Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Американская социологическая мысль: Р. Мертон, Дж. Мид, Т. Парсонс, А. Шюц.Тексты / Пер.; Под общей ред. В.И. Добренькова. М.: Междунар. Ун-т Бизнеса ...полностью>>
'Документ'
Выступил председательствующий, который представил присутствующим на собрании следующих кандидатов в члены НП «Генеральный Альянс Строительных Организа...полностью>>
'Методические указания'
Самоконтроль студентов спецмедгруппы (СМГ) в процессе фи­зического воспитания. Методические указания по физвоспита­нию /Сост. Г.Н.Олейник, Н.О.Богатко...полностью>>
'Документ'
10. Устанавливаем параметр Get IP Address – Dynamic. 11. Устанавливаем параметр NAT – Enable. 1 . Нажимаем кнопку SAVE....полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

1

Смотреть полностью

Г.В.Марфина

Графики функций, содержащих знак модуля

Учебное пособие для подготовки

к Единому государственному экзамену

по математике в 9-х и 11-х классах и

к олимпиадам в школе

Чернушка

РИЦ «Парус»

2007

ББК. 74.262. 21

М. 30

Марфина Г.В. Графики функций, содержащих знак модуля. – Чернушка: РИЦ «Парус», 2007.

Пособие окажет существенную помощь выпускникам школ при подготовке к Единому государственному экзамену по математике.

Оно содержит краткое изложение теоретических сведений в области функциональной зависимости по каждому разделу элементарных функций, изучаемых в школе; понятий функций, аналитическая запись которых содержит знак модуля; а также изложение практических методов, позволяющих выполнять построение эскизов графиков функций различного уровня сложности, в том числе и олимпиадного характера. В пособии содержатся задания для самостоятельной работы, а также программа элективного курса в 9-х классах.

Пособие может быть полезно учителям математики средних школ при проведении предпрофильных курсов в девятых классах.

Районное управление образования

Администрации Чернушинского района

«Средняя общеобразовательная школа №6»

Программа курса по выбору

«Построение графиков функций, содержащих знак модуля»

Разработал учитель математики высшей категории средней школы №6 г. Чернушка Пермского края

Марфина Галина Васильевна

2006

Учебная программа по математике предпрофильного курса по выбору

для учащихся 9-х классов

Тема: «Построение графиков функций, содержащих модуль».

  1. Пояснительная записка.

Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи и порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес.

Опыт работы в школе показывает, что материал, связанный с построением графиков функций вообще, а с модулем в особенности, в основной школе изучается недостаточно полно, и учащиеся испытывают большие трудности в усвоении этой темы. В базовом курсе основной школы графикам, содержащим модуль, не уделяется времени, а задания включаются в основном в качестве дополнительных, т.е. представление данной темы в школе дается «вскользь». По этим причинам тема является актуальной.

Курс рассчитан в первую очередь для категории учащихся, имеющих определенные склонности к математике, желающих учиться в 10-х классах с экономико-математической или физико-математической направленностью. Но и другой категории учащихся поможет в усвоении тем, связанных с функциональной зависимостью.

Курс рассчитан на 16-17 часов (в зависимости от контингента учащихся), по 2 часа в неделю в первом полугодии (желательно) и один урок на зачёт или защиту проектом (4 уровня сложности).

Целью курса является систематизация разрозненных знаний по теме: «Функциональная зависимость и построение графиков», отработка навыков преобразования функций, расширение знаний по теме «Модули в графиках» и выработка логического и самостоятельного мышления.

Задачей курса является расширение познания учащихся в области функциональной зависимости, приобретение самостоятельных поисков решения отдельных заданий, вызывавших ранее у детей страх и боязнь прикоснуться к данной задаче, подготовка девятиклассников к экзаменам в форме ЕГЭ части С.

  1. Содержание курса включает 4 блока.

Главное внимание уделяется именно методам построения графиков или эскизов графиков на основе теоретических опорных правил, на примерах образцов решений (особое внимание уделяется методу преобразования системы координат с целью экономии времени на построение графиков).

В первом блоке на основе линейной функции учащиеся знакомятся с разновидностями функций, содержащих знаки модуля, и правилами построения каждого вида графика. В сильных по уровню восприятия группах показывается применение графиков рассмотренного блока функций к решению заданий с параметрами, к решению уравнений и систем уравнений, содержащих модули различного характера (4часа).

Во втором блоке на основе обратно пропорциональной зависимости учащиеся знакомятся с понятием дробно-рациональной функции (случай линейных числителей и знаменателей), с разновидностями «модульных» функций данного блока и правилами их построения. В группах учащихся с развитым математическим мышлением рассматриваются задания на приложение графиков функций данного блока (4 часа).

Третий блок предполагает рассмотрение графиков квадратичной зависимости, (заметим, что данная тема только что будет девятиклассниками пройдена на уроках по алгебре), знакомство со всеми разновидностями «модульных» функций и правилами построения соответствующих функций. И опять же при возможности можно рассмотреть приложение данного блока к решению нестандартных заданий (4часа).

Четвёртый блок предусматривает решение заданий с параметрами на применение графиков функций, содержащих знаки модуля, для закрепления полученных знаний и приёмов построения графиков таких функций, включая задания экзаменационного и олимпиадного характера (4 часа).

А далее учащиеся делают зачетную практическую работу в виде тестов (1 час), учащимся предлагается выбор своего уровня (карточки разного цвета) или защиту проектов на построение графиков и их применения.

На протяжении всех блоков прослеживается логическая связь, а именно, правила, данные в первом блоке, закрепляются во 2–4 блоках, а задания постепенно усложняются (в состав задач входят экзаменационные задания творческой третьей части 2005-2006 учебного года).

  1. Учебно-тематическое планирование.

п/п

Тема занятий

Кол-во

часов

Форма проведения занятия

и практическое содержание

1.

Графики функций, содержащих модули, на основе линейной функции.

Понятие о кусочно-блочной функции.

4

Изложение нового материала в форме беседы, (составление опорного конспекта с записью правил и определений, образцов построения разновидностей «модульных» графиков)

Самостоятельная практическая работа по группам с защитой.

2.

Графики функций, аналитическая запись которых содержит знаки модуля, на основе дробно-линейной функции. Вертикальные и горизонтальные асимптоты.

4

Урок- лекция на основе фронтальной беседы (с записью опорного конспекта и привлечением учащихся к объяснению отдельных этапов изложения и записью образцов решения).

Урок-практикум (обсуждение подходов к решению ключевых задач).

Первичный контроль в форме практической работы по парам со взаимопроверкой в группах.

3

Графики функций, аналитическая запись которых содержит знаки модуля, на основе квадратичной функции. «Скрытый» модуль.

4

Фронтальная беседа с подачей новой порции материала на основе только что изученных тем на уроках и курсах по выбору. Конспектирование выполняемых заданий.

Практическая (самостоятельная) работа индивидуального характера с последующей проверкой в парах по вариантам.

4

Задачи, решаемые с помощью графиков.

4

Урок-практикум, работа по тестам (закрепление и углубление новых знаний, умений и навыков) на примерах задач 3 – 5-го уровня сложности тестов Иванова А.П. и экзаменационных тестов).

Задание для творческой самостоятельной работы (пяти уровней сложности) на дом по желанию.

5

Зачетная работа.

1

Тест (в 4-х вариантах по выбору уровня сложности учащимися).

  1. Литература для учителя.

1) Абсолютная величина числа. Квантор: научно-методический журнал учителей математики. – Львов, 1991.

2) Дороднов А.М. Графики функций: Учебное пособие для поступающих в вузы. – М.: Высшая школа, 1972.

3) Иванов А.П. Тематические тесты по математике. – М.: МФТИ, 2003.

4) Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно-методические материалы по математике./ Под ред. Л.Я. Фальке. –Ставрополь: Сервисшкола, 2004.

5) Планирование учебного материала для 9 класса с углубленным изучением математики. / Методические рекомендации. – М.: Московский городской институт усовершенствования учителей, 1990.

6) Шагин В.Л. 30 задач за 90 минут. – М.: Вита, 2003.

Литература для учеников.

1) Алгебра: Тематические тесты с углубленным изучением математики в школе./ 3 комплекта для 7-х, 8-х, 9-х классов. – М.: 2001.

2) Иванов А.П. Тесты для систематизации знаний по математике (9 класс). –Пермь: ПГУ, 2006.

3) Итоговая аттестация: Алгебра / Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе. – М.: Просвещение, 2006.

4) Мордкович А.Г., Алгебра, 8-9 кл., – М., 2003.

5) Экспериментальная экзаменационная работа. 9 класс: Типовые тестовые задания./ Сост. Т.В. Колесникова, С.С. Минаева. – М.: Экзамен, 2006.

Введение.

Модуль – это целый мир геометрических

образов, простых и понятных, часто очень

красивых и запоминающихся.

Среднее (полное) общее образование – завершающая ступень общего образования, призванная обеспечить функциональную грамотность и социальную адаптацию обучающихся. Эти функции определяют направленность целей на формирование социально грамотной и социально мобильной личности, осознающей свои гражданские права и обязанности, ясно представляющих себе потенциальные возможности, ресурсы и способы реализации выбранного жизненного пути. Эффективная реализация указанных целей возможна при введении профильного обучения, которое является «системой специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательных школ, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учётом реальных потребностей рынка труда, …отработкой гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования» (Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года).

Переход к профильному обучению постепенный. Этому способствуют и элективные курсы – обязательные курсы по выбору учащихся из компонента общеобразовательного учреждения, входящие в состав профиля обучения.

Элективные курсы в 9-х классах призваны помочь профессиональному ориентированию и самоопределению школьников. Данное пособие адресовано тем учителям, которые намереваются осуществлять предпрофильную подготовку, основной целью которой является предоставление возможности ученику оценить свой потенциал с точки зрения перспективы обучения в классах технологического и естественнонаучного профиля и повысить уровень его общей математической культуры. А также это пособие поможет девятиклассникам, а также и учащимся 10-11-х классов, расширить и углубить знания по изложенной теме и подготовиться к экзаменам в форме ЕГЭ.

Цель настоящего пособия – дать систематизированное изложение методов построения графиков функций, содержащих модули, в рамках знаний, предусмотренных программой средней школы.

