Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Для учета и получения бесплатной государственной услуги содействия гражданам в поиске подходящей работы КУ «Нефтеюганский центр занятости населения» п...полностью>>
'Документ'
Об утверждении положения о порядке составления, утверждения и установления показателей планов финансово-хозяйственной деятельности унитарных предприят...полностью>>
'Документ'
Фестиваль туристов и путешественников Тюменской области «Одиссея - 2013» проводится в соответствии с календарным планом физкультурных мероприятий и сп...полностью>>
'Документ'
Школа - спутник создается с целью организации работы по взаимодействию образовательных организаций, расположенных на территории Ханты-Мансийского райо...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

9 класс, геометрическое начало

1. Пусть p(x) = 2x3–3x2+1 . Докажите, что среди чисел p(3), p(4), …, p(2007) квадратов целых чисел столько же, сколько среди чисел p(3)–1, p(4)–1, …, p(2007)–1

2. Даны четырехугольник ABCD и прямая l. Обозначим через P, Q, R точки пересечения прямых AB и CD, AC и BD, BC и AD, а через P1, Q1, R1 — середины отрезков, которые эти пары прямых высекают на прямой l. Докажите, что прямые PP1, QQ1 и RR1 пересекаются в одной точке.

3. Леша задумал двузначное число от 10 до 99. Гриша пытается его угадать, называя двузначные числа. Гриша побеждает, если одну цифру он назвал правильно, а в другой ошибся не более чем на 1. Всегда ли Гриша победит за 18 попыток?

4. Окружность S1 с центром O1 описана вокруг остроугольного треугольника ABC. Его вневписанная окружность S2 с центром O2 касается стороны AC. Известно, что AO2 = 2AO1. Докажите, что одна из точек пересечения S1 и S2 лежит на отрезке AO2.

5. Две окружности, пересекающиеся в точке A, внешним образом касаются окружности S1 в точках B1 и C1, а прямой l – в точках B2 и C2 . Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников AB1C1 и AB2C2 , касаются друг друга.

6. Есть 1000 яблок, которые надо разложить в 10 пакетов по 100 яблок в каждом. Оказалось, что при любой такой раскладке найдутся хотя бы два пакета одинакового веса. При каком наибольшем k можно заведомо утверждать, что найдутся k яблок одинакового веса?

7. Окружность пересекает прямые BC, CA, AB в точках A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2. Пусть la — прямая, соединяющая точки пересечения прямых BB1 и CC2, BB2 и CC1; прямые lb и lc определяются аналогично. Докажите, что прямые la, lb и lc конкурентны.

8. Внутри параллелограмма ABCD отмечены точки I, J, K, L так, что LAD = IAB = A/4, IBA = JBC = B/4, JCB = KCD = C/4, KDC = LDA = D/4. Докажите, что четырёхугольник IJKL — квадрат тогда и только тогда, когда четырёхугольник ABCD — ромб.

9. Квадрат ABCD вписан в окружность S. На меньшей дуге AD выбрана точка P. Отрезки PB и PC пересекают сторону AD в точках E и F соответственно. Докажите, что AEDF = 2(SPAE+SPDF).

10. По ребрам куба проползли с одинаковыми скоростями два муравья. Каждый из муравьев побывал в каждой точке не более одного раза. Ни по какому отрезку муравьи не ползли вместе, «плечом к плечу», в одну сторону. Каково наибольшее возможное число их встреч?

9 класс, геометрическое начало

1. Пусть p(x) = 2x3–3x2+1 . Докажите, что среди чисел p(3), p(4), …, p(2007) квадратов целых чисел столько же, сколько среди чисел p(3)–1, p(4)–1, …, p(2007)–1

2. Даны четырехугольник ABCD и прямая l. Обозначим через P, Q, R точки пересечения прямых AB и CD, AC и BD, BC и AD, а через P1, Q1, R1 — середины отрезков, которые эти пары прямых высекают на прямой l. Докажите, что прямые PP1, QQ1 и RR1 пересекаются в одной точке.

3. Леша задумал двузначное число от 10 до 99. Гриша пытается его угадать, называя двузначные числа. Гриша побеждает, если одну цифру он назвал правильно, а в другой ошибся не более чем на 1. Всегда ли Гриша победит за 18 попыток?

4. Окружность S1 с центром O1 описана вокруг остроугольного треугольника ABC. Его вневписанная окружность S2 с центром O2 касается стороны AC. Известно, что AO2 = 2AO1. Докажите, что одна из точек пересечения S1 и S2 лежит на отрезке AO2.

5. Две окружности, пересекающиеся в точке A, внешним образом касаются окружности S1 в точках B1 и C1, а прямой l – в точках B2 и C2 . Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников AB1C1 и AB2C2 , касаются друг друга.

6. Есть 1000 яблок, которые надо разложить в 10 пакетов по 100 яблок в каждом. Оказалось, что при любой такой раскладке найдутся хотя бы два пакета одинакового веса. При каком наибольшем k можно заведомо утверждать, что найдутся k яблок одинакового веса?

