Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Пояснительная записка'
Учебный план на 2012-2013 учебный год разработан на основе базисного учебного плана, утвержденного приказом комитета образования, науки и молодежной п...полностью>>
'Документ'
П4 3900 М300 БСТ В ,5 W F100 П3,П4 4150 Бетоны на гранитном/гравийном щебне М 50 БСТ В 0 W4 F150 П3,П4 5 /4500 М300 БСТ В ,5 W F150 П3,П4 5150/4 50 М3...полностью>>
'Конкурс'
Конкурс проводится 25.10.2013 года среди учащихся общеобразовательных школ по трем группам: 1-4класс, 5-7 класс ,8-11 класс. Открытая группа (вне конк...полностью>>
'Заседание'
- описание организации и содержания промежуточной аттестации в рамках урочной и внеурочной деятельности, адаптация и разработка модели и инструментари...полностью>>

Главная > Решение

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

© К. Поляков, 2009-2010

B7 (повышенный уровень, время – 8 мин)

Тема: Решение логических задач методом рассуждений.

Построение и преобразование логических выражений.

Что нужно знать:

  • таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ» (см. презентацию «Логика»)

  • логическое произведение A∙B∙C∙… равно 1 (выражение истинно) только тогда, когда все сомножители равны 1 (а в остальных случаях равно 0)

  • логическая сумма A+B+C+… равна 0 (выражение ложно) только тогда, когда все слагаемые равны 0 (а в остальных случаях равна 1)

  • правила преобразования логических выражений (слайд из презентации «Логика»):

Пример задания:

Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает, что никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию. Он вызвал всех троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: «Я всегда прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша». Саша сказал: «Это был мой первый прогул этого предмета». Миша сказал: «Все, что говорит Коля, – правда». Директор понял, кто из них кто. Расположите первые буквы имен мальчиков в порядке: «говорит всегда правду», «всегда лжет», «говорит правду через раз». (Пример: если бы имена мальчиков были Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть: РТВ)

Решение (вариант 1, метод рассуждений):

  1. во-первых, есть «точная» информация, которая не подвергается сомнению:

(*) все трое прогуляли урок астрономии в первый раз

  1. запишем высказывания мальчиков:

Коля: 1. Я всегда прогуливаю астрономию.

2. Саша врет.

Саша: 1. Я в первый раз прогулял астрономию.

Миша: 1. Коля говорит правду.

  1. известно, что один из них все время лжет, второй ­– говорит правду, а третий говорит правду через раз (то есть, из двух его высказываний одно истинно, а второе – ложно; если у нас есть только одно высказывание «полу-лжеца», оно может быть как истинным, так и ложным)

  2. сопоставив первое высказывание Коли и высказывание Саши с «точной» информацией (*), сразу определяем, то тут Коля соврал, а Саша сказал правду; это значит, что второе высказывание Коли – тоже неверно, поэтому мальчик Коля всегда лжет

  3. тогда один из оставшихся, Саша или Миша, говорит правду всегда, а второй – через раз

  4. Мишино высказывание неверно, поскольку мы уже определили, что Коля лжет; это значит, что Миша не всегда говорит правду, он – «полу-лжец»

  5. тогда получается, что Саша всегда правдив, и действительно, его высказывание верно

  6. таким образом, верный ответ – СКМ (Саша – правдив, Коля – лжец, Миша – «полу-лжец» ).

Возможные проблемы:

    • длинное запутанное условие, из которого нужно выделить действительно существенную информацию и формализовать ее

    • легко по невнимательности перепутать порядок букв в ответе (здесь сначала правдивый, потом – лжец, потом – «полу-лжец»)

Еще пример задания:

Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет. Встретив однажды всех троих в коридоре, директор решил поговорить с мальчиками. Коля сказал: «Саша всегда лжет». Саша сказал: «Коля прав». Директору стало все понятно. Расположите первые буквы имен мальчиков в порядке: «говорит всегда правду», «всегда лжет», «говорит правду через раз». Например: если бы имена мальчиков были Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть: РТВ.