В пособии даны краткие общие сведения об элементарных функциях, о функциях, аналитическая запись которых содержит знак модуля, рассмотрены основные методы построения эскизов графиков таких функций. При этом главное внимание уделяется методам построения графиков, а не изучению отдельных видов функций. Помимо примеров, наглядно иллюстрирующих методику построения графиков функций, содержащих знаки модуля, отдельная глава посвящена применению графиков к решению различных задач. Стоит сказать, что порой графический способ является единственным приёмом решения некоторых задач. Овладение навыками построения графиков позволяет учащимся ускорить выполнение многих заданий, что в настоящее время очень важно выпускникам, сдающим экзамен в форме ЕГЭ. Геометрическая интерпретация удобна и доступна для понимания подавляющего большинства учащихся, так как с её использованием алгебраическая задача перестаёт быть абстрактной и отвлечённой, а найденные решения в процессе их поиска становятся частью опыта учащихся. Геометрический образ откладывается в сознании учащихся и легко может быть актуализирован в аналогичной или даже в незнакомой ситуации. Таким образом, формируется геометрическое мышление, т.е. развивается умение оперировать различными геометрическими объектами, интерпретировать алгебраические задачи геометрически. В пособии содержатся задания для самостоятельной работы.

Настоящее пособие начинается с программы элективного курса по теме «Построение графиков функций, содержащих знак модуля», который может быть рекомендован преподавателям математики при проведении предпрофильных курсов в 9–х классах или элективных курсов в 10-х классах с доработкой и дополнением тем, связанных с показательными, логарифмическими, тригонометрическими, в том числе, обратными тригонометрическими функциями. Данный курс апробирован автором в течение двух учебных лет в средней школе №6. После знакомства с содержанием курса учащиеся старшего звена школы легче усваивают учебный материал по алгебре и началам анализа, связанный с графиками трансцендентных функций, содержащих знак модуля. А навыки, приобретённые учащимися при построении графиков, ускоряют решение многих нестандартных заданий, в том числе и заданий с параметрами.

Данное пособие полезно будет и учащимся 10-х классов, изучающих математику на повышенном уровне.

Глава I

Построение графиков функций, содержащих модули, на основе линейной, дробно-линейной и квадратичной

§1. Историческая справка

Буквенная символика

До ХVI века в математике не было сколько-нибудь развитой единой символики. Каждая операция записывалась полностью словами или специальными знаками – сокращениями, которые использовал только один или несколько учёных.

Неизвестные коэффициенты и свободный член уравнения также не имели условных общепризнанных обозначений.

В ХVII веке французские учёные Франсуа Виет и Ренэ Декарт разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных – последними буквами латинского алфавита – x, y, z, известных – начальными буквами того же алфавита – а,в, с,… и т. д.

После введения единой буквенной символики стало возможным решать многие задачи по формулам. Вместе с буквенной символикой в математику пришла идея изменения, поскольку под каждой буквой стало возможным понимать различные значения.

Великое открытие Декарта

К началу ХVII века алгебра была уже достаточно развитой наукой. Трудами многих поколений учёных были подготовлены условия для нового большого открытия в науке, которое послужило бы толчком к её дальнейшему развитию. Таким открытием явилось введение в математику понятия переменной величины и прямоугольной системы координат. Честь введения в математику функциональной зависимости принадлежит французскому учёному Ренэ Декарту.

Бурное развитие математики стало возможным только с появлением переменной величины. На основе этого понятия возникли новые математические науки: дифференциальное и интегральное исчисления, вариационное исчисление и др., которые теперь изучаются в вузах.

Ренэ Декарт придумал систему прямоугольных координат, которой пользуемся мы, ввёл её в широкое употребление и положил начало развитию важной математической науки – аналитической геометрии. Декарт первым дал геометрическое толкование отрицательным числам, как отрезкам, имеющим определённое направление. Он сделал очень много для усовершенствования алгебры: улучшил систему алгебраических обозначений, предложил буквами х, у,z обозначать переменные, а буквами а, в, с – постоянные; предложил записывать степени так, как пишем мы: а2, в34 и т.д., а алгебраические уравненияв том виде, в каком пишем их мы. Он же дал правило для определения числа положительных и отрицательных корней уравнения и многое другое.

Трудами Декарта алгебра была значительно усовершенствована.

Термин «функция» впервые встречается в письме немецкого математика Лейбница к голландскому математику Гюйгенсу в 1694 г. В обычное употребление термин введён в начале ХVIII в. Иоганном Бернулли.

§2. Функциональная зависимость.

График функции.

Величины, участвующие в одном и том же явлении, могут быть взаимосвязаны, так что изменение одних из них влечёт за собой соответствующее изменение других. В таких случаях говорят, что между переменными величинами существует функциональная зависимость, причём одну величину называют функцией, или зависимой переменной (её часто обозначают буквой у), а другую – аргументом, или независимой переменной (её обозначают буквой х). Функциональную зависимость между х и у принято обозначать символом у = f(х). Если каждому значению х соответствует больше, чем одно значение у, то такая функция называется многозначной. Исследование многозначных функций сводится обычно к исследованию однозначных.

Определение функции. Переменная величина у называется функцией аргумента х, т.е. у = f (х), если каждому возможному значению х соответствует одно определённое значение у.

Определение графика функции. Графиком функции называется совокупность всех точек плоскости, прямоугольные координаты которых х и у удовлетворяют уравнению у = f (х).

Горизонтальную ось Ох называют осью абсцисс, вертикальную ось Оу – осью ординат.

Функциональная зависимость, устанавливающая соответствие между значениями аргумента х и функции у, может быть задана различными способами: табличным, словесным, графическим, аналитическим. В математике чаще всего используется аналитический способ задания функции, при котором известна формула, устанавливающая зависимость между переменными х и у.

Множество значений Х, при каждом из которых функции существует, называется областью определения функции у = f (х) (проекция графика на ось абсцисс).Множество значений У, которые принимает переменная у, называется областью изменения функции у = f (х). Область изменения есть проекция графика функции у = f (х) на ось ординат.

+

§3. Линейная функция у = kx + b, k≠0.

Построение графиков функций вида у = kx│ + b, у =│ kx + b │,

у = ││кх│+в│, у – у0= к│х – х0│, у = = │к(х – х0)+ в│, у = │к│х – х0│+ в│.

В аналитическое выражение линейной функции вида у = кх + в переменные х и у входят в первой степени. График линейной функции представляет собой прямую линию (откуда и происходит название функции), располагающуюся относительно координатных осей различным образом, в зависимости от постоянных коэффициентов к и в ,которые могут принимать положительные или отрицательные значения или быть равными нулю. В частности, при в = 0 уравнение у = кх выражает прямую пропорциональную зависимость величин х и у.

Коэффициенты к и в в уравнении прямой имеют наглядное геометрическое толкование (рис. 1).

у Значение коэффициента в определяет собой отрезок,

отсекаемый графиком линейной функции на оси орди-

нат, а коэффициент к является тангенсом угла α, обра –

зованного осью абсцисс и прямой, отсчитываемого от

α в положительного направления оси ОХ против часовой

- в/к о х стрелки.

Для построения графика линейной функции можно

Рис. 1 воспользоваться геометрическим смыслом коэффици-

ентов к и в или найти две точки прямой на плоскости,

например, точки пересечения с осями координат.

Определение модуля.

х, если х ≥ 0,

х│ =

– х, если х < 0.

Таким образом, │х│ всегда является неотрицательной величиной. Но тогда верны следующие равенства:

f(x) при f(x) ≥ 0, f(x) при f(x) ≥ 0,

│f(x)│ = и f(│x│) =

- f(x) при f(x) < 0, f(-x) при f(x) < 0.

Заметим, что │f(x)│ ≥ 0, т.е. график функции расположен не ниже оси абсцисс, а f(│x│) есть функция чётная, т.е. график симметричен относительно оси ординат. При построении графиков функций, содержащих модули, удобно пользоваться этими свойствами.

Для удобства построения графиков функций вида у – у0= к│х – х0│,

у – у0 = │к(х – х0)+ в│, у- у0 = │к│х – х0│+ в│целесообразно выполнить преобразование системы координат, осуществив перенос прямоугольной декартовой системы ХОУ на вектор ОО1, где О100), и в новой системе Х1О1У1 построить график функций у = к│x│ + b, у =│ kx + b│ , у = =││кх│+в│.

№1. Выполнить построение графиков функций, используя определение модуля, т.е. перейти к записи функции, записанной различными аналитическими выражениями на различных областях изменения независимой переменной. Для краткости назовём рассматриваемые функции после раскрытия модуля «блочно-кусочными».

1) у =│х│, 2) у =│х - 2│, 3) у = 2│х - 2│, 4) у =│3 – 6х│, 5) у = -│х - 3│.

Примечание: назовём применяемые знаки модуля во всех пяти примерах «внешними».


1) 2)

У У у1

-2 0 2 х 0 2 х

у=│х│= х при х≥0, у=│х-2│= х-2 при х≥0,

-х при х<0. 2-х при х<0.

Рис.2 Рис.3

Замечания по построению графиков без перехода к блочно-кусочному виду записи функции.

1) Для построения графика у =│х│, достаточно построить луч (у = х при х≥0) и отразить его симметрично относительно оси ординат, т.к. данная функция чётная.

2) Для построения графика функции у =│х - 2│, целесообразнее перенести систему координат ХОУ на вектор (2;0) и в новой системе координат построить предыдущий график, который будет симметричным относительно прямой х = 2.

3) У У1 4) у у1

4

3

2 4 0,5

О 2х-4,х≥2 3-6х,х≤1/2

У = 4-2х,х<2 у=

6х-3,х>1/2

Рис.3 Рис.4

Замечания по построению графиков без перехода к блочно-кусочному виду записи функции.

3) Выполнив перенос прямоугольной системы координат ХОУ на вектор (2;0), построить в новой системе координат график функции у =2│х│, который будет симметричным относительно прямой х = 2.

4) Выполнив перенос прямоугольной системы координат ХОУ на вектор (0,5;0), построить в новой системе координат график функции у = 6х, который будет симметричным относительно прямой х = 0,5.

5) у у1

3-х при х≥3,

у= -│х-3│=

х-3 при х<3.

0 3 х

-3

Рис.6

Замечания по построению графиков без перехода к блочно-кусочному виду записи функции.

Выполнив перенос прямоугольной системы координат ХОУ на вектор (3;0), построить в новой системе координат график функции у = -│х│, который будет направлен ветвями вниз и симметричным относительно прямой х = 3.

Рассмотрим функции, содержащие знак модуля внутри аналитической записи, назовём модуль «внутренним» и функции, в записи формулы которых модуль находится внутри другого модуля.

№2. Постройте графики функций: 6) у =│х│+2, 7) у = – │х│+2, 8)у = 2 │х│– 3

и 9) у= ││х + 2│- 3│. Примечание: при построении последнего графика, содержащего модуль в модуле, выполните «тройную» цепочку преобразований:

1=│х +2│, у2 =│х +2│-3 и у=││х+2│-3│).

