Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
В процессе исследования проведены следующие исследования и разработки: выявлена сущность анализа финансового состояния предприятия, приведена система ...полностью>>
'Документ'
Место работы Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа с углублённым изучением отдельных предметов №3» города Вс...полностью>>
'Расписание'
И.О. Преподавателя ноября 013, вторник 11.00-11.30 Регистрация и анкетирование слушателей. Евдокимова Марина Владимировна специалист по УМР 1 категори...полностью>>
'Документ'
а) настоящее постановление применяется к отношениям, вытекающим из публичных договоров, ранее заключенных на розничных рынках электрической энергии (д...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Второй этап Всероссийской олимпиады школьников

2007-2008 учебного года по математике

Ставропольский край

Вариант 1-11

1. Какая наибольшая площадь может быть у прямоугольника, координаты вершин которого удовлетворяют уравнению , а стороны параллельны координатным осям.

2. Найти значение выражения

3. Вычислить сумму и умножить ее на наименьший корень уравнения

4. В коробке находятся 13 красных и 17 белых шаров. Разрешается проводить в любом порядке и в любом количестве следующие операции:

а) увеличить на 2 число красных шаров и одновременно уменьшить на 1 число белых шаров;

б) увеличить на 1 число красных шаров и одновременно увеличить на 2 число белых шаров;

в) уменьшить на 2 число красных шаров и одновременно увеличить на 1 число белых;

г) уменьшить на 1 число красных шаров и одновременно уменьшить на 2 число белых.

Можно ли, совершая такие действия, добиться того, чтобы в ящике оказалось 37 красных и 43 белых шара? Ответ обосновать.

5. В учебном корпусе на каждом этаже находится Одинаковое количество аудиторий. Всего в корпусе 96 аудиторий и площадь каждой из них равна 46 м2. При строительстве корпуса суммарные затраты на земляные работы, отделочные и оборудование аудиторий не превысили 252720 руб., причем на отделочные работы было израсходовано по 2760 руб. на каждый этаж постройки, на оборудование аудиторий - по 2000 руб. на каждую аудиторию и на земляные работы на отведенном под строительство участке земли - по 14 руб. на 1 м2 земельного участка. Известно, что площадь участка земли не превосходит 2550 м2, а общая площадь всех аудиторий одного этажа в 5 раз меньше, чем площадь земельного участка. Сколько этажей в корпусе?

Вариант 2-11

1. Найти все значения , при каждом из которых неравенство

выполняется для каждого

2. Найти все неотрицательные значения параметра , при которых система

имеет ровно два решения.

3. В прямоугольной системе координат дан треугольник, ограниченный прямыми ,,. В него вписан прямоугольник наибольшей площади. Найдите координаты его вершин.

4. На доске выписали в порядке возрастания все числа от 1 до 10000, а затем стерли те, которые не делятся ни на 4 ни на 11. Какое число окажется на 1994 месте?

5. Доказать, что во всякой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, знаменатель которой не равен , предел суммы всех ее членов больше учетверенного второго члена.

Вариант 3-11

1. В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

2. Три брата, возраст которых образует геометрическую прогрессию, делят между собой некую сумму денег пропорционально своему возрасту. Если бы они это проделали через три года, когда самый младший окажется вдвое моложе самого старшего, то младший получил бы на 105, а средний на 15 рублей больше, чем сейчас. Сколько лет каждому из братьев?

3. Найти наибольший целый положительный корень уравнения

4. Какой гвоздь крепче держится в деревянной стене (труднее вытаскивается из стены) – круглый, квадратный или треугольный, если забивать их на одну глубин, и площади их поперечных сечений равны?

5. Решить систему уравнений

Вариант 4-11

1. Докажите, что для каждого натурального п справедливо неравенство

.

2. Точки К и L лежат соответственно на сторонах АВ и АС остроугольного треугольника АВС так, что KL  ВС. О - центр окружности, описанной около треугольника АВС, М - это точка пространства, которая не лежит в плоскости треугольника АВС и и . Докажите, что плоскость треугольника АОМ перпендикулярна плоскости треугольника АВС.

