Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Проект, выполняемый конструктором в процессе разработки электромеханических машин и механизмов, представляет собой совокупность документов: графически...полностью>>
'Руководство пользователя'
Сверить подпись на квитанции с подписью на карте (при несовпадении подписей на квитанции и на карте кассир обязан удостовериться по предъявленным доку...полностью>>
'Документ'
Перед разработчиками стояла задача создать эффективный натуральный биологически-активный комплекс, позволяющий успешно бороться с усталостью и существ...полностью>>
'Документ'
Рангайян Р. М. Анализ биомедицинских сигналов. Практический подход = Biomedical signal analysis. A Case-Study Approach: [учебное пособие для студентов...полностью>>

Главная > Урок

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

В.Е. ФИРСТОВ

ПРИНЦИП НАГЛЯДНОСТИ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ: АРХИМЕДОВА КОНЦЕПЦИЯ БАРИЦЕНТРА: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ, РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ

Введение. В свое время В.Г.Болтянский [1], пытаясь придать математическое толкование дидактическому принципу наглядности, пришел к формуле: наглядность = изоморфизм + простота. Обоснование этой формулы исходит из того, что адекватное (изоморфное) отражение существенных черт явления и простота его восприятия являются основными неотъемлемыми признаками наглядности. Цель данной работы состоит в реализации формулы Болтянского на основе концепции барицентра (центра тяжести), восходящей к Архимеду [2].

1. Архимедова концепция барицентра.

1.1. Концепцию барицентра системы материальных точек Архимед изложил в сочинении "О равновесии плоских фигур", которое является основополагающим в области статики [2]. При определении барицентра Архимед исходит из представления о материальной точке (м.т.), которое у него выступает основным понятием, хотя под этим понимается материальное тело, размерами которого можно пренебречь, по сравнению с характерными размерами в данной задаче. Корректно м.т. задается как обычная геометрическая точка, с которой связано некоторое число m > 0 и, таким образом, запись m (А) означает, что в точке А сосредоточена масса m.

Пусть m1(А) и m2(В) – две м.т. пространства, расположенные на некотором расстоянии друг от друга. Условно соединим эти точки бесконечно тонким, абсолютно жестким и невесомым стержнем. В результате получим систему из двух м.т. m1(А) и m2(В), которую геометрически представим отрезком, соединяющим эти материальные точки. При этом система из двух точек m(А) и m1(А), по существу, означает одну м.т. (m + m1)(А), а запись m(А) = m(В) подразумевает, равенство масс и геометрическое совпадение точек А и В. От данного определения системы из двух м.т. легко перейти к определению системы из произвольного числа м.т. При этом в случае, когда система м.т. представляет собой некий континуум в пространстве, можно говорить о твердом теле.

Представление о барицентре системы м.т. Архимедом вводится интуитивно следующим образом: «Центром тяжести некоторого материального тела (системы материальных точек) является некоторая расположенная внутри него точка, обладающая тем свойством, что если за нее мысленно подвесить тяжелое тело, то оно остается в покое и сохраняет первоначальное положение» [2]. Свойства барицентра Архимед определяет с помощью трех аксиом, где латинская буква Z используется для обозначения барицентра системы м. т. (рис 1):

А1. Всякая система м. т. имеет барицентр, причем, единственный.

А2. Барицентр системы из двух м.т. располагается на отрезке, соединяющем эти точки, и его положение определяется правилом архимедова рычага (рис.1) в виде соотношения:

m1(A)AZ=m2(B)BZ, (1)

где Z – барицентр системы материальных точек m1(A) и m2(B); , силы тяжести, приложенные к точкам m1(A) и m2(B);

равнодействующая сил и .

А3. Положение барицентра системы м.т. не изменится, если в этой системе выделить некоторые м.т. и массы этих точек перенести в барицентр выделенной подсистемы материальных точек.

1.2. Доказательство теоремы Архимеда: три медианы треугольника пересекаются в одной точке, в которой делятся в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины.

Доказательство.

1). Загрузим АВС по вершинам равными массами m; в результате получим систему м.т. А(m);В(m);С(m), которая имеет единст-венный барицентр в некоторой точке Z (аксиома А1).