Так как функции 6) у =│х│+2, 7) у = – │х│+2 и 8)у = 2 │х│– 3 чётные, то можно выполнить построение графиков двумя способами: первый способ (более длительный) заключается снова в раскрытии модуля и переходу к блочно-кусочному виду и построению графика по частям. И второй способ, заключающийся в преобразовании прямоугольной декартовой системы координат ХОУ на вектор (0;у0).

6) I способ (рассмотрим только на примере под №6).

х+2,если х≥0,

у=│х│+2 =

2–х,если х<0

Построим прямую у = х + 2; обведём ту её часть, которая соответствует области х ≥ 0. Затем построим прямую у = - х +2 и обведём часть прямой, соответствующую интервалу х ≤ 0 (рис. 7 с учётом пунктирных линий).

II способ (более короткий). Заключается в преобразовании системы координат: в переносе её на вектор (0;2), и построении, в новой уже системе, графика функции у = │х│ (рис. 7, сплошной линией обведён график).

Аналогично поступим в седьмом задании: вершину прямого угла поместим в точку (0;2), но ветви графика направим вниз (рис. 8).

Вывод: экономичнее при построении графиков функций, содержащих только «внутренний» модуль, применять второй способ.

у

6) 7)

У 2

-2 0 2

2 0

-2 0 2 х У=-│х│+2

Рис.7 Рис.8

Рассмотрим восьмой пример. В этом случае можно построить сначала график функции у = 2│х│ (пунктирный), а затем опустить его на 3 единицы вниз.

у

У у=││х+2│-3│

8) 9) 4

3 у1

2 у3

2

1

-2 -1 0 1 2 Х -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-1

у2

Рис.9 -3 У=2│х│-3 Рис.10

-3

При решении девятого задания, рассмотрим цепочку функций: у1=│х +2│, у2 =│х +2│-3 и у=││х+2│-3│). Графики первых двух мы умеем строить (первый изображён тонкой сплошной линией, а второй – сплошной жирной и частично пунктирной линией). При построении третьего достаточно отразить нижнюю часть второго графика зеркально относительно оси абсцисс (на рис.10 эта часть показана сплошной линией).

Для закрепления навыков построения графиков функций, содержащих модули, выполните самостоятельно следующие задания, а потом проверьте свои чертежи с рисунками 11 – 13.

№ 3. Построить графики функций:

10) у = – │х – 3│, 11) у = -3│ х│+5, 12) у = 0,5│х - 2│- 4.

Построение.

10) 11) 12)

У у у у1

У= -3│х│+5 5

0 3 0 1 2

х

-3 -3

У= -│х-3│

-4 0

У=0,5│х-2│-4.

0 1 х

Рис.11 Рис.12 Рис.13

В тестах часто встречаются некоторые примеры, использующие функции и графики специфического вида. И хотя эти функции и не входят в общую программу, но лучше знать основные особенности некоторых «полезных» функций и их графики. Такие графики могут встретиться на математических олимпиадах, абитуриентам на вступительных экзаменах. Знание этих функций, умение быстро построить график позволяет ускорить решение многих примеров. Для запоминания удобно дать этим графикам «имена».

№4. Построить графики функций:

13) у = │х - а│+│х - в│ («Корыто»);

14) у = │х - а│-│х - в│ («Ступенька»);

15) у = ││х - а│ - в│ («W»). Эта функция нам уже встречалась.

Рассмотрим график под номером 13 (рис. 14) в общем виде

у = │х - а│+│х - в│.

к=-2 к=2

«Корыто» Рис. 14

а в х

Например, построим график функции: У=│х-1│+│х+2│.

у

3

1

-2 -1 0 1 х

-1

у=2х+1 у=-2х-1

Рис. 15

При х < -2 у = 1 – х –х – 2 =

= -2х -1, при -2 ≤ х ≤1 получим у = 1 –х +х +2 = 3, при х ≥ 1 у = х -1 + х + 2=

= 2х +1. Выполняя построение каждого из трёх графиков на своём интервале, получим «корыто», на рис.15 сплошной линией показан график данной функции.

Рассмотрим график под номером 14 (рис. 16) в общем виде

у = │х - а│-│х - в│.

«Ступенька».

в<а

в>а

к =-2 к=2

х х

в а а в

Рис. 16 Рис. 17

Рассмотрим график под номером 15 (рис. 18) в общем виде

у = ││х - а│ - в│.


к=-1 к=1

х

Рис. 18 а-в а а+в

Задания для самостоятельного решения.

№ 5. Используя переход к блочно-кусочному виду, постройте графики следующих функций:

16) у = │х +1│-│х -1│, 17) у =│-│х + 3│ - 2│,

18) у = │х -1│-│х + 1│, 19) у = │х│- х, 20) у = │1-х│-│х-2│-│х-3│,

21) у = ││││х-1│-1│-1│-1│.

§4. Геометрическое место точек вида │у│= f(x), т.е. функций, заданных неявно в виде F(х;│у│)=0.

Геометрическое место точек вида │у│=│х│, │у –у0│=│х – х0│ и других.

Мы рассмотрели наиболее общие методы построения графиков некоторых функций вида у = f(x). При этом каждому допустимому значению аргумента соответствовало одно значение функции. Однако на практике очень часто встречаются такие зависимости между двумя переменными х и у, в которых одному значению х соответствует два или более значений у. Зависимость между двумя переменными может быть задана и в виде неравенства. Подобные зависимости тесно связаны с понятием геометрического места точек.

Определение. Геометрическим местом точек, обладающих каким-либо свойством, называется множество, в которое входят все те и только те точки, которые обладают этим свойством.

Указанное в данном определении свойство, характеризующее геометрическое место точек (г.м.т.) может задаваться либо уравнением вида F(x;y) = 0, либо неравенством F(x;y) ≥ 0.

Например, г.м.т., координаты которых удовлетворяют уравнению х2+ у2= 1,

является окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Г.м.т., координаты которых удовлетворяют неравенству х2 + у 2≤ 1, будет круг единичного радиуса с центром в начале координат. Каждому значению х из интервала -1≤х≤1 в первом случае соответствует два значения , во втором случае – бесконечное множество значений у.

Все графики функций у= f(x), которые рассматривались до сих пор, можно также рассматривать как геометрические места точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению у= f(x). Таким образом, построение г.м.т., координаты которых удовлетворяют какому-либо соотношению, является задачей более общей, чем построение графиков (однозначных) функций. Г.м.т. плоскости, когда каждому значению аргумента х соответствует не одно, а два или более значений переменной у, называют многозначной функцией.

В настоящем параграфе рассмотрим ряд заданий, посвящённых отысканию на плоскости ХОУ геометрических мест точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению F(x;y) = 0 или неравенству F(x;y) ≥ 0.

1. Геометрическое место точек вида │у│= f(x), т.е. функций, заданных неявно, вида F(x, │у│) = 0.

Пользуясь определением модуля, уравнение │у│= f(x) можно представить в виде

f(x) при у0,

у =

- f(x) при у < 0.

Таким образом, для того чтобы построить г.м.т., координаты которых удовлетворяют уравнению │у│= f(x), следует построить графики функций у= f(x) и, выделив те участки графика, где f(x) 0, достроить к ним их отражения относительно оси абсцисс.

Естественно при этом, что для построения графика функции у= f(x) могут применяться все правила, изложенные ранее.

Рассмотрим ряд примеров на построение геометрических мест точек.

Задание 22 │у│=2.

Решение.

Строим график функции у = 2 и отражаем его относительно оси абсцисс. Таким образом, геометрическим местом точек являются две параллельные прямые у = -2 и у = 2 (рис. 19).

у

2

0 х

-2

Рис. 19

2. Геометрическое место точек вида │у│=│х│, │у –у0│=│х – х0│.

Задание 23 │у│=│х│.

Решение.

Строим график функции у = │х│ и отражаем его относительно оси абсцисс.

Таким образом, геометрическим местом точек являются две пересекающиеся прямые у = х и у = -х (рис. 20).

у у

у1

1 х1

х х

-3 -2 0

Рис. 20 Рис. 21

Задание 24. │у - 1│=│х + 2│.

Решение.

Искомое геометрическое место получается из │у│=│х│ переносом оси абсцисс на единицу вниз и оси ординат на две единицы вправо (рис. 21). Иначе, строим график функции │у│=│х│ в системе Х1О1У1, полученной переносом прямоугольной системы координат на вектор ОО1=(-2;1).

Сделаем общий вывод.

Если требуется найти геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют более общему соотношению, необходимо сначала, воспользовавшись определением модуля, разбить данное соотношение на несколько уравнений, каждое из которых справедливо в определённой области, и затем находить геометрические места точек в каждой из этих областей в отдельности.

Нахождение геометрические места точек в общем случае сводится к двум моментам: к отысканию различных областей на плоскости ХОУ, в каждой из которых знак модуля может быть опущен согласно определению модуля, и нахождению уравнений, не содержащих знак модуля, к которым может быть приведена исходная зависимость в каждой из найденных областей.

Например, в рассмотренном частном случае, в задании №21, зависимости вида │у│=2 плоскость ХОУ разбивается на две полуплоскости: верхнюю (у ≥ 0) и нижнюю (у < 0). При у ≥ 0 строим прямую у = 2, при у < 0 строим прямую у = -2.

График вида F ( x, │у│) = 0 обладает свойством симметрии относительно оси ОХ, поскольку точки (х,у) и (х,-у) одновременно принадлежат или не принадлежат графику. Отсюда следует, что достаточно построить график лишь в верхней полуплоскости (для у ≥ 0), а затем симметрично отобразить его в нижнюю полуплоскость. Но в верхней полуплоскости графики F(x, │у│) = 0 и F(x, у) = 0 совпадают, поскольку │у│=у при у ≥ 0.

Таким образом, алгоритм построения заключаеся в следующем.

Нужно построить верхнюю часть F(x, у) = 0, отбросив при этом нижнюю

часть, и затем зеркально отобразить её (верхнюю часть) относительно оси ОХ.

Задание 25.

Построить множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению │у│=1 – 2х.

Решение.

Выполним построение графика у = 1 – 2х в области у ≥ 0, а затем зеркально отразим его в нижнюю полуплоскость относительно оси абсцисс (рис. 22).

у

1

0 1 х

-1

Рис. 22

Задание 26.

Построить множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению │у - 2│=│х – 1- 1.

Решение.

В прямоугольной декартовой системе координат Х1О1У1 , полученной параллельным переносом системы ХОУ на вектор ОО1=(1;2), построим график │у│=│х│.

