Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Методические рекомендации'
Чрезвычайно большое значение имеет выбор книги. Прежде всего, надо запастись рекомендательным списком по данному вопросу. Отобрать нужные книги, а из ...полностью>>
'Документ'
Москва) - По местонахождению организации - По адресу доставки журнала - По иному адресу Адрес доставки бухгалтерских документов Индекс Адрес Наименова...полностью>>
'Документ'
Указания: Все задания имеют 4 варианта ответа, из которых правильный только один. Номер выбранного Вами ответа обведите кружочком в бланке для ответов...полностью>>
'Документ'
ТЕОРИЯ ПРИВЯЗАННОСТИ: КОНЦЕПЦИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТЕ. О. СМИРНОВАРабота выполнена при поддержке Международного научного фонда.Теория привязанностей является...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Экстремум функции нескольких переменных.

Введение.

Максимум и минимум функции любого числа переменных в дан­ной области значений этих переменных определяются в точности так же, как в одномерном случае. И здесь приобретает основное значение понятие точки локального экстремума: так мы называем внутреннюю точку данной области, в которой значение функции не меньше (или не больше), чем в любой другой точке, достаточно близкой к данной. Как и в одномерном случае, экстре­мум функции в данной области может наступить либо на границе области, либо в некоторой внутренней точке, которая в этом случае обязательно будет и точкой локального экстремума. Разумеется, в многомерном случае дело осложняется тем, что даже для про­стейших областей в конкуренцию вступают все точки границы — в бесконечном числе (в одномерном случае граница отрезка состояла всего из двух точек); приходится поэтому находить наибольшее или наименьшее значение функции на контуре данной области, т. е. решать дополнительную экстремальную задачу. Правда, в реальных задачах очень часто те или другие предметные соображения позво­ляют заранее считать известным, что функция принимает, например, свое наибольшее значение внутри (а не на границе) области, и тем самым существенным образом упрощают решение задачи. Как бы то ни было, задачей дифференциального исчисления и здесь остается разыскание точек локального экстремума.

1. Экстремум функции нескольких переменных.

Необходимое условие.

а) Экстремум функции нескольких переменных.

Обобщим понятия максимума и минимума на случай функции нескольких переменных.

Понятия максимума и минимума для функции нескольких переменных вводятся так же, как и для функции одной переменной.

Пусть в некоторой области Д задана непрерывная функция

Определение. Функция имеет в точке максимум (минимум), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство

Точка , в которой функция имеет максимум или минимум, называются экстремальными точками, а значения функции в этих точках – экстремумами (или экстремальными значениями).

В точке максимума (минимума) функция достигает наибольшего (наименьшего) значения только по отношению к соседним точкам, т.е. точкам лежащим в некоторой окрестности точки максимума (минимума).

Точки максимума и минимума не следует смешивать с точками, в которых функция достигает наибольшего и наименьшего значения в области.


Из определения следует, что если функция имеет экстремум в точке окрестности , то полное приращение

этой функции в точке удовлетворяет в некоторой окрестности точки одному из следующих условий

в случае максимума

в случае минимума,

т.е. в точках окрестности экстремума не меняет знак.

Если в некоторой окрестности точки выполняется одно из этих неравенств, то функция имеет экстремум в точке .

Эти условия положения переносятся на функции любого числа переменных.

Так же, как и в случае функции одной переменной, возникает вопрос об условиях экстремума.

б) Необходимое условие экстремума.

Теорема. Если дифференцируемая функция имеет в точке экстремум, то в этой точке обе частные производные первого порядка равны нулю, т.е.

,

Доказательство: Докажем, например, равенство нулю частной производной . Рассмотрим в окрестности точки только те точки, в которых .

Частная производная функции по х в точке есть производная функции , которая имеет экстремум.

Следовательно, . Так как , то .

Аналогично можно показать, что . Необходимые условия определения экстремума переносятся на случай функций нескольких переменных.

Эти условия имеют простой геометрический смысл. Они означают, что в точках экстремума касательная плоскость к графику функции параллельна плоскости ХОУ, т.к. в этом случае уравнение касательной плоскости имеет вид .

Замечание. В точках экстремума хотя бы одна из частных производных может не существовать.

Точки, в которых первые частные производные и функции обращаются в ноль или не существуют, называются критическими точками этой функции.

Из изложенного следует, что точки экстремума функции надо искать в её критических точках.

2. Достаточные условия экстремума.

Существуют критические точки, не являющиеся точками экстремума. Ответ на вопрос, имеет ли функция в критической точке экстремум, дают достаточные условия экстремума.

Пусть для функции точка является критической точкой. Обозначим: , , , и через .

Теорема 5. Если в критической точке выполняется неравенство , то в этой точке функция имеет экстремум; при этом, если , то в точке функция имеет минимум, если , то максимум.

Если , то в этой точке функция экстремума не имеет.

Если , то для выяснения вопроса о существовании экстремума в критической точке необходимы дополнительные исследования (без доказательства).



Похожие документы:

  1. Лекция 21 Частные производные высших порядков Экстремум функции нескольких переменных Производная по направлению Градиент П 1 Понятие о частных производных высших порядков

    Документ
    ... нее стоящего в скобках выражения. П.2.Экстремум функции нескольких переменных Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в ... уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным ...
  2. Основная образовательная программа высшего профессионального образования подготовки специалиста 050201. 65 (1)

    Основная образовательная программа
    ... второго порядка и гессиан функции нескольких переменных. Экстремумы функций нескольких переменных: необходимое условие экстремума, достаточные условия экстремума, условные экстремумы. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Точки минимума ...
  3. Основная образовательная программа высшего профессионального образования подготовки специалиста 050201. 65 (2)

    Основная образовательная программа
    ... и дифференциалы высших порядков, неявные функции. Экстремумы функций нескольких переменных: необходимое условие экстремума, достаточные условия экстремума, условные экстремумы. Двойные и тройные интегралы, их ...
  4. Программа аттестационных испытаний Математический факультет

    Программа
    ... значений функций нескольких переменных с помощью формулы Тейлора. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума функции нескольких переменных. Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных. Условный экстремум ...
  5. Правила дифференцирования и интегрирования; схему исследования функции одной переменной для построения её графика; основные теоремы дифференциального исчисления

    Документ
    ... условия существования экстремума Монотонность и выпуклость функций Асимптоты функций Правило Лопиталя Построение графиков функций Функции нескольких переменных Производные и дифференциалы функций нескольких переменных ...
  6. Программа дисциплины Высшая математика для направления 080200. 62 «Менеджмент» подготовки бакалавра логиста специализация «Логистика и управление цепями поставок»

    Программа дисциплины
    ... высшего порядка. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Тема 3.2. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Квадратичная форма и ее матрица ...

Другие похожие документы..