 1и5, 1и6, 2и 3
В) число благоприятствующих исходов: 0
Задача 2.
Имеются изделия четырех сортов, причем
число изделий i-го
сорта равно 2,3,4,2.
Для контроля наудачу берутся 7
изделий. Определить вероятность того,
что среди них 1
первосортных, 2,
3 и 1 второго, третьего и четвертого сорта
соответственно
=m.
Решение
Всего изделий - 2+3+4+2=11 изделий
Вынимается 1+2+3+1=7 изделий
Событие А ={1 изделие 1 сорта, 2 изделия 2-го сорта, 3 изделия 3-го сорта, 1 изделие 4-го сорта}
Искомая вероятность равна
Задача 3. Среди 9 лотерейных билетов 7 выигрышных. Наудачу взяли 3 билетов. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных.
Решение
Пусть событие А - среди 9 билетов 7 выигрышных. Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:
Общее число возможных элементарных исходов испытания равно
Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию равно
Отсюда, искомая вероятность равна:
Задача 4. В лифт 40-этажного дома сели 4 пассажиров (n <k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а) все вышли на разных этажах; б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.
Решение
а) Событие А – все пассажиры вышли на разных этажах.
Событие А1 – первый пассажир вышел на любом из 39, кроме первого, этаже.
Событие А2 – второй пассажир вышел на любом из оставшихся 38 этажей, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир.
Событие А3 – третий пассажир вышел на любом из оставшихся 37 этажей, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.
Событие А4 – четвертый пассажир вышел на любом из оставшихся 36 этажей, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.
Вероятность события А находим по теореме умножения, поскольку события А1, А2, А3, А4 являются зависимыми. Тогда:
где:
б) Событие В – по крайней мере двое сошли на одном этаже.
Событие В1 – первый пассажир вышел на любом из 39, кроме первого, этаже.
Событие В2 – второй пассажир вышел на любом из оставшихся 38 этажей, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир.
Событие В3 – третий пассажир вышел на любом из оставшихся 37 этажей, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.
Событие В4 – четвертый пассажир вышел на любом из трех этаже, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.
Вероятность события В находим по теореме умножения, поскольку события В1, В2, В3, В4 являются зависимыми. Тогда:
Задача 5. В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит величину 1/6.
Решение
Так как расстояние до обоих концов 1/6, то удачное событие, это попадание точки на отрезок длины
Задача 6. Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени от 1200 до 1300. Одно из событий длится 10 мин., другое - 5 мин. Определить вероятность того, что: а) события «перекрываются» по времени; б) «не перекрываются».
Решение
Будем считать промежуток появления событий длины 1 (поделим все времена на 100).
Введём случайные величины: X - момент появления первого события длительности 0.1 и Y - момент появления второго события длительности 0.05.
Тогда пара случайных величин (X,Y) - моменты появления может быть произвольной точкой на единичном квадрате (множество всех случаев).
Тогда множество случаев, которые благоприятны событию А (промежутки «перекрываются» по времени) удовлетворяют условиям
y < x < y+0.05 или x < y < x+ 0.1.
Площадь этого множества равняется вероятности наступления события А
Б) вероятность данного события является величиной противоположной событию А
Задача 7. В круге радиуса R=15 наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны S1=2,5 и S2=8,7
Решение
Искомая вероятность
Задача 8. В двух партиях 75 и 43 % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них: а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное?
Решение
Обозначим события:
Событие А – из первой партии наудачу вынули доброкачественное изделие;
Событие B - из второй партии наудачу вынули доброкачественное изделие
Вероятности этих событий соответственно равны: р1 = 0,75 и р2 = 0,43.
а) Пусть событий С – среди двух изделий хотя бы одно бракованное.
Рассмотрим противоположное
событие
- среди
двух изделий нет бракованных, то есть
эти два изделия доброкачественные.
Вероятность события
находим,
используя теорему умножения:
Отсюда, вероятность искомого события Р(С) найдём по формуле:
б) Пусть событий D – среди двух изделий два бракованных.
Вероятность события D находим, используя теорему умножения:
в) Пусть событий Е - одно бракованное
и одно доброкачественное. Здесь необходимо
рассмотреть два события: Событие
- из
первой партии вынули доброкачественное
изделия, а из второй – бракованное;
Событие
- из
первой партии вынули бракованное
изделие, а из второй – доброкачественное.
Тогда:
или
Вероятность события Е находим, используя теорему сложения и умножения:
0.535
Задача 9. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком 0,74, вторым – 0,42. Первый сделал 2, второй – 3 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.
Решение
Пусть событие А - цель не поражена.