Разбив плоскость Х1О1У1 на части, у1 ≥ 0 , х1 ≥ 0, строим график функции у = х – 1, т.е. смещаем луч из точки О1 на единицу вправо. Далее его зеркально отображаем относительно оси О1Х1 вниз.

Луч в части плоскости при х1 < 0, у1 ≥ 0 также смещаем вдоль оси абсцисс на единицу влево, а далее его отображаем зеркально относительно оси О1Х1 вниз. Геометрическое место точек, удовлетворяющих заданному уравнению, представлено на рисунке 23. В математике такие г.м.т. иногда называют графиком многозначной функции, который будет симметричным относительно обоих вспомогательных осей координат: О1Х1 и О1У1 (на рис. 23 это г.м.т. - объединение лучей с вершинами в точках (0;2) и (2;2) ) –«раздвинувшийся крест» вдоль оси О1Х1 на единицу влево и вправо от точки пересечения).

у-2│=│х-1│-1

у у1

у-2│=│х-1│ 3

2 01 х1

1

-2 -1 0 1 3 4 х

Рис.23

3. Случай прямолинейных границ.

Плоскость ХОУ может разбиваться на две полуплоскости любой прямой, либо разбиваться на ряд областей двумя или более прямыми, пересекающимися или параллельными. Уравнения этих прямых, являющихся границами областей, в которых исходное соотношение записывается тем или иным образом без знака модуля, модно получить, приравнивая нулю выражения, стоящие под знаком модуля, ибо при переходе через эти границы функции под знаком модуля меняют знак.

Задание 27.

Изобразите в плоскости ХОУ множество всех точек, координаты которых удовлетворяют равенству │у – х – 1│– х = 1.

Решение.

Приравнивая нулю выражение, стоящее под знаком модуля (у – х – 1=0), получаем уравнение прямой у = х + 1, разбивающей плоскость на две области: выше этой прямой (при у ≥ х + 1, т.е. у – х – 1≥0) геометрическим местом точек будет часть прямой у = 2х + 2, ниже (при у < х + 1, т.е. у – х – 1<0) - часть прямой у = 0 (рис. 24).

у у=2х+2 II у

2 у=х+1 у=х

1 III 1 I

-1 0 х -1 1 х

у=0

-1 у=-х

IV

Рис. 24 Рис. 25

Задание 28.

Изобразите в плоскости ХОУ множество всех точек, координаты которых удовлетворяют равенству │х - у│+ │х + у= 2.

Решение.

В данном примере мы уже имеем две прямолинейные границы. Приравнивая нулю выражения, стоящие под знаком модуля, получаем уравнения этих границ у = х и у = - х. Полученные прямые разбивают плоскость ХОУ на четыре области (рис. 25), в каждой из которых исходное уравнение принимает различный вид. В области I (при у ≤ х и у ≥ х) имеем х – у + х + у = = 2, т.е. х = 1; в области II (при у ≥ х и у ≥ - х) имеем – х + у + х + у = 2, т.е. у = 1. В области III (при у ≥ х и у ≤ - х) имеем – х + у – х – у = 2, т.е. х = - 1; в области IV (при у ≤ х и у ≤ - х) имеем х – у – х – у = 2, т.е. у = - 1. Таким образом, искомым геометрическим местом точек будут стороны квадрата (рис. 25).

29. Задание для самостоятельного решения.

Изобразите в плоскости ХОУ множество всех точек, координаты которых удовлетворяют равенству │х│ +│у│=1.

Для справки: на чертеже должен получиться квадрат с диагональю, равной 2 единичным отрезкам. При решении воспользуйтесь симметричностью графика относительно осей координат, построив график функции х + у = 1 при х ≥ 0, у ≥ 0.

4. Способ разбиения на отдельные уравнения.

Выражение │F(x,у)│ = а, где а > 0, эквивалентно двум уравнениям F(x,у) = а и F(x,у) = - а. Поэтому построение геометрического места точек вида │F(x,у)│ = а сводится к построению геометрических мест точек видов F(x,у) = а и F(x,у) = - а.

Заметим попутно, что при построении геометрических мест точек такого вида (да и любых других) полезно использовать чётность по одной или двум координатным осям. Это экономит время при выполнении заданий.

Задание 30.

Изобразите в плоскости ХОУ множество всех точек, координаты которых удовлетворяют равенству ││х│ -│у││=1.

Решение.

Выражение чётно по двум координатным осям, поэтому достаточно провести построение лишь при х ≥ 0, у ≥ 0, т.е. в первом квадранте, где уравнение имеет вид │х - у│= 1. Последнее выражение эквивалентно двум уравнениям х – у = 1 и х – у = - 1, определяющим две параллельные прямые, построение которых и произведём (с учётом ограничения выполняем построение только двух лучей, расположенных в первом квадранте). Далее, используя чётность (проведя отражения относительно осей координат), получим искомое геометрическое место точек (рис. 26).


у у

у=х+1 ││х│ - │у││= 1

у=х-1

1 х 1 х

0 1 -1 0 1

-1 -1

Рис. 26

Полезно запомнить, что в случаях расположения переменных х и у одновременно внутри знака модуля, графики многозначных функций следует строить, применяя это свойство двойной чётности.

Задание 31.

Изобразите в плоскости ХОУ множество всех точек, координаты которых удовлетворяют равенству ││х│ + │у│- 3│=2.

Решение.

При построении используем двойную чётность и способ разбиения на два уравнения, как и в предыдущем примере. Работая в первом квадранте (при х ≥ 0, у ≥ 0), получим два уравнения у = - х + 5 и у = - х + 1. Выполним построение частей этих прямых, далее отражаем построенные два отрезка симметрично относительно обеих осей координат. Искомым геометрическим местом точек является совокупность двух квадратов, показанных на рис. 27.

у

5

х

-5 -1 1 5

-5 Рис. 27

6. Задания для самостоятельного решения

Постройте графики функций:

32) у = - 2 - │х -1│; 33) у = 1/3 │х│ -2; 34) у = │2│х│- 3│;

35) у = - │х-1│; 36) у = 1 - │х│; 37) у = │х + 2│- 1; 38) у = │││х│- 2│ - 1│

39) у = │2х - 1│-│2х +2│; 40) у = │0,5х +1│-│0,5х -2│.

Постройте геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнениям:

41) │у│ = 1 – х; 42) │у - 1│ = х; 43) ││х│-│у│ + 3│ = 2; 44) ││х│+

+│у │- 2│ +2; 45) │у + 2│ = │х - 1│.

§5. Построение графиков функций, содержащих знаки модуля, на основе дробно-линейной функции.

Определение. Дробно-линейной (или гиперболической) называют функцию вида

у = , с≠0.

Эту функцию можно представить также в эквивалентном виде

у = p + , с ≠0, (выделение целой части из дроби).

Чтобы выделить целую часть из дроби, можно разделить «уголком» числитель на знаменатель; тогда получим целое число p, а остаток от деленияk запишем числителем дробной части (знаменатель сохранится).

Чаще в конкретных заданиях применяют другой (искусственный) способ выделения целой части из дроби. Позднее рассмотрим этот способ на примере.

Отметим некоторые особенности графиков гиперболической функции.

1. Функции имеют вертикальную асимптоту х = - d/с.

2. Функции имеют горизонтальную асимптоту у = а/с или у = p.

3. График симметричен относительно точки (- d/с; а/с) или (- d/с; p).

4. При k/с>0 график расположен к «северо-востоку и к юго-западу» от точки симметрии.

При k/с <0 график расположен к «северо-западу и к юго-востоку» от точки симметрии.

5. Пересечение с осями координат находим стандартным образом:

для определения точки пересечения с осью ОХ следует положить у = 0 и найти х;

для определения точки пересечения с осью Оу следует положить х = 0 и найти у.


у у1 k/с>0

01 х1

0 х Ось О1 Х1 : у = p = а/с – горизонтальная

асимтота,

ось О1 У1 : х = - d/с – вертикальная

асимптота.

Рис. 28

Задание 46.

Рассмотрим пример: построить график дробно-линейной функции

у = .

Решение.

Выделим целую часть из данной дроби:

у = = = 1 - .

Для построения графика данной функции преобразуем прямоугольную систему координат ХОУ, осуществив параллельный перенос на вектор ОО1= (-1;1), и в преобразованной системе координат Х1О1У1 построим график прямой пропорциональности у = - 4/х (рис. 29).


у1 у

01 1 х1

-1 0 3 х

Рис. 29

Построить графики функций в заданиях 47 и 46.

Задание 47. у = . Задание 48. у = .

Решение.

Используя метод преобразования прямоугольной системы координат (смотри предыдущую главу), выполним построение графиков заданных функций.

В первом случае осуществим параллельный перенос системы ХОУ на вектор ОО1=(2;0), и в новой системе координат Х1О1У1 построим график функции у = , для чего используем свойство чётности функции относительно оси О1Х1 , т. е. строим ветвь гиперболы при х > 0 и выполняем зеркальное отображение этой ветви относительно оси О1Х1 (Рис.30).

Во втором случае выполняем параллельный перенос прямоугольной системы координат ХОУ на вектор ОО1=(0;-3) и в новой системе координат Х1О1У1 построим график функции у = , аналогично рассмотренному выше (Рис.31).

у у1 у


3 О х

-2 2


О 2 О1 х -3 х1

О1

Рис. 30 Рис. 31

Построить графики функций в заданиях 49 и 50.

Задание 49. у = – 3. Задание 50. у = .

Решение.

Для построения графика функции в первом случае осуществим параллельный перенос системы ХОУ на вектор ОО1=(2;-3) и в системе координат Х1О1У1 построим график функции у = (Рис.32). Заметим, что график будет симметричен относительно оси О1У1 и располагаться выше оси О1Х1.

Для построения графика функции во втором случае необходимо отрицательную часть выше построенного графика в системе ХОУ отразить симметрично оси абсцисс ОХ, т.е. график функции у = будет располагаться выше оси абсцисс и симметричен относительно прямой х = 2 (Рис.33).

у у1 у у1



О 2 4 х О 2 4 х

-3 -3 О1

О1 х1 х1

Рис. 32 Рис. 33

№9. Выполните самостоятельно построение графиков следующих функций: 51) у = + 4; 52) у = .

Примечание: примите во внимание, что =.

53) у = ; 54) у = ; 55) у = .

№10. Осуществляя переход от функций, содержащих знаки модуля, к блочно-кусочным функциям, выполните построение графиков следующих функций:

56) у = 57) у = 58) у = 59) у 60) у = ,

61) у = 62) у = 62) у =

§6. Построение графиков функций, содержащих знак модуля, на основе квадратичной зависимости.