3. Среди решений (x;y) системы уравнений найти то, для которого сумма (x+y) максимальна и разделить ее на результат вычисления выражения

4. Отец завещал трем своим сыновьям 19 лошадей. Старший сын должен получить ½, средний ¼ и младший 1/5 всех лошадей. Когда отец умер, его сыновья никак не могли поделить между собой лошадей и решили обратиться за помощью к приятелю отца. Тот, решил помочь, для этого он привел свою лошадь, так что оказалось всего 20 лошадей. Из них 10 лошадей получил старший брат, 5 – средний, 4 – младший. Оставшуюся лошадь приятель отца отвел домой. Какая и кем допущена ошибка при разделе наследства?

5. Доказать, что диагональ куба перпендикулярна плоскости, проведенной через концы трех ребер куба, выходящих из той же вершины, что и диагональ

Вариант 5-11

1. Найдите трехзначное число, уменьшающееся в 13 раз после зачеркивания в нем средней цифры.

2. Докажите, что среди чисел вида , где т, п - натуральные, нет ни одного квадрата целого числа, но есть бесконечное множество кубов целых чисел.

3. В треугольной пирамиде боковые ребра попарно перпендикулярны. Их длины составляют соответственно 2см, 3см и 4см. Найти объем пирамиды.

4. Каждый из трех игроков записывают 100 слов, после чего записи сравниваются. Если слово встретилось хотя бы у двоих, то его вычеркивают из всех списков. Могло ли случиться так, что у первого игрока осталось 54 слова.

5. При каких значениях параметра касательная к графику функции в точке с абсциссой образует наименьший угол с положительным направлением оси ? Найти величину этого угла.

Вариант 6-11

1. Решите уравнение , где знак деления повторяется 2006 раз.

2. Детский конструктор состоит из палочек длиной 8 см или 9 см. Сумма их длин равняется 18 м. В конструкторе есть палочки обоих типов. Докажите, что из всех этих палочек можно составить восемь отрезков одинаковой длины.

3. Найти произведение наибольшего целого решения неравенства , где на наименьшее целое решение системы неравенств

4. Всем членам одной семьи сейчас 73 года. Состав семьи таков. Муж, жена, дочь и сын. Муж старше жены на 3 года, дочь старше сына на 2 года. Четыре года тому назад всем членам семьи было 58 лет. Сколько лет сейчас каждому члену этой семьи?

5. В ящике лежат 70 шаров: 20 красных, 20 зеленых, 20 желтых, остальные – черные и белые. Шары отличаются друг от друга лишь цветом. В темноте я беру шары. Какое наименьшее число шаров я должен взять, чтобы среди них было не меньше 10 шаров одного цвета?

Вариант 7-11

1. Найти действительные решения системы уравнений

2. Решите уравнение , где знак деления повторяется 2006 раз.

3. Решить уравнение , где - целая часть числа x, - дробная часть числа.

4. Три купчихи – Олимпиада, Сосипатра и Поликсена пили чай. Если бы Олимпиада выпила на 5 чашек больше, то она выпила бы столько, сколько две другие вместе. Если бы Сосипатра выпила на 9 чашек больше, то она выпила бы столько, сколько две другие вместе. Определите, сколько каждая выпила чашек, и у кого какое отчество, если известно, что Уваровна пила чай в прикуску, количество чашек чая, выпитых Титовной, кратно трем, а Карповна выпила 11 чашек.

5. В замкнутую фигуру, полученную в результате пересечения парабол и , вписан прямоугольник наибольшей площади. Найти координаты его вершин.

Вариант 8-11

1. Упростить выражение

2. Дано несколько пересекающихся кругов, занимающих на плоскости площадь, равную единице. Доказать, что из них можно выбрать один или несколько попарно непересекающихся кругов, общая площадь которых не менее .