2). По аксиоме А3, в полученной системе выделим подсистему м.т. А(m);В(m). Тогда, согласно А2, т. С1 (АС11В) – барицентр выделенной подсистемы так, что исходная система м.т., по аксиоме А3, имеет тот же барицентр, что и система С(m);C1(2m) , т.е. точку Z. Тогда, по аксиоме А2, согласно (1), имеем 2mC1Z=mZC СZ/ZC1=2. Аналогично, рассматривая подсистемы А(m);С(m) и В(m);С(m), получаем ВZ/ZB1=AZ/ZA1=2 и окончательно, AZ/ZA1Z/ZB1= СZ/ZC1=2.

3). Согласно аксиоме А1, у рассматриваемой системы м.т. А(m);В(m);С(m) барицентр в т.Z и этот барицентр лежит на каждой медиане АА1;ВВ1;СС1, т.е.

АА1 ВВ1 СС1= Z. Что и требовалось доказать.

Как видим, барицентрическое доказательство теоремы Архимеда очень наглядно и просто, причем, точка пересечения медиан приобретает механическое толкование как барицентр (или центроид) треугольника, загруженного по вершинам одинаковыми массами.

1.3. Теорема Чевы (1678). Итальянский инженер гидравлик Джованни Чева (1648-1734) заинтересовался следующим вопросом. Пусть на сторонах ВС, СА, АВ АВС , соответственно, выбраны точки А111. Можно ли, не производя никаких построений и измерений внутри АВС (где, например, расположено болото), а проводя измерения только на сторонах АВС, установить, пересекаются ли прямые АА1;ВВ1;СС1 в одной точке? Ответ положительный, однако для этого должно выполняться условие Чевы (рис.2):

(СА11В)(ВС11А)(АВ11С)=1 (2)

Доказательство.

1) Загрузим АВС по вершинам массами m1;m2;m3 (рис3); в результате получим систему м.т. А(m1);В(m2);С(m3), которая имеет единственный барицентр в некоторой точке Z (аксиома А1).

2). Через точку проведем прямые АА1; ВВ1;СС1. Тогда должны выполняться соотношения m1AZ=(m2+m3)ZA1; m2BZ= =(m1+m3)ZB1; m3CZ=(m1+m2)ZC1, которые показывают, что точки А111 являются барицентрами (В(m2); С(m3)); (А(m1);C(m3)) и (А(m1); В(m2)). Но тогда, в силу аксиомы А2, должно быть: CA1/A1B=m2/m3; BC1/C1A=m1/m2; AB1/B1C=m3/m1. Перемножая левые и правые части полученных соотношений, получаем (2). Что и требовалось доказать.

Следствие. Высоты, биссектрисы и отрезки прямых, проведенных из вершин треугольника в точки касания его вписанной окружности, пересекаются в одной точке.

Доказательство следствия получается прямой проверкой условия (2).

1.4. Теорема о медианах тетраэдра. Медиана тетраэдра – это отрезок , соединяющий его вершину с точкой пересечения медиан противолежащей грани этого тетраэдра.

Четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, в которой делятся в отношении 3:1, считая от соответствующей вершины.

Доказательство.

Пусть А111;D1 точки пересече-ния медиан, соответственно, граней BCD; ACD; ABD; ABC тетраэдра ABCD (рис.4).

1). Загрузим АВСD по вершинам равными массами m; в результате получим систему м.т. А(m); В(m); С(m);D(m) , которая имеет единст-венный барицентр в некоторой точке Z (аксиома А1).

2) По аксиоме А3, в полученной системе выделим подсистему м.т. А(m);В(m);C(m). Тогда, по теореме Архимеда (п.1.2), т. D1 – барицентр выделенной подсистемы так, что исходная система м.т., по аксиоме А3, имеет тот же барицентр, что и система D(m);D1(3m) , т.е. точку Z. Тогда, по аксиоме А2, согласно (1), имеем 3mD1Z=mZD DZ/ZD1=3. Аналогично, рассматривая подсистемы (А(m);С(m);D(m)); (В(m);С(m)D(m)); (A(m);B(m);D(m)), получаем ВZ/ZB1=AZ/ZA1= =CZ/ZC1 =3 и, окончательно, AZ/ZA1Z/ZB1= СZ/ZC1= DZ/ZD1=3.