Прежде, чем начнём рассмотрение методов построения графиков функций, содержащих знак модуля на основе квадратичной зависимости, вспомним алгоритмы построения графиков обычных квадратичных функций.

Напомним, что функция вида у = ах2 + вх + с, где а,в,с – произвольные числа, причём а ≠ 0, называется квадратичной функцией. Это название объясняется тем, что старший член трёхчлена ах2 + вх +с содержит х в квадрате.

Снова для построения графика квадратичной функции мы будем использовать метод преобразования прямоугольной системы координат, а не метод преобразования графиков. Потому что, если вы математик, то предпочтёте перейти к вспомогательной системе координат и выполнить построение только одного графика, а не строить три или более графиков.

Выделив полный квадрат из квадратного трёхчлена и записав функцию в виде у = а(х + t)2 + m, находим координаты вершины параболы (-t;т). Эта точка будет являться началом новой вспомогательной системы координат, т.е. точка О1(-t;т) будет вершиной параболы.

Координаты параболы можно найти, не выделяя полного квадрата, а вычислить по формуле абсциссу вершины х = , ординату найдём по формуле у0 = f(x0), где f(x) = ах2 + вх +с .

Алгоритм.

1. Перейти к вспомогательной системе координат, проведя (пунктиром) вспомогательные прямые х = - t, у = т, т.е. выбрав в качестве начала новой системы координат точку О1(-t;т).

2. К новой системе координат «привязать» график функции у = f(х), т.е. в системе координат Х1О1У1 построить график функции у = ах2.

Задание 63.

Построить график функции у = х2- 4х +5.

Решение.

Выделим полный квадрат х2- 4х +5 = (х2-4х +4) +1= (х – 2)2 +1.

Для построения графика функции у=(х- 2)2 + 1 перейдём к вспомогательной системе координат с началом в точке О1(2;1), т.е. проведём вспомогательные прямые (оси Х1О1 и О1У1) пунктиром. «Привяжем» функцию у = х2- 4х +5 к новой системе координат, т.е. в системе координат Х1О1У1 построим по точкам параболу у = х2 (Рис.34).

у у1

5

1 о1 х1

о х

2

Рис. 34

Задание 64.

Построить график функции у = │4 - х2 │.

Решение.

Аналитическая запись функции содержит знак «внешнего» модуля, поэтому график будет расположен в верхней координатной полуплоскости. Сначала построим график функции у = 4 - х2, т.е. параболу у = - х2 во вспомогательной системе координат ХО1У1 , где О1 =(0;4). А затем нижнюю часть графика отразим симметрично оси абсцисс в верхнюю часть координатной плоскости (Рис.35).

у


4

о1 х1

о х

-2 2

Рис. 35

Задание 65.

Построить график функции у = х2 -2 │х│ + 4.

Решение.

Аналитическая запись функции содержит знак «внутреннего» модуля, следовательно, заданная функция является чётной, а это означает, что график функции будет симметричен относительно оси абсцисс. Поэтому выполним сначала построение графика функции у = х2 -2 х + 4 при х 0, т.е. построим только ту часть параболы, которая будет расположена правее оси ординат. А затем, используя свойство чётности функции, отразим построенную часть параболы симметрично оси ординат в левую полуплоскость декартовой системы координат.

Для построения графика функции у = х2 -2 х + 4 применим алгоритм, рассмотренный выше.

Т.к. у = х2 -2 х + 4 = (х -1)2+ 3, то во вспомогательной системе координат Х1О1У1, где О1(1;3), строим ту часть параболы у = х2 , которая соответствует значениям х ≥ 0 основной системы координат (Рис. 36).

у у1


4

3 О1 х1

О 1 х

Рис. 36

Задание 66.

Построить график функции у = │-х2 +4│х│+5│.

Решение.

Поскольку функция у = f(│х│) является чётной, то её график симметричен относительно оси ОУ. Поэтому достаточно построить только правую часть графика (х ≥ 0), а затем зеркально отобразить её относительно оси ОУ. График функции у = │ f( х)│ получается из графика у = f(х) путём зеркального отражения нижней его части (у < 0) относительно оси ОХ.

Итак, приступаем к построению графика у = │ 2 +4│х│+5│. Алгоритм его построения следующий.

Находим вершину параболы у = 2 +4х+5= -(х2-4х+4)+9= -(х-2)2+9. Это будет точка О1(2;9). Построим пунктирными линиями вспомогательные оси координат О1Х1 и О1У1, в новой системе Х1 О1У1 по точкам строим ту часть параболы у = - х2, которая соответствует неотрицательным значениям основной системы координат ХОУ.

Затем построенную часть параболы зеркально отражаем относительно оси ОУ в левую часть координатной плоскости. Таким образом, на графике будет построена парабола у = 2 +4│х│+5.

Для выполнения задания осталось нижнюю часть графика функции у = 2 +4│х│+5 отразить симметрично относительно оси абсцисс ОХ в верхнюю полуплоскость основной системы координат (Рис. 37).


у у1

о1

9 х1

5

О х

-5 2 5

Рис. 37

Задание 67.

Поострить график функции у = │х2 -6│х│+8│.

Решение.

Алгоритм построения графика заданной функции совпадает с предыдущим.

Выделяем полный квадрат трёхчлена и определяем координаты вершины параболы: у = х2 - 6х + 8 = (х2 - 6х + 9 )- 1 = (х-3) 2 - 1. Выполняем построение вспомогательной системы координат Х1 О1У1 (пунктирными линиями), где точка О1(3;-1) является одновременно и началом новой системы координат, и вершиной параболы. В новой системе координат вычерчиваем часть параболы, соответствующую условию х ≥ 0, далее отражаем зеркально эту кривую в правую полуплоскость относительно оси ординат ОУ. И на последнем этапе нижнюю часть полученного графика отражаем симметрично оси абсцисс ОХ в верхнюю полуплоскость системы координат (Рис.38).

у у1

8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 х

- х1 Рис.38

Задание 68.

Используя алгоритм построения графика функции у =││1 – х2│- 3│:

у1= 1 – х2; у2 =│1 - х2│; у3 = │1 – х2│- 3; у4 = ││1 – х2│- 3│, самостоятельно выполните задание.

Задание 69 (для самостоятельной работы).

Выполните построение графиков функций: а) у = ││х2 – 2х│- 3│ (используйте цепочку преобразований у1=│х2 – 2х │; у2= │х2 – 2х│- 3; затем данный график); б) у = │х2-3х -4│; в) у = х2 -3│х│- 4; г) у = │х2 -3│х│ -4│; д) у = , х ≠ 0, х ≠ -1; е) у = х(│х + 2│+ │х - 4│; ж) у = , х ≠ 1.

Задание 70.

Построить графики функций: а) у =х(│х│-4); б) у =(│х│-2)(х + 2).

Решение.

а) Заметим, что функция у = х (│х│-4) нечётная, т.к. у(-х )= - х (│х│-4). Поэтому график функции будет симметричен относительно начала координат. А это значит, что нам достаточно построить график функции у = х (х - 4) при х ≥ 0 и отразить его симметрично относительно точки О(0;0) (Рис.39).


у у1 у


4

-2 0 2 х

-4 0 2 4 х О2

-4 -4

О1

Рис.39 Рис.40

б) Для построения графика функции у =(│х│-2)(х + 2) используем метод раскрытия модуля и переход к функциям, представленным в виде различных аналитических записей на различных областях значений аргумента.

При х ≥ 0 функция примет вид у = (х – 2)(х + 2)= х2 - 4. Следовательно, графиком этой функции будет парабола с вершиной в точке О1(0;-4) и ветвями, направленными вверх. (Строим только правую часть параболы, т.к. х ≥ 0).

При х < 0 функция примет вид у = (- х -2)( х+ 2)= - ( х+2)2. Графиком этой функции будет парабола с вершиной в точке О2(-2;0) и ветвями, направленными вниз. (Строим только левую часть параболы, т.к. х < 0 ) (Рис.40).

Задание 71.

Построить график функции у = │х - 1│(х + 3).

Решение.

Раскроем модуль: при х ≥ 1 у = ( х – 1)(х + 3). Графиком этой зависимости является парабола, пересекающая ось абсцисс в точках х = 1 и х = - 3, значит, абсцисса вершины будет равна х = - 1 (парабола симметрична относительно прямой х= -1), значение ординаты рассчитаем по формуле у(-1)=(-2)(+2)= - 4. Но выполняем построение только той части параболы, которая соответствует значениям х ≥ 1.

При х < 1 у = (1 – х)(х + 3)= - (х – 1)(х+ 3). Графиком этой зависимости является снова парабола, пересекающая ось абсцисс в точках х = 1 и х = - 3. Значит, абсцисса вершины будет равна х = - 1, но ветви параболы будут направлены вниз. Найдём значение ординаты у(-1)= - (- 2)(+2)= +4. Выполняем построение только той части параболы, которая соответствует значениям х < 1 (Рис.41).

у1 у у

4 4

3 3

-3 -1 0 1 х -2 0 1 2 х


-3

-4

Рис.41 Рис. 42

Задание 72.

Постройте график функции у = 2 – 4), х ≠ 1.

Решение.


х2 – 4, если х > 1,

Раскрываем модуль: у =

4 – х2, если х < 1. (Рис. 42).

Самостоятельно постройте графики функций:

а) у = │х - 3│(х + 1);

б) у = х │х - 4│; в) у = (│х│ - 2)(х + 1); г) у =│х - 2│(х + 2);

д) у =х2 – 9), х ≠ 3; е) у = 2 – х – 2), х ≠ - 1;

ж) у =2+6х); х ≠ 0; з) у= - 2-4х+3), х ≠ 0;

и) у =2 -2х), х ≠ 2; к)у = 2+4х+3), х ≠ 2.

Задание 73.

Изобразите в плоскости ХОУ множество точек, координаты которых удовлетворяют следующим уравнениям: а) │у│= х2 – 3х + 2; б) │у│=│х2 - 6х│.

Решение.

а) При у ≥ 0 у = х2 – 3х + 2. Выполняем построение той части параболы, которая соответствует неотрицательным значениям у. Заметим, что сумма коэффициентов квадратного трёхчлена равна нулю, следовательно, нулями функции являются значения х = 1 и х = 2. И на чертеже будет отсутствовать нижняя часть параболы между этими значениями.

Для построения оставшейся части графика при у < 0 достаточно выполнить зеркальное отображение построенной части графика относительно оси абсцисс (Рис.43).

у 9


2

0 1 2 х 0 3 6 х


-2

Рис.43 Рис.44

б) Так как функция │у│=│х2 - 6х│ содержит переменную у под знаком модуля, то график будет симметричен относительно оси абсцисс.

