Урок по алгебре и началам анализа. Тема: «Логарифмы. Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений и неравенств»

Обобщающий урок по алгебре и началам анализа.

Тема: «Логарифмы. Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений и неравенств»

Тип урока: Урок применения знаний, умений, навыков в новой ситуации (Урок систематизации и обобщения изученного материала)

Цель урока:

Развивающие:

• Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков; применение их в новых условиях; создание проблемной ситуации; учить самостоятельно добывать знания;

• Актуализация опорных знаний совместного решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств, решение логарифмических уравнений и неравенств содержащие модуль;

• Контроль и самоконтроль знаний, умений и навыков с помощью тестов;

• Развитие умений сравнивать, обобщать, правильно излагать мысли;

• Развитие логического мышления и интуиции при решении задач и умение работать в проблемной ситуации.

Воспитательные:

• Воспитывать интерес к предмету, коллективизм, аккуратность, дисциплинированность, чувства собственного достоинства.

Оборудование:

1. Таблица со свойствами логарифмов.

2. Карточки-задачи ЕГЭ.

3. Тесты с бланками ответов.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Французский писатель Анатоль Франц (1844-1924 гг.) заметил:

«Что учиться можно только весело…..

Чтобы переваривать знания,

надо поглощать их с аппетитом»

Последуем совету писателя – будем на уроке активны, внимательны, будем «поглощать» знания с большим желанием, ведь они скоро вам понадобятся при сдаче ЕГЭ.

Перед вами стоит задача – повторить свойство логарифмов, логарифмические функции, типы, методы и особенности решения логарифмических уравнений и неравенств.

2. Устный опрос.

Проводится в форме фронтальной работы с классом. Задания устного опроса можно разделить на две части: в первой части проверяются теоретические знания, а во второй части – умение применять эти знания на практике: при решении уравнений, неравенств и выполнении различных заданий. Ученики комментируют свой ответ.

1. Какие ассоциации можно составить с понятием логарифма? (определение логарифма, свойства логарифма, логарифмическая функция, логарифмические уравнения и неравенства, производная и первообразная)

Ученики отвечают и разбирают каждую ассоциацию.

2. Внимание! Проверь и обоснуй свой ответ:

а) 15 ^log10 = (Верно, по основному тождеству логарифмов)

б) log₃ 7 + log₃ 2 = 2 (неверно, использовано свойство log_а х + log_а у = log_а ху при а>0, a 1)

в) log x < 0, x>0 (это утверждение верно, только для x>1, а для 0

Привести примеры

г) «Докажем», что 11>12:

¹¹ > ¹² lg ¹¹ > lg ¹² 11 lg>12 lg , значит 11>12. Найдите ошибку.

д) (ln (7 – 3x))^1= (верно, так как применяется правило производной сложной функции)

е) (log₉ (5x + 2))¹ = _{(неверно, так как нужно перейти к логарифму по основанию е)}

3. _{Самостоятельная работа (с последующей самопроверкой)}

_{Каждому ученику раздается лист с заданием и пустой бланк ответов КИМ. Самостоятельная работа проводится в виде теста. Тест составлен в двух вариантах из 6 заданий – это для учащихся I и II группы (сильных и средних способностей) для учащихся III группы – В3 – тест состоит из 4 заданий. Решение записывают учащиеся в тетради, а бланк ответов сдают.}

ВАРИАНТ I

А₁ Значение выражения 9 log₂16 + 3 ^log₁₅ 11*5 ^log₁₅11 равно

1) 35; 2) 21; 3) 47; 4) 11

А₂ Найдите множество значений функции

y = 5 – log (x² + 25)

1) [30; +); 2) (- ;+); 3) [7; +); 4) (- ; 7]

A₃ Найдите область определения функции:

f(x)= log (x² – 64)

1) (- ;- 8 ) (8; +); 2) (-8; 8)

3) [-8; 8] 4) [8; +)

А₄ Найдите сумму целых решений неравенства

log₃ (7x – 6) 2, принадлежащих отрезку [-8; 6]

1) 24; 2) – 2; 3) 14; 4) 18.