Чтобы цель была не поражена, необходимо, чтобы первый стрелок, сделав 2 выстрела, ни разу не попал, и, чтобы второй стрелок, сделав 3 выстрела, тоже ни разу не попал.
Обозначения:
А1 – вероятность непоражения цели при одном выстреле первым стрелком (1 – р1) ;
A2 – вероятность непоражения цели при одном выстреле вторым стрелком (1 – р2) ;
Р – цель не поражена в результате общего количества испытаний.
Искомая вероятность равна
Р(А) = (1 – р1)n1 x (1 – р2)n2 = (1 – 0,74)2 x (1 – 0,42)3 = 0.0132
Задача 10. Два игрока A и B поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадает герб. Первый бросок делает игрок A, второй - B, третий - A и т. д.
Найти вероятность указанного ниже события.
Выиграл A не позднее 8-го броска.
2. Каковы вероятности выигрыша для каждого игрока при сколь угодно длительной игре?
Решение
p = 1/2 - выпадение герба при одном бросании
q = 1 - p = 1 - 1/2 = 1/2 - выпадение решки при одном бросании
A = {игрок A выиграет не позднее 8 броска}
A = A1 + A3 + A5 + A7
Ai = {игрок A выиграет на i-том броске}
A1 = {при первом броске у игрока A выпадает герб}
P(A1) = p = 1/2
A3 = {у игрока A выпала решка, у игрока B выпала решка, у игрока A выпал герб}
P(A3) = q*q*p = (1/2)*(1/2)*(1/2) = 1/8
P(A1 + A3 + A5 + A7) = P(A1) + P(A3) + P(A5) + P(A7) =
Для игрока А
Для игрока В
Задача 11. Урна содержит 6 занумерованных шаров с номерами от 1 до 6. Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события:
A - номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2, ... 6;
B - хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения;
C - нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения.
Определить вероятности событий А, В, С. Найти предельные значения вероятностей при M.
Решение
A - номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2, ... 6;
В данном случае вероятность равна
При M.
B - хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения
При M.
C - нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения.
При M.
Задача 12. Из 1000 ламп 270, 640, 90 принадлежат i-й партии, i = l, 2, 3,
=1000.
В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей
4% бракованных ламп. Наудачу выбирается
одна лампа. Определить вероятность
того, что выбранная лампа - бракованная.
Решение
Рассмотрим три гипотезы:
Н1 – выбор лампы из первой партии;
Н2 – выбор лампы из второй партии;
Н3 – выбор лампы из третьей партии;
а также событие А – выбор бракованной лампы.
Учитывая то, что Н1, Н2, Н3 – полная группа попарно несовместимых событий, причем Р(Нi) ¹ 0, i = 1,2,3, то для любого события А имеет место равенство (формула полной вероятности):
Тогда:
Задача 13. В первой урне 2 белых и 2 черных шаров, во второй 3 белых и 1 черных. Из первой во вторую переложено 1 шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар - белый.
Решение
В первой урне всего шаров – 2+2=4, во второй – 2+2=4 шара.
Возможны два исхода испытания
из первой урны извлечен белый шар. Вероятность данного события равна
Тогда во второй урне стало 5 шаров, из них 4 белых. Вероятность извлечения белого шара из второй урны
из второй урны извлечен черный шар. Вероятность данного события равна
Тогда во второй урне стало 5 шаров, из них 3 белых. Вероятность извлечения белого шара из второй урны
Искомая вероятность состоит в наступлении одного из этих двух событий
Задача 14. В альбоме 12 чистых и 10 гашеных марок. Из них наудачу извлекаются 4 марок (среди которых могут быть и чистые и гашеные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекается 2 марок. Определить вероятность того, что все 2 марок чистые.
Решение
Возможны следующие исходы испытания:
H2 = {2 чистых и 2 гашеные}
H3 = {1 чистых и 3 гашеных}
H4 = {3 чистых и 1 гашеных}
H5 = {4 гашеных }
H6 = {4 чистых }
Тогда вероятности этих событий равны
Проверка
A = {2 чистые марки}
A|H2 = {достали 2 чистых марки, если в альбоме 10 чистых и 12 гашеных марок}
A|H3 = {достали 2 чистых марки, если в альбоме 11 чистая и 11 гашеных марок}
A|H4 = {достали 2 чистых марки, если в альбоме 9 чистых и 14 гашеных марок}
A|H5 = {достали 2 чистых марки, если в альбоме 12 чистых и 10 гашеных марок}
A|H6 = {достали 2 чистых марки, если в альбоме 8 чистых и 14 гашеных марок}
По формуле полной вероятности
Задача 15. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет 70,20,10% изделий (i=l, 2, 3). Среди изделий i-го завода 70,80,90% первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено 1-м заводом.