3. В комнате находится 50 человек. Некоторые из них знакомы между собой , а другие – нет. Считается, что если А знаком с В, то В знаком с А. Доказать, что в комнате найдутся 2 человека, имеющие одинаковое число знакомых среди присутствующих.

4. Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1!·2! ·3! ·4…20!, чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?

5. Найти произведение .

Вариант 9-11

1. В клетках шахматной доски записаны целые числа так, что разность чисел из любых соседних клеток (клеток, имеющих общую сторону) не превосходит 20. Доказать, что на доске найдутся по крайней мере три клетки, в которых записано одно и то же число.

2. Найти все пары чисел , удовлетворяющие системе

3. Наибольший корень уравнения , разделить на результат вычисления выражения

4. Найти произведение наименьшего корня уравнения и выражения

5. При каких значениях параметра касательная к графику образует с положительным направлением оси острый угол?

Вариант 10-11

1. В тетраэдре АВСD ребро АС перпендикулярно ВС, а AD перпендикулярно BD/ Докажите, что косинус угла между прямыми АС и BD меньше, чем CD/AB.

2. Существуют ли такие действительные числа a, b, c, для которых уравнение имеет три действительных корня?

3. Вычислите

При x=sin20, y=lg2.

4. Найдите остаток от деления числа 16913+16256 на 85

5. Два игрока поочередно извлекают из трех урн шары. В свой ход каждый может взять из любой урны (но только одной) произвольное число шаров . Выигрывает тот, кто забирает последние шары. Как должен действовать игрок, делающий первый ход, чтобы выиграть, если вначале в одной урне содержится 1 шар, во второй- 65 , а в третьей – 117 шаров?

Вариант 11-11

1. Какую наименьшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, гипотенуза которого лежит на касательной к графику функции , катет лежит на оси x, а одна из вершин совпадает с точкой касания?

2. Изобразите на координатной плоскости ХОУ множество точек М(х, у), координаты которых удовлетворяют равенству

3. Покупатель купил несколько одинаковых тетрадей и одинаковых книг, причем книг куплено на 4 штуки больше, чем тетрадей. За все тетради он заплатил 72 коп., а за все книги - 6 руб. 60 коп. Если бы тетрадь стоила столько, сколько стоит книга, а книга - столько, сколько стоит тетрадь, то покупатель истратил бы на покупку меньше, чем 4 руб. 44 коп. Сколько куплено тетрадей?

4. Постройте магический квадрат 3 х 3, в котором расположите числа от 3 до 11 так, чтобы по всем строкам, столбцам и диагоналям была одна и та же сумма.

5. Решить уравнение

Вариант 12-11

1. Найти множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству

.

2. Дан чертеж: равносторонний треугольник и правильный пятиугольник. Найдите угол х.

3. Вася и Петя поделили между собой 39 орехов. Число орехов, доставшихся любому из них, меньше удвоенного числа орехов, доставшегося другому. Квадрат трети числа орехов, доставшихся Пете, меньше увеличенного на 1 числа орехов, доставшихся Васе. Сколько орехов у каждого?

4. Докажите, что точки А(3; 0), В(0; 1), С(2; 7), D(5: 6) являются вершинами прямоугольника.

5. Решить уравнение

Вариант 13-11

1. Найти множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

.

2. На плоскости лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого катеты имеют длину а. Поворотом данного треугольника вокруг вершины прямого угла на угол 450 получается другой равнобедренный треугольник. Найдите площадь четырехугольника, являющегося общей частью этих двух треугольников.

3. Имеются одинаковые наборы почтовых марок, состоящие из гашеных и негашеных марок, причем в каждом наборе число гашеных марок более чем на 2 превосходит число негашеных. Если в каждом наборе число гашеных марок увеличить в 4 раза, а число негашеных оставить без изменения, то число гашеных марок в одном наборе превысит число негашеных не более чем на 20, а общее число марок во всех имеющихся наборах станет равным 44. Определить число имеющихся наборов и число гашеных и негашеных марок в каждом наборе.