A₅ Корень уравнения lgx = lg 36 + 1 – lg 6 принадлежит промежутку:

1) (25; 45) 2) (50; 75) 3) (78; 100) 4) (120; 150)

А₆ Найти производную функции y = lg (x³ – 3x + 11) + e^5x

1) ; 2)

3) 4)

ВАРИАНТ II

А₁ Значение выражения log₂ 0,032 + 3 log₂ 5 равно

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4

А₂ Найдите множество значений функции

y= 8 – log (x² + 27)

1) [8; +); 2) (- ;8]; 3) (- ; 11]; 4) [11; +);

A₃ Найдите область определения функции:

f(x)= log (x – 3) log(x + 4)

1) (-4; +) 3) [-4; 3];

2) (3; +) 4) [3; +)

А₄ Количество целых решений неравенства

log (log₃ (x – 1) > 0, есть …

1) 2; 2) 0; 3) 3 4) 5.

A₅ Корень уравнения lgx = 2 + lg3 – lg5 принадлежит промежутку:

1) (10; 25); 2) (30; 45); 3) (50; 70); 4) (100; 150)

А₆ Найти производную функции y = log₁₃ (4x – x⁵) + ln 3x

1) ; 3)

2) ; 4)

_{Проверку самостоятельной работы провести по коду правильных ответов, представленных учителем.}

_{Учащиеся проверяют друг у друга правильность выполнения заданий и выставляют оценки.}

_{Критерии оценок}

_{«5» - 6 правильно выполненных заданий;}

_{«4» - 4-5 правильно выполненных заданий;}

_{«3» - 3 правильно выполненных заданий;}

_{«2» - менее трех правильно выполненных заданий}

_{Код ответов}

4. _{Работа по углублению знаний учащихся (подготовка к ЕГЭ). Нестандартные методы решения заданий (метод логического рассуждения, метод оценки, метод интервалов – граничных точек, метод обратной связи).}

- Для отдыха учащихся разобрать два задания с помощью логического рассуждения учащихся.

1. На рынке продаются два арбуза разных размеров: один арбуз в обхвате на четверть больше другого, зато в полтора раза дороже. Какой арбуз выгоднее купить?

2. АВСДА₁В₁С₁Д₁ – куб с ребром 2 см. паук находится в центре грани АВВ₁А₁. Какую наименьшую длину может иметь путь паука по поверхности куба в вершину С?

Письменно (в тетрадях и у доски)

1) Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения:

log₄ (x² – 7x + 49) = log₂ (2x – 7)

Решение: ОДЗ : х >3,5

Преобразим левую часть уравнения, воспользовавшись формулой log_ab = получим

log₂ (x² – 7x + 49) = log₂ (2x – 7)²,

x² – 7x + 49 = 4x² – 28x + 49,

3x² – 21x = 0,

3x (x – 7) = 0

x = 0 или x = 7

так как ОДЗ x> 3,5 , то х=0 не является корнем.

Ответ: 7

2) Найдите наименьшее значение функции y = lg (x² + 5x + 7,25) + 2 на отрезке [-3; 0]

Решение:

Функция, непрерывная на отрезке, принимает наименьшее значение в критических точках принадлежащих данному отрезку или на концах этого отрезка.

Вычислим производную данной функции

у¹ = (lg (x² + 5x + 7,25) + 2)¹ =

Найдем критические точки, решив уравнение у¹ = 0

2х +5 = 0

х = - 2,5

- 2,5 [-3; 0]

Вычисляя значения функции в критической точке и на концах данного отрезка, получим

y(-3) = lg (9 – 15 + 7,25) + 2 = 2 + lg1,25

y(0) = 2 + lg7,25 , y(-2,5) = lg (6,25 – 12,5 + 7,25) + 2 = 2 следовательно, наименьшее значение функции y = lg (x²m + 5x + 7,25) + 2 на отрезке [-3; 0] равно 2

Ответ: 2

3. Решите уравнение log(2x – 5) =

В ответе записать корень уравнения или сумму корней, если их несколько.