Решение
Испытание состоит в том, что наудачу покупают одно изделие.
Рассмотрим событие А – изделие оказалось первосортным.
Рассмотрим гипотезы:
Событие H1 – наудачу купленное изделие изготовлено на 1-ом заводе.
Событие H2 – наудачу купленное изделие изготовлено на 2-ом заводе.
Событие H3 – наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе.
По условию задачи необходимо найти вероятность события Н3|А, то есть события состоящего в том, что наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе, если известно, что она первосортное.
Так как события H1,
H2
и H3
образуют полную группу событий, и событие
А может наступить с одним из этих событий,
то для нахождения вероятности события
воспользуемся формулой Байеса:
где полная вероятность события А, которая может быть определена по формуле полной вероятности:
Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1, Н2, Н3 соответственно наступили
Задача 16. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадает 8 раз. Определить вероятность того, что цифра выпадает 6 раз.
Решение
Испытание состоит в бросании монеты.
Вероятность выпадения решки в каждом испытании постоянна: р = 0,5 , а выпадения герба – q = 1 – p = 1 -0,5 = 0,5. Всего монета бросается (n + m) = 8+6= 14раз. Следовательно, указанный эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли. Тогда искомую вероятность находим по формуле:
Отсюда, искомая вероятность равна:
Задача 17. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,5. Куплено 12 билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.
Решение
По условию
n = 12
p = 0.5
q = 1 - p = 1 - 0.5 = 0.5
m* - наивероятнейшее число выигравших билетов
Используем следующую формулу
По формуле Бернулли
Задача 18.
На каждый лотерейный билет с вероятностью
0,19
может выпасть крупный выигрыш, с
вероятностью 0,11
- мелкий выигрыш и с вероятностью 0,7
билет может оказаться без выигрыша,
=1.
Куплено 15
билетов. Определить вероятность получения
3
крупных выигрышей и 1
мелких.
Решение
Событие А – среди 15 билетов получено 3 крупных выигрыша и 1 мелких.
Рассмотрим события:
Событие А1 – выпал крупный выигрыш.
Событие А2 – выпал мелкий выигрыш.
Событие А3 – билет оказался без выигрыша.
Вероятности этих событий соответственно равны: р1 = 0,19, р2 = 0,11, р3 = 0,7
Вероятность события А находим по формуле полиномиального распределения вероятностей:
Задача 19. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,02. Поступило 200 вызовов. Определить вероятность 8 «сбоев».
Решение
q = 1 – p = 1 – 0,01 = 0,99 .
Так как n – большое число (n = N = 200), а npq » 4, т.е. npq < 9 , то применяем формулы Пуассона:
Задача 20. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,7. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет следующему неравенству.
70 m.
Решение
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
,
где: Ф(х) – функция Лапласа,
По условию, n=100, p= 0,7, q = 1- p = 1- 0,7 = 0,3 , k1 = 70, k2 = 100.
Вычислим х` и x``:
Похожие документы:
«Решение задач на нахождение количества информации»
Решение... нужно знать или иметь возможность вычислить общее число возможных исходов какого-либо процесса, вероятность ... мыслить, находить нестандартные решения и проявлять инициативу. Приложение 1 Решение задач на нахождение количества ...Решение о возможности использования того или иного типа датчиков в условиях реального технологического процесса может приниматься лишь после тщательного исследования как конструктивных особенностей датчика,
Решение... и не имеющих ограничений, свойственных используемым. Решение о возможности использования того или иного типа ... исходя из заданных матриц ковариаций шума процесса и шума измерения с помощью достаточного числа ...Решение. Так как расписание дежурств зависит от порядка записи людей (упорядоченное множество), то воспользуемся формулой
Решение... случайным образом? Решение. Число возможных способов выбрать 5 человек из 14 (3 + 4 + 7 = 14): ; . Число возможных способов выбрать ... исходами в каждом – «успех» или «неуспех». Вероятность «успеха» равна р, «неуспеха» в каждом испытании. Х – число ...Задачи для самостоятельного решения 17 Глава 3 принятие решений в условиях неопределенности и риска (игры с природой) 18
Документ... - это некоторое число, приписываемое лицом, принимающим решение, каждому возможному исходу. Функция полезности Неймана ... из числа непроверенных (N-n), если N = 100; k = 2 и возможном возврате изделий из числа непроверенных, если W= 0,05. Решение ...Методы принятия управленческих решений
Документ... решение; -) принятие решений в условиях неопределённости. Любое принятое решение может привести к одному из множества возможных исходов ... В том случае, если число возможных стратегий i конечно (i=1,…,I) и число возможных исходов j конечно (j=1,…,J), то ...