7. Окружность пересекает прямые BC, CA, AB в точках A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2. Пусть la — прямая, соединяющая точки пересечения прямых BB1 и CC2, BB2 и CC1; прямые lb и lc определяются аналогично. Докажите, что прямые la, lb и lc конкурентны.

8. Внутри параллелограмма ABCD отмечены точки I, J, K, L так, что LAD = IAB = A/4, IBA = JBC = B/4, JCB = KCD = C/4, KDC = LDA = D/4. Докажите, что четырёхугольник IJKL — квадрат тогда и только тогда, когда четырёхугольник ABCD — ромб.

9. Квадрат ABCD вписан в окружность S. На меньшей дуге AD выбрана точка P. Отрезки PB и PC пересекают сторону AD в точках E и F соответственно. Докажите, что AEDF = 2(SPAE+SPDF).

10. По ребрам куба проползли с одинаковыми скоростями два муравья. Каждый из муравьев побывал в каждой точке не более одного раза. Ни по какому отрезку муравьи не ползли вместе, «плечом к плечу», в одну сторону. Каково наибольшее возможное число их встреч?

9 класс, инверсия + проекция на прямую

ЗДЕСЬ МОГ БЫ БЫТЬ НАБОР ФАКТОВ ПРО ИНВЕРСИЮ

И БУДЕТ! НО НЕ СРАЗУ…

11. Дана система из 25 различных отрезков с общим началом в данной точке A и с концами на прямой l, не проходящей через эту точку. Доказать, что не существует замкнутой 25-звенной ломаной, для каждого звена которой нашёлся бы отрезок системы, равный и параллельный этому звену.

12. На квадратный лист бумаги со стороной a посадили несколько клякс, площадь каждой из которых не больше 1. Оказалось, что каждая прямая, параллельная сторонам листа, пересекает не более одной кляксы. Докажите, что суммарная площадь клякс не больше a.

13. Через середину Q отрезка MN, концы которого лежат на боковых сторонах равнобедренного треугольника, проведена прямая, параллельная основанию треугольника и пересекающая боковые стороны в точках K и L. Докажите, что проекция отрезка MN на основание треугольника равна отрезку KL.

14. На прямых BC, CA, AB взяты точки A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2 так, что A1B2 параллельная AB, B1C2 параллельна BC и C1A2 параллельна CA. Пусть la — прямая, соединяющая точки пересечения прямых BB1 и CC2, BB2 и CC1; прямые lb и lc определяются аналогично. Докажите, что прямые la, lb и lc пересекаются в одной точке (или параллельны).

15. Внутри окружности радиуса n расположено 4n отрезков длиной 1. Докажите, что можно провести прямую, параллельную или перпендикулярную данной прямой l и пересекающую по крайней мере два данных отрезка.

16. В четырехугольнике ABCD острый угол между диагоналями равен $ \alpha$. Через каждую вершину проведена прямая, перпендикулярная диагонали, не содержащей эту вершину. Найдите отношение площади четырёхугольника, ограниченного этими прямыми, к площади четырёхугольника ABCD.

17. Точка C расположена на отрезке AB . По одну сторону от прямой AB на отрезках AB , AC и BC построены как на диаметрах полуокружности S , S1 и S2 . Через точку C проведена прямая CD , перпендикулярная AB (D— точка на полуокружности S). Окружность K1 касается отрезка CD и полуокружностей S и S1 , а окружность K2 — отрезка CD и полуокружностей S и S2 . Докажите, что окружности K1 и K2 равны.

18. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD являются соответственно хордами окружностей ω1 и ω2, касающихся друг друга внешним образом. Градусные меры касающихся дуг AB и CD равны α и β. Окружности ω3 и ω4 также имеют хорды AB и CD соответственно. Их дуги AB и CD, расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей, имеют градусные меры β и α. Докажите, что ω3 и ω4тоже касаются.

19. Пусть AH – высота остроугольного треугольника ABC, а точки K и L – проекции H на стороны AB и AC. Описанная окружность Ω треугольника ABC пересекает прямую KL в точках P и Q, а прямую AH – в точках A и T. Докажите, что точка H является центром окружности, вписанной в треугольник PQT.

20. Даны полуокружность с диаметром AB и центром O и прямая, пересекающая полуокружность в точках C и D , а прямую AB – в точке M . Пусть K – отличная от O точка пересечения окружностей, описанных около треугольников AOC и DOB. Докажите, что угол MKO – прямой.

21. В треугольник ABC вписана окружность ω с центром в точке I. Около треугольника AIB описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в точках X и Y. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке Z. Докажите, что окружности, описанные около треугольников ABC и XYZ, касаются.



Похожие документы:

  1. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Предмет (2)

    Рабочая программа
    ... что f(y)=x, называют обратной к функции f. Пример 1. Докажем, что ... в) б) г) 3) Найти логарифмы данных чисел: а) б) в) г) д) е) 4) ... Цель занятия ... Скалярным квадратом вектора ... Мектеп, 2007. Руденко ... 2x3+9x2 +12x-2 2 Исследуйте функцию F(x)= 2x3 -3x2 ... среди ... Пусть ...

Другие похожие документы..