Решение (вариант 1, метод рассуждений):

  1. в отличие от предыдущей задачи, здесь нет точной информации

  2. у нас всего два высказывания мальчиков:

Коля: Саша всегда лжет

Саша: Коля прав

  1. в отличие от предыдущей задачи, второе высказывание связано с первым: Сашино утверждение относится к данному конкретному высказыванию Коли, а не к честности Коли вообще

  2. в такой ситуации нужно предположить, что истинно одно из высказываний и проверить, не приводит ли это к противоречию

  3. предположим, что Коля сказал правду; тогда получается, что Саша (который всегда лжет) солгал и на этот раз; однако если Саша солгал, то получается, что Коля сказал неправду, то есть, мы пришли к противоречию, и Коля в самом деле солгал

  4. если Коля солгал, то получается, что Саша тоже солгал, то есть, оба мальчика сказали неправду; отсюда следует, что один из них – лжец, а второй «полу-лжец», тогда как Миша (ничего не сказавший) говорит всегда правду

  5. остается определить, кто из двоих (Коля или Саша) лжец, а кто – «полу-лжец»

  6. с первого взгляда кажется, что это невозможно сделать, но ложные утверждения двух мальчиков разные: Коля говорит (неправду) о том, что Саша всегда лжет, а Саша говорит только о последнем (предыдущем) утверждении Коли; на этой разнице и основано решение

  7. мы уже выяснили, что Коля солгал, то есть Саша не всегда лжет, он – «полу-лжец»; тогда сразу получается, что Коля – лжец

  8. таким образом, верный ответ – МКС (Миша – правдив, Коля – лжец, Саша – «полу-лжец»).

Возможные проблемы:

    • в этой задаче нет точной информации, поэтому приходится предполагать истинность того или другого высказывания и проверять, не противоречат ли этому предположению остальные утверждения

    • если мы выяснили, что высказывание «Саша всегда лжет» ложно, это не означает, что Саша всегда говорит правду; Саша не всегда лжет, то есть, он может быть и правдивым, и «полу-лжецом»

    • легко по невнимательности перепутать порядок букв в ответе (здесь сначала правдивый, потом – лжец, потом – «полу-лжец»)

Еще пример задания:

Перед началом Турнира Четырех болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров:

А) Макс победит, Билл – второй;

В) Билл – третий, Ник – первый;

С) Макс – последний, а первый – Джон.

Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл, Макс? (В ответе перечислите подряд без пробелов места участников в указанном порядке имен.)

Решение (вариант 1, табличный метод):

  1. запишем высказывания трех болельщиков в форме таблицы (заголовок строки обозначает место в турнирной таблице):

    A

    B

    C

    1

    Макс

    Ник

    Джон

    2

    Билл

    3

    Билл

    4

    Макс

  2. считая, что два человека не могут оказаться на одном месте, начнем «раскручивать» эту таблицу с той строчки, где больше всего информации (в данном случае – с первой)

  3. предположим, что Макс действительно занял первое место, как и сказал «A»; в этом случае

  • «C» ошибся, поставив на первое место Джона;

  • учитывая, что каждый один раз угадал, а второй ошибся, получается, что «C» угадал, что Макс будет на четвертом месте;

  • но мы предположили, что Макс – на первом месте (а не на четвертом), следовательно, получили противоречие; это значит, что Макс все-таки не на первом месте

  • таким образом, в первом прогнозе «А» ошибся, это значит, что во втором он угадал, и Билл действительно занял второе место:

    A

    B

    C

    1

    Макс

    Ник

    Джон

    2

    Билл

    3

    Билл

    4

    Макс

  • так как Билл – второй, он не может быть на третьем месте, поэтому из прогноза «Б» следует, что Ник – первый:

    A

    B

    C

    1

    Макс

    Ник

    Джон

    2

    Билл

    3

    Билл

    4

    Макс

  • если Ник на первом месте, там не может быть Джон, поэтому из ответов «С» (среди которых должен быть один верный, и один неверный), сразу находим, что Макс занял четвертое место:

A

B

C

1

Макс

Ник

Джон

2

Билл

3

Билл

4

Макс

  1. осталось только определиться с Джоном – ему досталось единственное «свободное» третье место; окончательный список победителей:

1. Ник 2. Билл 3. Джон 4. Макс

  1. места победителей в порядке их перечисления в тексте вопроса: Джон – 3 , Ник – 1,
    Билл – 2, Макс - 4

  2. таким образом, правильный ответ 3124.