3) Согласно аксиоме А1, у рассматриваемой системы м.т. А(m);В(m);С(m);D(m) барицентр в т. Z и этот барицентр лежит на каждой медиане АА1;ВВ1;СС1, DD1, т.е. АА1 ВВ1 СС1DD1= Z. Что и требовалось доказать.

1.5. Барицентрические координаты (БК) и проективная геометрия по А. Мебиусу. Доказательства теорем пп.1.2-1.4 наводят на интересную мысль. Как видно из теоремы Чева, при заданном АВС, тройке чисел (m1;m2;m3) однозначно ставится некоторая точка Z на плоскости и, точно также, по теореме о медианах тетраэдра, четверке чисел (m1;m2;m3;m4) однозначно соответствует точка Z в пространстве. Таким образом, можно говорить о некоторой системе координат на плоскости и в пространстве, к которой пришел замечательный немецкий математик А.Ф. Мебиус в 1827 г. [3-5]. Эта система координат необычна в том смысле, что описывает точки плоскости тремя координатами, хотя в обычной декартовой системе координат для этого достаточно двух, а для описания точки в пространстве использует четыре координаты, хотя в декартовой системе для этого достаточно трех.

Фокус в том, что координаты (m1;m2;m3) и (m1;m2;m3;m4) являются однородными (проективными) координатами точек плоскости или пространства, т.к., если для данных координат имеют место соответствия (m1;m2;m3)Z и (m1;m2;m3;m4) Z, то, как легко видеть, и для любого числа kR также будет (km1;km2;km3)Z и (km1;km2;km3;km4) Z . Правда, от этого обстоятельства можно, до некоторой степени, избавиться с помощью нормировки, полагая, к примеру, m1+m2+m3=m и m1+m2+m3+m4=m , откуда получается:

(3)

где Из (3) видно, что одна из координат линейно выражается через остальные и, таким образом, необычность координат (3) только кажущаяся.

Координаты (3) называют барицентрическими координатами и, фактически, то, что обнаружил Мебиус, представляет один вариантов изложения проективной геометрии. С БК-координатами приходится иметь дело не только в проективной геометрии, но и в живописи, генетике и химии [6]. а также в физиологии человеческого зрения, поскольку уже Евклиду в IV в. до н.э. было известно о его перспективном устройстве [7].

2. Концепция барицентра при определении объемов школьных многогранников и круглых тел.

2.1. Античные представления об измерении объемов и концепция барицентра. Дошедшие до нас клинописные таблички шумерийцев и вавилонян (около 3000 лет до н. э.) свидетельствуют, что единицы измерения площади и объёма были при своём возникновении связаны с материальными потребностями общества. С появлением земледелия потребовались умения измерения площадей земельных участков, емкостей сосудов и амбаров, объёмов вынутой при земельных работах земли и т. п. Расшифровка клинописных табличек вавилонян, например, показала, что иероглиф понятия «площадь» тождествен с иероглифом «количество зерна» (нужного для посева на этой площади); иероглиф понятия «объём» – с иероглифом «куча земли», вынутой при производстве оросительных систем. Русская мера объёма «ведро» также указывает на конкретный практический характер происхождения пространственных мер [8].

В данных примерах, по существу, та или иная количественная мера материальной субстанции соотносится с некоторой пространственной геометрической мерой (площади или объёма) и данная концепция по сей день не претерпела существенных изменений. При этом стоит заметить, что, как физические, так и геометрические единицы измерений принимаются, вообще говоря, условно, по большей части из соображений практической целесообразности. Отмеченные обстоятельства позволяют применить физические концепции при определении пространственных мер рассматриваемых тел. Именно, если речь идёт об измерении объёма материального тела, то оно, помимо пространственной протяжённости (объёма), также обладает некоторой массой, что даёт возможность использовать механическую концепцию барицентра при измерении объёма данного тела. Для этого следует ввести представление о плотности вещества , которую в физике определяют отношением массы m данного однородного вещества к занимаемому им объёму V : , (4)

которая при фиксированных условиях измерения для данного вещества остаётся величиной постоянной.