Алгоритм построения следующий:

выполняем построение графика функции при у ≥ 0 у =│х2 - 6х│=│(х2 – 6х + 9) - 9│= │(х – 3)2 - 9 │, а затем отражаем этот график симметрично оси абсцисс в нижнюю полуплоскость системы координат. (Заметим, что при у< 0 у =│х2 - 6х│= - │( х – 3)2 - 9 │, т.е. противоположен у = │(х – 3)2 - 9 │) (Рис.44).

Замечание.

При выполнении этого задания можно поступить ещё проще: множеством точек, удовлетворяющих заданному уравнению, является совокупность точек, принадлежащих двум параболам у = х2 - 6х и у = - х2 - 6х. Поэтому достаточно было построить обе параболы.

Задание 74.

Самостоятельно выполните задания.

Изобразите в плоскости ХОУ множество точек, координаты которых удовлетворяют следующим уравнениям: а) │у│= х2 – 4│х│ + 3; б) │у│=│х2 – 4х + 3│; в) │у│=2│х│- х2.

Несколько общих замечаний по поводу построения графиков функций, содержащих переменную у под знаком модуля.

1) Г.м.т. или графики многозначных функций вида │у│= f(х) симметричны относительно оси абсцисс, т.к. у = f(х),

f(х) ≥ 0.

2) Г.м.т. или графики многозначных функций вида │у│= f(│ х│) обладают двойной симметрией: и относительно оси абсцисс, и относительно оси ординат. Следовательно, достаточно построить часть графика функции у = f(х) в первой четверти и затем зеркально отразить его относительно обеих осей.

3) Г.м.т. или графиком многозначных функций вида │у│= │ f(х)│ является объединение графиков функций у = f(х). Заметим, что эта многозначная функция обладает осевой симметрией относительно оси абсцисс.

В третьем пункте §4 был рассмотрен метод прямолинейных границ при построении графиков многозначных функций. Но в качестве границ между областями могут быть не только прямые, но и любые кривые линии. Рассмотрим случай криволинейных границ.

Задание 75.

Построить г.м.т. плоскости, удовлетворяющих уравнению│у+1– х2│-2х = 1.

Решение.

В этом случае линией, разбивающей плоскость (х,у) на две различные области, будет парабола у+1– х2= 0. При у ≥ х2 – 1 исходное уравнение принимает вид у + 1 – х2 – 2х = 1, или у = х2 – 2х -2.

Таким образом, в данном случае геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют заданному соотношению, будет кривая, состоящая из части параболы у= х2+ 2х, заключённой внутри граничной параболы у = х2 – 1, и части другой параболы у = х2 – 2х – 2, расположенной вне граничной параболы у = х2 – 1 (Рис.45).

у

(Пунктирной линией показана граница,

разбивающая координатную плоскость

на две области (у = х2 – 1).

(Сплошной линией изображено г.м.т.,

удовлетворяющее заданному соотноше-

1 нию.

-1 о 1 х

-3

Рис.45

Мы рассмотрели геометрические места точек, не имеющие разрывов на границах областей. Рассмотрим пример, когда на границах областей возникают разрывы.

Задание 76.

Построить геометрическое место точек плоскости, удовлетворяющих уравнению

1 – х2 – у2

у = х2∙ .

1– х2 – у2

Решение.

Приравнивая нулю выражение под знаком модуля, получаем уравнение границы х2 + у2 = 1, т.е. круг единичного радиуса с центром в начале координат. Очевидно, ни одна точка границы не принадлежит искомому геометрическому месту. При 1– х2 – у2 > 0, т.е. х2 + у2< 1 (область внутри окружности), уравнение принимает вид у = х2; вне круга, т.е. при 1–х2 –у2< 0, т.е. х2 + у2 > 1, имеем у = - х2. Таким образом, искомое геометрическое место точек будет состоять из части параболы у = х2, расположенной внутри окружности, и частей параболы у = - х2, расположенных вне окружности (Рис.47).

у у

IV

1

х

I -2 о -1 -1 х

III -1

Рис.46 Рис.47

Задание 77.

Самостоятельно выполните построение г.м.т. плоскости, удовлетворяющих уравнению у = (х – 1).

Подсказка: примените основное свойство дроби, т.е. умножьте и числитель, и знаменатель на выражение (х + 2), запишите уравнение в виде

у = (х – 1)(х + 2). Но учтите, что границами, разделяющими плоскость (х;у) на четыре области, являются прямые у = х и х = -2, причём, точки прямой х = -2 принадлежат искомому г.м.т., а точки прямой у = х не принадлежат (Рис.46).

В области I (х>у, х≥-2), а также в области II (х<у, х≤-2) уравнение принимает вид у = (х+2)(х-1); в областях III (х>у, х≤-2) и IV (х<у, х≥-2) имеем у = - (х – 1)(х + 2). Далее работайте самостоятельно.

Глава II. Использование графиков функций для решения различных задач.

Умение строить графики функций не является самоцелью. Часто построение графиков связано с исследованием поведения функций. Однако необходимость построения графиков не ограничивается только этим. В ряде случаев графики облегчают нахождение решений уравнений, неравенств, систем уравнений и систем неравенств, сокращая и упрощая аналитические выкладки, и часто при этом являются единственным методом решения таких задач. А при решении уравнений или заданий с параметрами, содержащих модули, графический метод значительно упрощает работу. Кроме того, графический метод нередко применяется и при решении многих прикладных задач. В этой главе мы рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих использование графиков, не останавливаясь подробно на вопросах их построения, т.к. о методах построения вопрос рассматривался в предыдущих главах.

§1. Решение систем уравнений и заданий с параметрами.

Каждое из уравнений системы f1(x,у)=0,

f2(х,у)=0

представляет собой функциональную зависимость между переменными х и у. Обе функции f1 и f2 могут быть изображены графически. Координаты х и у точек пересечения или касания этих графиков являются решением исходной системы уравнений. Число общих точек графиков равно количеству решений. Если общих точек нет, то система несовместна, т.е. не имеет решений.

Задание78.

Решить систему уравнений: у – 3 = х(х - 4),

х - 2│у = 6.

Решение.

Для решения системы нужно построить графики функций у = х2 – 4х +3 и у = .

у у1 у


3 О х

-2 2

-2

О 2 О1 4 х -3 х1

-1 О1

Рис.48 Рис.49

Эти графики имеют две точки пересечения (рис. 48), т.е. система обладает двумя решениями (0;3) и (4;3).

Задание 79.

Решите систему уравнений: у = │х│- 2,

(у + 3)∙│х│ = 6.

Решение.

Целесообразнее эту систему уравнений тоже решать графическим методом. Выполняем в одной системе координат построение графиков функций у = │х│- 2 и у = - 3 (рис.49). Графики пересекаются в двух точках, а это означает, что данная система уравнений имеет два решения (-2;0) и (2;0).

Задание 80.

Найдите количество решений системы уравнений:

у - 3 = - │х - 2│,

у = .

Решение.

Применим графический метод, т.е. построим графики функций у=3-│х - 2│ и у = (рис.50). Так как графики заданных функций пересекаются в четырёх точках, то число решений данной системы равно четырём.

у у1 у у1

3 3


0 2 4 х 0 2 4 х

-3 -3 О1

О1 х1 х1

Рис.50 Рис.51

Задание 81.

При каких значениях параметра а уравнение =а имеет четыре решения?

Решение.

Применим графический метод. Запишем систему уравнений:

у = ,

у =а.

Построив графики функций, убеждаемся в том, что семейство прямых у = а пересекает график у = четыре раза при а(0;3) (Рис.51).

Задание 82.

Найти значение параметра т, при котором уравнение т = │- х2 + 4│ имеет три решения.

Решение.

Пусть у = т,

у = │- х2 +4│. Построим график функции у =│- х2+ 4│и прямую у = т так, чтобы она имела с кривой три общих точки (две точки пересечения и одну точку касания). Это достигается при т = 4 (Рис. 52).

у

у =│- х2+ 4│

4 т = 4

х

-2 0 Рис.52

Задание 83.

Найти наибольшее значение функции у = │- х2 +4│х│ +5│ при х (-5;5).

Решение.

у Построим график заданной функции.

Так как по условию значение переменной

х (-5;5), то по графику определяем, что

9 максимального значения данная функция

принимает при у = 9 (в двух точках).

На рисунке 53 пунктирная линия касается

кривой в двух точках.

5

Рис. 53

-5 0 5 х

Ответ: утах = 9 при х (-5;5).

§2. Решение уравнений и заданий с параметрами.

Для того, чтобы найти решение уравнения с одним неизвестным графическим способом, нужно, перенеся все члены в левую часть, представить это уравнение в виде f(x) = 0. После этого необходимо построить график функции у = f(x). Абсциссы точек пересечения или касания этого графика с осью х равны корням исходного уравнения. Если таких точек нет, то уравнение не имеет решения.

В ряде случаев при решении уравнений с одним неизвестным целесообразней воспользоваться другим методом. Для этого уравнение записывается в виде равенства f1(x)= f2(x) и заменяется системой двух уравнений:

у = f1(x),

у = f2(x),

решаемой графически. Абсциссы точек пересечения или касания графиков у = f1(x) и у = f2(x) равны корням исходного уравнения.

Задание 84.

Решить уравнение 2 - │х│= .

Решение.

Существует несколько вариантов решения этого уравнения. Можно воспользоваться переходом к системе уравнений у = 2 - │х│,

у = и построить графики этих функций, определив значения абсцисс точек пересечения (предоставляем самостоятельно решить этим способом задание).

А мы поступим так.

Преобразуем заданное уравнение:

(2 + х)(2 -│х│)= 4 или (2 + х)(│х│- 2)= - 4 , введём функции у = - 4 и

у = (2 + х)(│х│- 2).

Построим графики этих функций (воспользуемся заданием 70). Смотрите рис.55. Ответ: х = - 4 и х = 0.

у у

р=4

4

-4 -2 0 2 х

-4 0 4 х

-4 р=-4

-4 у = - 4

О1

у = х(│х│- 4) у = (2 + х)(│х│- 2)

Рис. 54 Рис.55

Задание 85.

При каких значениях параметра р уравнение х(│х│- 4)= р имеет два решения?

Решение.

Воспользуемся графиком задания №70(а) . Введём функции

у = х(│х│- 4) и у = р, построим графики этих функций (рис.54).

Так как только две прямые пересекают график или касаются графика функции

у = х(│х│- 4) в двух точках, то при р = 4 исходное уравнение имеет два решения.

Ответ: у = х(│х│- 4).

Задание 86.

Какое наибольшее количество корней может иметь уравнение а=│х2-6│х│+8│ и при каких значениях параметра а?

Решение.