Решение:

Корни уравнения принадлежат промежутку (3; + ) , на котором определены обе функции уравнения.

Функция у = log(2x – 5), стоящая в левой части уравнения, монотонно убывает на промежутке (3; + ), так как основание логарифма 0< < 1.

Функция у = , стоящая в правой части уравнения, монотонно возрастает на промежутке [3; + ). Поэтому уравнение не может иметь более одного корня. Заметим, что х = 3 является корнем данного уравнения. (Корень надо угадать)

Ответ: 3

4. Указать сумму целых решений неравенства lg < 1

Решение:

ОДЗ: x 2,5

Так как 1 = lg10, то lg < lg10, y = lgt – возраст.

Следовательно < 10,

-10 < 2x – 5 < 10,

-5 < 2x< 15,

-2,5 < x< 7,5 Целые решения -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Сумма целых решений равна 22.

Ответ: 22

5. Подведение итога урока.

1. Решите неравенство log_0,5 (2 – 0,5x) - 1

Варианты ответов: 1) [0;4) 2) (-; 0) 3) (4; + ) 4) (4; 6]

Ответы 1) и 2) отличаются от 3) и 4), например, значение х = 5. При этом значении аргумент логарифма 2 – 0,5х = - 0,5 , -0,5<0 и логарифм не определен. Поэтому ответы 3) и 4) сразу отпадают.

Ответы 1) и 2) отличаются значением х = 2. При х = 2 найдем значение log_0,5 (2 – 0,5 * 2) = log_0,5 1 = 0, 0 - 1 (верное неравенство)

Номер верного ответа 1).

2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

log₂ (x + 1) = log₂ (3x)

Варианты ответов: 1) (-; -1); 2) (-1; 0); 3) [-1;0] 4) (0; + ).

Функция логарифм определена только для положительного аргумента. Поэтому выражение 3х>0, откуда x>0. Этому условию удовлетворяет только промежуток 4).

Номер верного ответа 4).

6. Задание на дом.

   1. Решить уравнение log₄ (x + 12) log_x2 = 1

   2. Найдите наименьшее значение функции у = 7е^3+2х – 10,4 на отрезке [0; 1,5]

   3. Найдите сумму длин промежутков, являющегося решением неравенства log _2x (x² – 5x + 6) < 1

1. Учебно-воспитательный комплекс «гимназия-школа» №1 Урок «Компетентно ориентированный урок по алгебре и началам анализа в 10 классе в школах с профильным обучением математике» по теме «Логарифмическая функция.

   Урок
   ... Урок «Компетентно ориентированный урок по алгебре и началам анализа в 10 классе в школах с профильным обучением математике» по теме «Логарифмическая функция. Свойства логарифмов. Решение логарифмических уравнений ... изменить знак неравенства, получим ...

2. Программа по алгебре и началам анализа для 11 класса составлена на основе примерной программы среднего (полного) общего образования по математике (базовый уровень).

   Программа
   ... решением дифференциального уравнения С-26 71 Контрольная работа №6 по теме «Производная показательной и логарифмической функции» 1 Обобщение и повторение курса алгебры ...

3. Рабочая программа по алгебре и началам анализа на 2013-2014

   Рабочая программа
   ... планирование по алгебре и началам анализа на 2012-2013 учебный год. № п/п Название тем Содержание уроков Дата по плану ...

4. Примерная учебная программа по алгебре и началам анализа для 10 -11 классов (профильный уровень) Пояснительная записка

   Программа
   ... по алгебре и началам анализа ... функции. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств и графиков показательных функций. §2. 4 4 150-153 186-189 Логарифмическая функция. Свойства и график логарифмической функции. Решение уравнений и неравенств ...

5. Рабочая программа учителя математики Гайдуковой Н. И. по алгебре и началам анализа на 2014-2015 учебный год

   Рабочая программа
   ... решения логарифмических неравенств 1 67. Практикум по решению логарифмических неравенств. Самостоятельная работа. 1 68. Обобщающий урок по теме: «Логарифмические уравнения и неравенства». 1 69. Контрольная работа №6 по теме «Логарифмическая функция ...

Другие похожие документы..