Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Насадок NCD 180 град. MX1 30 Rp 1/ ″ латунь MiniMax шт. 1 Сигнализатор давления универсальный шт. 1 Средство защиты дыхания изолирующее ИП-4М шт....полностью>>
'Документ'
'Документ'
Организационно-методическая перестройка физкультурного движения в России с 1917-1945 гг. о. Развитие массовых форм физической культуры и спорта в стра...полностью>>
'Учебник'
Филология Русский язык Русский язык Аксенова А.К. М, «Просвещение», 00 Литературное чтение Чтение Воронкова В....полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Министерство высшего и среднего специального

образования Республики Узбекистан

Ташкентский государственный технический

университет им. Абу Райхана Беруни

Р.Р. Абзалимов, Г. Абдурахманов

Теория вероятностей

в задачах и упражнениях.

Учебное пособие

Ташкент-2009

Теория вероятностей в задачах и упражнениях. Учебное пособие./ Р.Р. Абзалимов, Г.Абдурахманов. Ташкент:

Таш. ГТУ, 2009.

Данное пособие предназначено для выполнения самостоятельных работ по теории вероятностей. В них даны теоретические сведения материала и приведены примеры решения задач. Пособие рассчитано для студентов – бакалавров высших технических учебных заведений.

Печатается по решению научно-методического совета Ташкентского государственного технического университета имени Абу Райхана Беруни.

Рецензенты: доцент А. Джамирзаев.

(НУ Уз.);

доцент И. Исканаджиев

(Таш. ГТУ)

© Ташкентский государственный технический университет, 2009

ГЛАВА-1

Теоретические вопросы.

1. Соотношения между случайными событиями

Случайные события обозначаются латинскими буквами А, В, С, ..., U, V, причем U — достоверное, а Vневозможное событие. Равенство А=В означает, что появление из этих событий влечет за собой появление другого. Произведение событий А и В есть событие С=АВ, состоящее в наступлении обоих событий А и В. Сумма событий А и В есть событие С=А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В. Разность событий А и В есть событие С = А В, состоящее в том, что А происходит, а В не происходит. Противоположное событие обозначается той же буквой, но с чертой сверху. Например, А и —противоположные события, причем означает, что А не происходит. События А и В несовместны, если AB=V. Событие Ak (k=1, 2, ..., п) образует полную группу, в результате опыта обязательно должно произойти хотя бы одно из них; при этом .

2. Непосредственный подсчет вероятностей

Если результат опыта можно представить в виде полной группы событий, которые попарно несовместные и равновозможные, то вероятность события равна отношению числа m, благоприятствующих этому событию исходов опыта к общему числу n всех возможных исходов, т. е. . Под равновозможными понимаются события, которые в силу тех или других причин (например, симметрии) не имеют объективного преимущества одно перед другим.

3. Геометрические вероятности

Геометрическое определение вероятности может быть использовано в том случае, когда вероятность попадания случайной точки в любую часть области пропорциональна мере этой части области (длине, площади, объему и т. д.) и не зависит от ее расположения и формы.

Если геометрическая мера всей области равна S, а геометрическая мера части этой области, попадание в которую благоприятствует данному событию, есть SБ, то вероятность события равна . Области могут иметь любое число измерений.

4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Условной вероятностью события А называется вероятность появления этого события, вычисленная в предположении, что имело место событие В и :

.

События А и В независимы, если Вероятность произведения двух событий определяется по формуле

которая обобщается на произведение n событий:

События А1, А2, ..., Ап независимы в совокупности, если для любого т(т = 2, 3, ..., n) и любых

kj(j=1, 2, ..., п), 1 ≤ k1 < < k2 < … < kmn,

5. Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух событий определяется по формуле

Р + В) = Р (А) + Р (В) — Р (АВ),

которая обобщается на сумму любого числа событий

Для несовместных событий вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

6. Формула полной вероятности

Вероятность Р (А) появления события А, которое может произойти только совместно с одним из событий Н1, Н2,...,Нп, образующих полную группу, несовместных событий (гипотез), определяется формулой полной вероятности

где

7. Вычисление вероятностей гипотез после испытания (формула Байеса)

Вероятность гипотезы Нk после того, как имело место событие А, определяется формулой

где

а гипотезы Hj (j=1, 2…, n) составляют полную группу несовместных событий.