у Воспользуемся графическим спо-

собом: построим графики функций

у =│х2-6│х│+8│ и у = а.

8 Прямая у = 0 пересекает кривую в

двух точках, а при у (0; 1) пря-

мые пересекают кривую в восьми

точках. Прямая у = 1 имеет шесть

общих точек, а при у > 1 – четыре

Следовательно, наибольшее коли-

чество корней исходное уравнение

имеет при а (0;1).

о х

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Рис.56

Ответ: а(0;1).

Задание 87.

При каких значениях а число корней уравнения │х2 - 8│х│ + 7│= а равно а?

Решение.

Построим эскиз графика функции у = │х2 - 8│х│ + 7│, при этом учтём, что функция у – чётная и её график – симметричен относительно оси ординат, в силу чего можно ограничиться построением сначала только его правой части (х ≥ 0). Эскиз левой части графика функции при х > 0 получим, отразив эскиз правой части графика симметрично относительно оси оу. Также учтём, что трёхчлен х2 - 8х + 7 имеет корни х = 1 и х = 7, при х = 0 у = 7, а при х = 4 – минимум, равный у = -9.

На рисунке 57 пунктирными линиями изображена парабола у = х2 - 8х + 7 с минимумом утiп = 9 при хтiп = 4, и корнями х1 = 1 и х2 = 7; сплошными линиями изображена часть параболы у = │х2 - 8х + 7│при 1 < х < 7, полученная зеркальным отражением относительно оси абсцисс части параболы у = х2 - 8х + 7 при 1 < х < 7, а также весь график функции у = │х2 - 8│х│ + 7│, полученный зеркальным отражением правой части построенного графика относительно оси ординат в силу чётности функции.

у

9

7

-7 -1 0 1 4 7 х

-9 Рис.57

Проводя горизонтали у = а, аN, получаем k точек её пересечения с линиями эскиза графика. Имеем:

а

0

7

8

9

k

4

8

7

6

4

2

Таким образом, а = k при а = 7.

Ответ: 7.

Задание 88.

Сколько корней имеет уравнение │9 – х2│= 4 - │1 - х│?

Решение.

Построим эскизы графиков у = │9 – х2и у = 4 - │1 - х│. Так как графики на рисунке 58 пересекаются в трёх точках, то данное уравнение имеет три корня.

у

9

4

3

-3 0 3 х

Рис. 58

Ответ: 3.

Задание 89.

Во скольких точках прямая у = 3 пересекает график функции


у=│5-√х2-6х+9│?

Решение.

Выполняя эскизы графиков указанных функций, убеждаемся в том, что число общих точек равно четырём. При построении графика заданной функции выполним преобразования. Так как под квадратным корнем находится полный квадрат разности х2-6х+9 = (х – 3)2, но квадратный корень из квадрата двучлена равен модулю этого двучлена, то у = .

у

5

3 у = 3

-2 0 3 8 х

Рис.59

Ответ: в 4-х точках.

Задание 90.

Наитии область значений функции у = .

Решение.

Раскроем знаки модулей:

х – 1, если х (-;0),

у= 1 – х, если х (0;1),

х – 1, если х . Построим эскизы графиков функций у = х – 1 и у = х – 1 на указанных областях значений аргумента х (Рис. 60).

у По эскизу графика заданной функции

1 определяем, что проекцией графика на

ось ординат являются два промежутка

(-- 1) и .

0 1 х

-1

Рис.60

Ответ: у (-- 1) .

Задание 91.

При каких значениях параметра а уравнение имеет более двух корней?

Решение.

Выразим параметр а через х. Учтём, что при х = 0 3 + 3 = 6, т.е. независимо от значения параметра а данное уравнение будет иметь одно решение. Следовательно, х ≠ 0. Тогда а = . Далее решаем графически, полагая у = а. Выясним знаки выражений внутри модулей:

- - + - + + х

Раскрывая модули, получим функцию, записанную различными аналитическими выражениями на ограниченных участках оси абсцисс:

если х,

у = 0, если х ,

4 если х .

Выполняя построение графиков в плоскости (х;а), получим:

у

4

-3/2 0 3/2 х


-4 Рис. 61

При а = 0 уравнение имеет бесконечное множество решений на промежутке , при других значениях параметра а число решений не превышает двух.

Ответ: а = 0.

Задание 92.

При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение? Найти это решение.

Решение.

Разрешим это уравнение относительно параметра а. Заметим, что при х= 2

уравнение примет вид 5 = 0 а, значит, х ≠ 2. Разделив обе части уравнения на ≠ 0, получим уравнение а = . Выясним знаки каждого выражения, стоящего под знаком модуля.

- - + - + +

-3 2 х

Раскрываем модули:

а = если х ,

у = а = если х

а = если х

При построении каждого из графиков выделим целые части из дробей:

а = ; а =.

у


3/2

1

-3 0 2 х

Рис.62

На рисунке 62 видно, что уравнение имеет единственное решение при а = 1 и а = 0.

Если а = 1, то тогда х + 3 = 2 – х, х = - 0,5.

Если а = 0, то х = – 3 .

Ответ: х = – 3 при а = 0, х = – 0, 5 при а = 1.

§3. Решение неравенств с одним неизвестным.

Наглядность, свойственная графическому методу, при решении неравенств ещё более ценна, чем при решении уравнений или систем уравнений. Способы решения остаются теми же. Сами же решения, в отличие от решений уравнений или систем уравнений, чаще изображаются на графике не только отдельными точками, но и целыми участками числовой оси.

Задание 93.

Решите неравенство .

Решение.

Решением этого неравенства является множество тех значений х, при которых график функции у= проходит не ниже графика функции у = .

Абсцисса точки пересечения х = 1 этих графиков тоже является частью решения неравенства . Выполняем построение графиков функций у = и у = (Рис.63).

у

у =

3

2 у =

-1 0 1 3 Рис. 63

Из рассмотрения графиков находим решение х1.

Ответ: х1.

Задание 94.

Решите неравенство х2 – 6 >│х│.

Решение.

Решим неравенство графическим способом, построим графики функций у = х2 – 6 и у =│х│ (Рис.64). Замечаем, что парабола расположена выше сторон

прямого угла при следующих значени-

у ях х(-;-3)(3;).

у =│х│

3

-3 0 3 х

у = х2 – 6

Рис.64 -6 Ответ: х(-;-3)(3;).

Задание 95.

Сколько раз функция у = принимает целые значения меньшие 2?

Решение.

Построим графики функций у = и у = 2 (рис.65), которые пересекаются в четырёх точках. Так как по условию < 2 и весь график данной функции расположен не ниже оси абсцисс, то только прямая у = 1 пересекает этот график (и тоже в 4-х точках) так, что функция у принимает

у


3

2 у = 2

у = 1

0 2 5 8 х

Рис.65

целые значения, равные единице.

Ответ: 4 раза.

Задание 96.

Решите самостоятельно неравенства:

а) │х2 + х - 6│> 2 – х; б) х2 – 6 >│х│; в) г) 1.

Задание 97.

Самостоятельно решите графически уравнения:

а)│ 3 – х2│= б) 2 – 2х – х2 = в)

г) - х2.

§4 . Решение неравенств с двумя неизвестными и решение системы неравенств с двумя неизвестными.

Решением неравенства с двумя неизвестными х и у называется любая пара чисел х0 и у0, удовлетворяющая этому неравенству. Графически это соответствует заданию точки с координатами 0;у0). Совокупность всех точек, координаты которых удовлетворяют некоторому неравенству, называется областью его решений.

Для графического решения неравенства с двумя неизвестными необходимо построить график функции у = f(х) (для неравенства вида у > f(х) и у < f(х)) или геометрическое место точек F(x,у) = 0 (для неравенства вида F(x,у) ≥ 0 и F(x,у )≤ 0). Такие построения разбивают всю плоскость (хоу) на две или более областей. Область, в которой выполняется неравенство, и представляет собой область его решений.

Решением системы неравенств с двумя неизвестными является при графическом способе пересечение областей решения каждого из неравенств заданной системы.

Задание 98. Решить неравенство у > х2 – 5х +4.

Решение.

График функции у = х2 – 5х +4 представляет собой параболу. Координаты

любой точки, лежащей выше параболы, удовлетворяют заданному неравенству (на рис.66 область решений неравенства закрашена, причём точки самого графика в эту область не входят).

у

4

0 1 4 х

-2,25 Рис.66

Задание 99.

Решим систему неравенств у ≥ х2 – 6,

у ≤ │х│.

Решение.

у

Решим систему неравенств графи-

чески, т.е. построим графики функций

3 у = х2– 6 и у =│х│. Решением системы

двух неравенств является совокупность

точек внутренней области между по-

-3 0 3 х строенными графиками вместе с точка-

ми границы области (Рис. 67).

-6 Рис.67

Графическое изображение зависимостей между величинами, характеризующими то или иное явление, нашло широкое распространение во всех естественных науках и технике. В предыдущих разделах был рассмотрен ряд примеров использования графиков при решении уравнений, систем уравнений, неравенств и систем неравенств. Однако применение графиков не ограничивается только этим. Графическим методом можно иллюстрировать и иногда решать целый ряд других задач (геометрических, физических, инженерных и др.).

Задание 100.

Найдите площадь геометрической фигуры, заданной системой неравенств

│х + 1│≤ у,

у ≤ 3 – │х│.

Решение.

Строим графики функций у = │х + 1│ и у = 3 – │х│. По графику определяем, что в пересечении областей решения данных неравенств получилась геометрическая фигура, а именно, прямоугольник со сторонами АВ= и ВС = ( длины сторон вычислили по теореме Пифагора из прямоугольных треугольников АВД и ВСЕ (Рис.68).

Следовательно, площадь фигу-

у ры равна произведению длин

сторон прямоугольника, т.е.

2 А АВВС=2= 4(кв.ед.)

С

В 1

-3 Е-2 -1 0 1Д 3 х

Рис. 68

Ответ: 4 кв.ед.

Задание 101.

Найдите площадь фигуры, задаваемой неравенством у ≤ √- х2 + 4х - 3.

Решение.

Так как у ≥ 0, то у ≥ 0,

у2 = - 3 + 4х – х2, (х – 2)2 + у2 = 1.

(х – 2)2 + у2 = 1 – это уравнение окружности с центром в точке (2;0) и радиусом, равным единице. Решением же неравенства у ≤ √- х2 + 4х +3 является совокупность всех внутренних точек между осью абсцисс и верхней полуокружностью (рис. 69). Следовательно, площадь полукруга будет равна π/2 кв.ед.

у

0 1 2 3 х

0 1 1 Рис.69 Ответ: π/2 кв.ед.

Задание 102.