Возможные ловушки и проблемы:

    • из-за невнимательности есть риск записать места не в том порядке

    • из-за невнимательности можно записать не места (как сказано в этом задании), а первые буквы имен (здесь это будет неверный ответ, а в каких-то задачах – наоборот, верный); так что читайте внимательно условие

Решение (вариант 2, преобразование логических выражений):

  1. применим к этой задаче формальный аппарат математической логики

  2. каждый из трех болельщиков высказал два утверждения, всего получилось 6; обозначим их так:

A: М1 = «Макс – первый», Б2 = «Билл – второй»

B: Н1 = «Ник – первый», Б3 = «Билл – третий»

C: Д1 = «Джон – первый», М4 = «Макс – четвертый»

  1. теперь как-то нужно записать, что у каждого одно высказывание верно, а второе неверно; скажем, для «A» это равносильно двум следующим условиям, которые должны выполняться одновременно:

A: М1 + Б2 = 1, (по крайней мере одно из двух условий истинно)

М1 · Б2 = 0 (по крайней мере одно из двух условий ложно)

аналогично для остальных болельщиков1

B: Н1 + Б3 = 1, Н1 · Б3 = 0

С: Д1 + М4 = 1, Д1 · М4 = 0

  1. перемножим первые условия из каждой пары; поскольку все эти суммы равны 1, получаем

(М1 + Б2) · (Н1 + Б3) · (Д1 + М4) = 1

  1. раскроем произведение первых двух скобок

(М1 · Н1 + М1 · Б3 + Б2 · Н1 + Б2 · Б3) · (Д1 + М4) = 1

  1. попробуем упростить «большую» скобку»; во-первых, два человека (Макс и Ник) не могут одновременно находиться на первом месте, поэтому М1 · Н1 = 0

  2. во-вторых, один человек (Билл) не может одновременно находиться и на втором, и на третьем месте, поэтому Б2 · Б3 = 0, так что

(М1 · Б3 + Б2 · Н1) · (Д1 + М4) = 1

  1. снова перемножим скобки и получим

М1 · Б3 · Д1 + М1 · Б3 · М4 + Б2 · Н1 · Д1 + Б2 · Н1 · М4 = 1

  1. так же, как и в п. 6-7, находим, что М1 · Д1 = 0, М1 · М4 = 0 и Н1 · Д1 = 0, так что



Похожие документы:

  1. Тема : Решение логических задач методом рассуждений (2)

    Решение
    ... уровень, время – 10 мин) Тема: Решение логических задач методом рассуждений. Построение и преобразование логических выражений. Типы заданий: ИИ ... , ЛЛ, ЛИ Задача Эйнштейна - (упрощенный вариант ...
  2. Тема Решение логических задач

    Урок
    ... Тема Решение логических задач Цель урока: познакомить учащихся с методами решения различных логических задач. Задачи: образовательные: – формирования умений и навыков решения логических задач средствами ...
  3. Урок математики по теме "Решение логических задач"

    Урок
    Урок математики по теме "Решение логических задач"  Невзорова Людмила Алексеевна ... – 9 = 0. IV. Решение логических задач. На доске записаны методы решения задач. Методы: Метод таблиц. Метод рассуждений. Метод граф. Метод кругов Эйлера. Комбинированный ...
  4. Конспект открытого урока по теме: "Решение логических задач средствами алгебры логики"

    Урок
    ... теме: "Решение логических задач средствами алгебры логики" Цель урока: познакомить учащихся с методом решения логических задач средствами алгебры логики. Задачи ... Нам известны три способа решения логических задач: с помощью рассуждений; с помощью таблиц ...
  5. Решение логических задач (1)

    Решение
    ... логического рассуждения для решения подобных задач. Учитель: сформулируйте тему и цель урока. Предполагаемые ответы учащихся: Тема: решение логических задач ... или ложность составных высказываний алгебраическими методами. Простые высказывания в алгебре ...

Другие похожие документы..