4. Решить уравнение

5. Доказать, что объемы двух треугольных пирамид, имеющих по равному трехгранному углу, относятся как произведения длин трех ребер равных трехгранных углов.

Вариант 14-11

1. Доказать, что при любом вещественном выполняется неравенство

.

2. Найдите сумму всех чисел таблицы:

1, 2, 3, 4,…, 99, 100

2, 3, 4, 5,…, 100, 101

………………………

100, 101, 102,…,198, 199

3. Четыре школьника сделали в магазине канцтоваров следующие покупки: первый купил пенал и ластик, заплатив 40 руб.; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 руб.; третий купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 руб.; четвертый купил пенал и тетрадь. Сколько заплатил четвертый школьник?

4. Решить уравнение

5. Доказать неравенство

Вариант 15-11

1. На горизонтальной плоскости лежат четыре шара радиуса . Их центры образуют квадрат со стороной . Сверху в лунку, образованную этими шарами, положен пятый шар такого же радиуса. Найти расстояние от его наивысшей точки до плоскости.

2. Построить график функции

3. Около дома посажены липы и березы, причем общее их количество более 14. Если увеличить вдвое количество лип, а количество берез увеличить на 18, то берез станет больше, чем лип. Если увеличить вдвое количество берез, не изменяя количества лип, то лип все равно будет больше, чем берез. Сколько лип и сколько берез было посажено?

4. Решить уравнение

5. В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб с углом при вершине . Боковое ребро, выходящее из вершины , равно стороне ромба. Доказать, что из остальных боковых ребер можно составить прямоугольный треугольник.

Вариант 16-11

1. Доказать, что в геометрической прогрессии сумма квадратов нечетного числа членов делится без остатка на сумму первых степеней тех же членов.

2. Найдите сумму всех корней уравнения

3. В киоске были проданы одинаковые комплекты, состоящие только из синих и красных карандашей, причем в каждом комплекте число синих карандашей более чем на 3 превосходило число красных. Если бы в каждом комплекте число синих карандашей увеличили в три раза, а красных в два раза, то число синих карандашей в одном комплекте превосходило бы число красных не более чем на 16, а общее число всех проданных карандашей равнялось бы 81. Определить, сколько было продано комплектов и сколько было в каждом комплекте синих и красных карандашей.

4. При каких условиях полусумма двух положительных чисел равна их разности?

5. На линии, заданной уравнением найти точку, расстояние от которой до прямой будет наименьшим.

Вариант 17-11

1. Определить все те значения параметра , при которых функция является монотонно возрастающей на всей числовой оси.

2. Наибольший положительный корень уравнения умножить на выражение , если .

3. Группа студентов, состоящая из 30 человек, получила на экзамене оценки 2, 3,4 и 5. Сумма полученных оценок равна 93, причем "троек" было больше, чем "пятерок", и меньше, чем "четверок". Кроме того, число "четверок" делилось на 10, а число "пятерок" было четным. Определить, сколько каких оценок получила группа.

4. Назовем диагональ хорошей , если она делит площадь многоугольника пополам. Какое наибольшее количество хороших диагоналей может быть у выпуклого пятиугольника?

5. Из середины высоты правильной четырехугольной пирамиды проведены перпендикуляры длиной к боковому ребру и длиной к боковой грани. Найдите объем пирамиды.

Вариант 18-11

1. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1. Пусть точки E и F являются основаниями перпендикуляров, проведенных из точки А к прямым A1D и А1С соответственно, а точки Р и Q являются основаниями перпендикуляров, проведенных из точки В1 к прямым А1С1 и А1С соответственно. Докажите, что .

2. Известны координаты треугольника АВС: А(1;1;1), В(2;4;2), С(8;3;3) Определить является ли этот треугольник прямоугольным или тупоугольным?