8. Вычисление вероятностей появления события при повторных независимых испытаниях

Вероятность Рп;m появления события m раз при п независимых опытах, в каждом из которых вероятность появления события равна р, определяется формулой биномиального распределения

где q=1 р.

Вероятность появления события не менее m раз при п опытах вычисляется по формуле

или

Вероятность появления события хотя бы один раз при п опытах будет

Количество п опытов, которые нужно произвести для того, чтобы с вероятностью не меньше Р можно было утверждать, что данное событие произойдет по крайней мере один раз, находится по формуле

где р — вероятность появления этого события в каждом опыте.

Наивероятнейшее значение μ числа m появлений события равно целой части числа {п+1)р, а при целом (п+1наибольшее значение вероятности достигается при двух числах

μ 1 = (п+1— 1 и μ 2 = (n+1)р.

Если опыты независимы, но вероятности появления события различны, то вероятность Рn;m появления события m раз при п опытах равна коэффициенту при ит в разложении производящей функции

где qk = 1—рk , рk — вероятность появления события в k-м опыте.

Коэффициенты Рп:т могут быть определены дифференцированием функции G(u):

что дает, например,

Pn;0 = q1q2qn.



Похожие документы:

  1. Учебно-методический комплекс по акушерству и гинекологии. Для студентов 6-го курса лечебного и медико-педагогического факультетов

    Учебно-методический комплекс
    ... задачи учебной ... вероятные ... Акушерство» Учебное пособие под редакцией ... Ташкент. 1991 г. «Гестоз» Каримова Д.Ф. Ташкент ... невынашивания беременности 2009 й. 12. ... 10 физические упражнения *1,2,3,4,5 ... теория предполагает всевозможное сочетание различных теорий ...
  2. Проект основной образовательной программы мкоу бутурлиновская сош №1 Бутурлиновского муниципального района Воронежской области на 2012-2017гг

    Основная образовательная программа
    ... Задача о шахматной доске. Истоки теории вероятностей: ... -ориентированные упражнения. Упражнения общеразвивающей ... учебно-методическое пособие для вузов / под ред. М. С. Астоянц. - Ростов-на-Дону, 2009 ... . Преступность. Ответственность. Ташкент, 1989. 6.Димов ...
  3. Электронное учебное пособие Пальтов А. Е. Владимир 2014

    Документ
    ... учебное пособие Пальтов А.Е. Владимир 2014 Электронное учебное пособие ... упражнениями, выработкой эстетического вкуса, воспитанием высоких нравственных качеств. Главной идеей в теории ... задачи ... вероятно ... Ташкента, он оказывал помощь и в организации учебного ...
  4. Учебно-методическое пособие Тверь, 2013 удк 37. 036: 791. 43 Ббк ч420. 054. 47

    Учебно-методическое пособие
    ... учебных пособий и программ, касающихся различных разделов истории, теории ... «Возвращения», вероятно, спровоцировал интерес ... Солдаткина 2009: 44 ... педагогом различных упражнений и заданий ... в обществе. Задачи: 1) воспитание ... медиаобразованию в Ташкенте (1990) ...
  5. Пособие г. Георгиевск 2011г Составитель

    Методическая разработка
    ... МЕТОДИК Пособие г. Георгиевск ... комплекс упражнений-тестов, ... трудовых, учебных, спортивных) ... с задачами профориентации ... вопросами теории музыкального ... вероятности ... Московский рабочий". 2009. Стр. 9- ... Клиническая патопсихология. - Ташкент: Медицина, 2006г. ...

Другие похожие документы..