Оказывается, этих физических представлений вполне достаточно, чтобы приступить к экспериментальному определению формул для объёмов тел, изучаемых в школьной геометрии. Продемонстрируем, каким образом механическая концепция барицентра может использоваться на уроках школьной геометрии [9].

2.2. Определение формулы для объема призмы и цилиндра. Пусть имеется полый сосуд в виде прямой призмы с площадью основания S, который на высоту h=h1 заполнен некоторой жидкостью. Будем предполагать, что стенки сосуда достаточно тонкие, так, что массой этого сосуда по сравнению с массой налитой жидкости можно пренебречь. Пусть данный сосуд установлен на чашке рычажных весов и уравновешивается массой m=m1 (рис.4). Далее заполним сосуд на высоту h=h2 и уравновесим его массой m=m2 и т.д.

После серии таких взвешиваний можно обнаружить, что величина отношения


(5)

Выражая массу по формуле (4): m=V и, учитывая, что для данной жидкости =const, из соотношений (5) получаем: V=kh, (6)

где k - некоторый постоянный коэффициент, который в данном эксперименте из соображений размерности следует положить k=S. Тогда

V=Sh. (7)

Осталось убедиться, что формула (7) справедлива также и для наклонных призм. Для этого проделывается контрольное взвешивание, смысл которого ясен из рис.6. Аналогичными взвешиваниями с цилиндирическими сосудами можно убедиться, что формула (7) также справедлива и для цилиндров, причём, не обязательно круговых.

О
тметим, что сделанная в начале пункта оговорка относительно толщины стенок сосуда несущественна, т.к. массу сосуда можно определить предварительным взвешиванием и затем при определении объема ее следует вычесть из массы m (рис.5).

2.3.Определение формулы для объёма пирамиды и конуса. Возьмём некоторую призму и три пирамиды, выполненные из одного и того же материала, имеющих одинаковую высоту h и равные площади оснований S. Произведём взвешивание, при котором на одной чашке весов находится призма, а на другой располагаются три пирамиды (рис.7). Убеждаемся, что Vпр=3Vпир, откуда и с помощью (7) получаем:

, (8)

т
. е. формулу для вычисления объёма пирамиды.

Осталось убедиться, что любые две пирамиды, имеющие одинаковые высоты и площади оснований, равновелики. Для этого проделываем контрольное взвешивание, смысл которого ясен из рис.8.

С
овершенно аналогичными взвешиваниями с цилиндром и конусами можно убедиться, что формула (8) также справедлива и для конусов, причем,

не обязательно круговых.

2.4.Определение формулы для объёма шара. Возьмём два прямых круговых цилиндра и три шара, изготовленных из одинакового материала. Размеры каждого шара таковы, что геометрически он вписывается в каждый из взятых цилиндров. Произведём взвешивание, при котором на одной чашке весов находятся два цилиндра, а на другой располагаются три шара (рис.9).

В
результате взвешивания можно убедиться, что два выбранных цилиндра уравновешиваются тремя выбранными шарами. Пусть mц – масса цилиндра, а mш – масса шара. Тогда 2mц=3mш или с учётом (4), 2Vц=3Vш, откуда: , (9)

поскольку тела выполнены из одинакового материала. Т.к. по формуле (7) Vц=Sh=R22R=2R3, то из (9) получается: (10)

где R – радиус шара. Таким образом, мы путём соответствующих взвешиваний получили формулу (10) для вычисления объёма шара.

Заключение. Данная реализация междисциплинарного подхода между механикой и геометрией на основе концепции барицентра предполагает организацию комбинированных занятий и при этом представляется важным, следующее:

1) В изложенной экспериментальной методике определения объёмов некоторых выпуклых многогранников и круглых тел геометрическая концепция объёма как меры пространственной протяжённости абстрактного точечного континуума, по существу, сводится к механической модели системы материальных точек, на которые действуют векторы сил в соответствии с известными физическими законами. Поэтому, если при геометрическом определении объёма тела в простейшем случае практически требуется три линейных измерения, то при механическом определении объёма тела произвольной формы достаточно одного взвешивания, т.к. физические свойства материала этого тела можно считать известными.