3. У школьника была некоторая сумма денег монетами достоинством в 15 коп. и 20 коп., причем 20-копеечныx монет было больше; чем 15-копеечных. Пятую часть всех денег школьник истратил, отдав две монеты на билет в кино. Половину оставшихся у него денег он отдал за обед, оплатив его тремя монетами. Сколько монет каждого достоинства было у школьника вначале?

4. Определить значение b, при котором корни уравнения удовлетворяют условию .

5. Сколько делителей имеет число 1800 (включая 1 и 1800).

Вариант 19-11

1. Решить уравнение .

2. Решите уравнение

3. Между пунктами А и В расположен пункт С, причем АС= 17 км, ВС = 3 км. Из пункта А в пункт В выехала машина, которая, не проехав и двух километров, остановилась. Через некоторое время она двинулась дальше в пункт В и в этот же момент из пункта С в пункт В отправились с постоянными скоростями пешеход и велосипедист, каждый из которых, достигнув В, сразу же поворачивает назад. С кем раньше поравняется машина, с пешеходом или велосипедистом, если ее скорость в 4 раза больше скорости велосипедиста и в 8 раз больше скорости пешехода?

4. Решить уравнение

5. В треугольнике на сторонах и отложены соответственно отрезки . Докажите, что площадь треугольника, образованного прямыми составляет площади треугольника.

Вариант 20-11

1. Найти множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

.

2. Какой цифрой оканчивается число

3. Два поезда выехали одновременно в одном направлении из городов А и В, расположенных на расстоянии 60 км друг от друга, и одновременно прибыли на станцию С. Если бы один из них увеличил свою скорость на 25 км/ч, а другой - на 20 км/ч, то они также прибыли бы одновременно на станцию С, но на 2 ч раньше. Найти скорости поездов.

4. Решить уравнение

5. Основание пирамиды есть трапеция с параллельными сторонами и . Доказать, что объем пирамиды равен произведения площади треугольника , где - средняя линия трапеции, на расстояние ребра от плоскости .



Похожие документы:

  1. Публичный отчёт «О состоянии системы образования Пушновской средней общеобразовательной школы в 2007-2008 учебном году» Утверждаю Утверждаю

    Публичный отчет
    ... во втором Всероссийском конкурсе лидеров ученического самоуправления. Она стала победителем районного этапа и ... по сравнению с прошлым годом остался на прежнем уровне. Анализ организации питания школьников Питание школьников в 2007-2008 учебном году ...
  2. Открытый городской конкурс юных литераторов и чтецов (в рамках «Никитинских дней»), 2011 Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по русскому языку и по литературе,2011

    Конкурс
    ... » 2012 – 2013 учебный год Всероссийская олимпиада школьников по математике (школьный этап) Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике Ерхалёв Сергей Иванович, ... на лучший технологический проект 2007,2008,2011,2012 Городской ...
  3. Программа «Одаренные дети»; план работы с одаренными детьми; положение о ноу «Под знаком Пи»; положение о школьном этапе всероссийской олимпиады школьников

    Программа
    ... - положение о школьном этапе всероссийской олимпиады школьников. В школе продолжается ... 15 2006-2007 7 2007-2008 5 2008-2009 11 ... этапе Всероссийской олимпиады школа переместилась с 15 на 9 место в 2012г. В этом учебном году радуют результаты по математике ...
  4. Учебные программы курсов по выбору по истории, обществознанию, экономике

    Документ
    ... учебные программы курсов по выбору по ... по философии. . ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2007/2008 II (МУНИЦИПАЛЬНЫЙ) ЭТАП ... школе: 1) 2 года;                     2) 3 года;                   3) 4 года;                    4) 6 ... Второго, ... и математика г) ...
  5. Мониторинг 30. 09. 2013

    Документ
    ... по математике. Во-первых, это обязательный предмет для выпускного экзамена; во-вторых ... 2008 году ... этап всероссийской олимпиады школьников Сегодня начинается первый школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2013-2014 учебного года. С десятого по ...

Другие похожие документы..