2) Важно подчеркнуть, что результаты геометрического и механического подходов к определению объёмов тел приводят к одинаковым результатам. Это свидетельствует о существовании тесной связи между геометрическим и механическим описаниями свойств пространства и составляет идею изоморфизма, когда исследуемый объект рассматривается с разных точек зрения.

3). Применительно к практике школьной геометрии механические концепции, восходящие к Архимеду, обладают большой наглядностью и лучше воспринимаются, поскольку за абстрактными геометрическими образами школьники с удивлением обнаруживают реально осязаемые вещи.

Данная экспериментальная методика рекомендуется для реализации на уроках геометрии в профильных классах полной средней школы.

Литература

1. Болтянский В.Г. Формула наглядности – изоморфизм плюс простота // Советская педагогика, 1970, №5. – С. 46-60.

2. Архимед. Сочинения. Под ред. И.Н. Веселовского. – М.: Физматгиз, 1962.– 639 с.

3. Möbius A.F. Der barycentrische Calcul // Gesammelte Werke, Bd.1. – Leipzig, 1885.

4. Балк М. Геометрические приложения понятия о центре тяжести. – М.:Физматгиз, 1959. – 232 с.

5. Балк М.Б. Геометрия масс. – М.: Наука, 1987. – 160 с.

6. Фирстов В.Е. Кибернетическая концепция и математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в школе и вузе. – Саратов: Издательский Центр "Наука", 2010. – 511 с.

7. Соловьев С.А. Перспектива. – М.: Просвещение, 1981. – 144 с.

8. Депман И.Я. О мерах и метрической системе. – М.: Знание, 1955. – 40 с.

9. Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Механические приемы подсчета объемов // Математика в школе, 2001, №5. – С.40-42.

Сведения об авторе

Фирстов Виктор Егорович – профессор кафедры компьютерной алгебры и теории чисел, механико-математического ф-та СГУ им. Н.Г. Чернышевского, доктор педагогических наук.

Контакты: E-mail: firstov1951@gmail.com

Phone: 8 927 622 55 95 

10



Похожие документы:

  1. «Оценка возможностей внедрения современных практик логистических провайдеров для совершенствования управления железными дорогами в России», представленной в службу обеспечения программ бакалавриата для последующей передачи в государственную аттестационную комиссию для публичной защиты, не содержится элементов плагиата

    Документ
    ... к упрощению и стандартизации таможенных процедур, использованию принципа «одного окна», предварительной подготовке импортно ... к ИТ-решениям для транспортной логистики / С.В. Фирстов, В.М. Самуйлов, Л.В Гашкова // Транспортные и транспортно- ...
  2. Проблемы высшей школы тематический указатель литературы Выпуск 47 Ростов н/Д

    Указатель
    ... социологии повседневности: методологические принципы исследования / Н.Р. Таирова ... 11. - C. 44-68. Фирстов В.Е. Кибернетическая концепция современного учебного ... процесса / В.Е. Фирстов // Высшее образование сегодня. - ...
  3. «Саморегулируемые организации в сфере здравоохранения», представленной в службу обеспечения программ бакалавриата для последующей передачи в государственную аттестационную комиссию для публичной защиты, не содержится элементов плагиата. Все прямые заимствования из печатных и электронных источников, а также из защищённых ранее курсовых и выпускных квалификационных работ, кандидатских и докторских диссертаций имеют соответствующие ссылки

    Документ
    ... , Атманский Игорь Александрович, Фирстов Степан Владимирович; а также ... и специалистов здравоохранения. Принцип ответственности. Данный принцип подразумевает как ответственность ... здравоохранении, основанной на принципах единства отрасли, эффективной ...
  4. Программа воспитательной работы в 5а классе «Лестница успеха»

    Программа
    ... сочетать духовно – эстетические, идейно – нравственные принципы, единство доброты и познания. Эти вопросы ... Фирстова Анна Алексеевна 1 июня 2002 Фирстов Алексей Юрьевич Фирстова Ирина Юрьевна ...

Другие похожие документы..