Найти все значения параметра а , при которых система неравенств

х + а│ ≤ 4,

х – а – 1│≤ 5

имеет единственное решение.

Решение.

Имеем: - 4 х + а ≤ 4, - 4 – х а 4 – х,

- 5 х – а – 1 ≤ 5 х – 6 а 4 + х.

Изобразим множество точек в плоскости (хоа) (рис. 70). Решением системы являются все точки внутри и на границе прямоугольника. Система имеет единственное решение при двух значениях параметра: а

а

а 4 + х.

4

- 4 – х а

х – 6 а

-4 0 4 6 х

а 4 – х

-4

-6 Рис. 70

Ответ: а

Задание 103.

Выполните самостоятельно следующие упражнения.

а) Решите систему неравенств, выделив в первом неравенстве полные квадраты двучленов х2+ у2 +12 ≤ 4х + 6х,

у + │х – 2│≤ 4.

б) х2+ у2 + 7 ≤ 4у – 4х,

у – 2│≤ х + 3.

в) Изобразите на плоскости множество точек, координаты (х;у) которых удовлетворяют условию: у – 3 < х2 - 4│х│.

д) Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством, и вычислите её площадь х2 + у2 ≤ 4│у│.

§5. Решение тестовых заданий итоговой аттестации 2006 года в 9-х классах.

В5. (Вариант 901). Найдите расстояние между точками пересечения графика функции у = │х-2│-4 с осью абсцисс.

Решение.

Построим график заданной функции. Воспользуемся методом преобразования системы координат (ХОУ): выполним параллельный перенос на вектор ОО1= и во вспомогательной системе координат 1О1У1) построим график функции у = │х│. По графику определим расстояние между точками пересечения графика функции у = │х-2│-4 с осью (ОХ). Это расстояние равно 8 (рис. 71).

у у1

-2 0 2 6 х

-2

-4

О1 х1

Рис.71

Ответ: 8.

Выполните самостоятельно те же задания части В5 из вариантов:

№ 902 для функции у = │х-1│-5

(Ответ: 10),

№ 903 для функции у = │х-3│-6

(Ответ: 12),

№ 904 для функции у = │х-3│-5

(Ответ: 10).

№ 92. Задание В10. Найдите сумму целых значений х, для которых гипербола у = лежит ниже прямой у = 2, при х . (Ответ:5).

92. Задание С5. Найдите сумму целых значений а, при которых система уравнений у = х + а, имеет решения.

х2 + у2 = 4 (ответ: 0).

С6. (Вариант № 904). Найдите все значения а, при которых система уравнений

у = а – │х│,

х2 + у2 = 4 имеет 4 различных решения.

Решение.В прямоугольной системе координат построим г.м.т. плоскости, удовлетворяющих уравнению х2 + у2 = 4 заданной системы. Это есть окружность с центром в начале координат О(0;0) и радиусом R = 2 (рис.69).

у В этой же системе строим график

функции у = - │х│, т.е. прямой угол с

а = 2 вершиной в начале координат и луча-

2 ми, направленными вниз под углом

-45º к оси ОХ .

-2 ооо 2 х Перемещая этот график, (скользя

вершиной по оси ординат вверх), заме-

чаем, что при расположении вершины

-2 выше у = 2 и ниже у = 2 графики

пересекутся 4 раза, т.е. система задан-

Рис. 72 ных уравнений имеет 4 различых решения при а = 4 (рис.72).

Ответ: а

Выполните аналогичные задания из третьей части С6 вариантов:

903 для системы уравнений у = │х│- а,

х2 + у2 = 4 .

Ответ: а

902 для системы уравнений у= а – │х│,

х2 + у2 = 9.

Ответ: а

901 для системы уравнений у = │х│- а,

х2 + у2 = 9.

Ответ: а

Задание С6 пробного варианта №92.

Найдите число решений уравнения √(х – 2)2 – 6│х - 2│ + 9 = а при а .

Решение.

Так как а = (х – 2)2 – 6│х - 2│ + 9 =√(│х-2│- 3 )2 = ││х-2│-3│, то применим графический метод. Построим в системе (х;у) график функции у = ││х-2│-3│.

у По рисунку 73 видим, что пря-

3 мые у = а при а имеют по 4

2 а = 2 общих точки с графиком функции

1 а = 1 у = ││х-2│-3│.

-1 0 2 5 х Рис. 73 Ответ: 4.

§6. Задания экспериментальных экзаменационных работ (федеральный уровень).

II часть - №3.

С помощью графиков докажите, что уравнение │х│= 5 – 4х – х2 имеет два корня. Найдите меньший корень этого уравнения.

Решение.

Приравняем обе части уравнения к у и запишем систему уравнений:

у = │х│,

у = 5 – 4х – х2. Построим графики функций у = │х│ и у = 5 – 4х – х2.

Для построения графика квадратичной зависимости в трёхчлене выделим полный квадрат двучлена для определения координат вершины параболы:

5 – 4х – х2 = - ( х2 + 4х – 5) = - ((х2 + 4х + 4) – 9) = - (х + 2)2 + 9. Следовательно, вершина параболы будет расположена в точке О1(-2;9).

Построим вспомогательную систему координат Х1О1У1 и в ней параболу

у = - х2. В основной системе координат строим график функции у = │х│ (рис.74). Графики пересекаются в 2-х точках, следовательно, данное уравнение

у1 у имеет два решения. Меньшим кор-

О1 нем будет являться значение абсцис-

9 х1 сы левой точки пересечения графи-

ков, а именно, х - 4.

Вычислим точное значение при

5 х< 0: х = .

4

-5 -4 -2 0 1 х

Рис.74 Ответ: х =

II часть - №4.

С помощью графиков определите, сколько решений имеет система уравнений: х2 + у2 = 9,

у2 – ху = 0.

Решение.

Первое уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 3.

Преобразуем второе уравнение у2 – ху = у(у – х) = 0, т.е. у = 0 или у = х,

графиком второго уравнения является совокупность двух прямых: биссектрисы первого и третьего координатных углов и координатной прямой (оси ординат).

На рисунке 75 видим, что окружность пересекается с этими прямыми в 4-х точках, значит, данная система имеет 4 решения.

у

3 х=у

-3 0 3 х

х2 + у2 = 9

-3

Рис. 75 Ответ: 4 решения.

II часть - №5.

С помощью графиков определите, при каких значениях параметра р уравнение │х│ = х – р имеет единственный корень.

Решение.

Пусть у = │х│ и у = х – р, построим графики этих функций в одной системе координат (рис. 76). Если р = 0, то прямая у = х при х ≥ 0 совпадёт с правой частью первого графика, а это означает, что данное уравнение будет иметь мно-

у жество решений. Если р < 0, то прямая

у = х – р будет параллельна лучу ОА и

пересекать луч ОВ, а, следовательно,

А данное уравнение │х│ = х – р в этом

случае будет иметь единственное ре-

шение. При р > 0 прямая у = х – р не

0 х будет иметь общих точек с графиком

функции у = │х│.

Рис.76

Ответ: р < 0. х2

§7. Решение заданий тематических тестов Иванова А.П.

№1. Наименьшее значение функции у = +х2 равно

а. 1 б. 2 в. 3 г. 4 д.5.

Решение.

Преобразуем: у = : у1 = -3х + 4, если х <0; у2 = - х +4, если 0 ≤ х < 2

и у3 = 3х – 4, если х ≥ 2. Установим знаки на промежутках, где меняется аналитическая запись функций:

-- -- + -- + + Построим графики всех трёх функций,

0 2 х каждую на своём ограниченном участке
(рис. 77). По графику определим наименьшее значение заданной функции у = +х2 , оно достигается в точке А(2;2).

Ответ: б

у у

4 3

2 А 1

-1 0 1 2 х

0 2 х -1

Рис. 77 Рис. 78

№2. Множество значений функции у = при х совпадает с отрезком а. б. в. г. д.

Решение.

Раскрыв модуль, убеждаемся в том, что при х ≥ 1 у = х2 – 1, при х < 1 у = 1 – х2. Строим графики функций с учётом ограничений (рис.78).

При х функция принимает значения от 0 до 3. Следовательно, у при заданном ограничении аргумента х.

Ответ: а.

№3. х2 + х – 2 х2 - х – 2

Линии у = + и х2 + у2 = а2 пересекаются

х – 1│ │х + 1│

в трёх точках, если а. │а│= 4 б. 4 <а< в. а│> 4

г. 2 <а<2 д. такое невозможно.

Решение.

При х > 1 у1 =

при – 1 < х < 1 у2 = – х – 2+ х – 2 = – 4, при х > 1 у3 = х + 2 + х – 2 = 2х .

Выполняя построение графиков при ограничениях, замечаем, что окружность, задаваемая уравнением х2 + у2 = а2 при значении радиуса а = │4 │ имеет три общих точки с построенным графиком, состоящим из трёх «кусков» (рис. 79), т.е. это случай касания окружности «нижнего куска» графика данной функции.

у

2

-4 -1 0 1 4 х

-4 Рис. 79

Ответ: а.

№4. Графики функций у = и у = а пересекаются ровно в трёх точках при а. а=1 б. а=2 в. а=3 г. а=4 д. а=5.

Решение.

Раскрыв скобки, получим у = х2 – 4│х│ + 3. Учитывая чётность функции, строим график функции у = х2 – 4х + 3 при х ≥ 0, а далее зеркально отражаем его относительно оси ординат (рис. 80). Прямая у = а пересечёт построенный график ровно три раза только при а = 3.

у у1 у



о1 у = а = 3 3

3

1 -2 -1 0 2 5 6 х

х

-3 -2 -1 0 1 2 3

Рис. 80 Рис. 81

Ответ: в.

№5. Множество значений функции у = при х совпадает с промежутком а. б. в. г. д. .

Решение.

Применяем графический метод решения задания (рис. 81). Во вспомогательной системе координат Х1У1О1 , где О1(2;-3), выполняем построение графика функции у = и отражаем нижнюю часть, находящуюся под осью ОХ, зеркально относительно оси абсцисс. Т.к. х , то проведя ограничительные прямые х = -2 и х = 6, по графику определяем, что минимальное значение функция принимает при у = 0, а максимальное – при у = 3. Т.к. функция является непрерывной на всей числовой прямой ОХ, а, значит, и на заданном промежутке, то множество значений у .

Ответ: в.

№6. Площадь фигуры, ограниченной линиями у = и у = 4, равна

а. 2,5 б. 5 в. 6 г. 12 д. 7.

Решение.

Графиком функции является «корыто» (рис. 82). Прямая у = 4 пересекает

у построенный график в двух точках

4 у = 4 (-1;4) и (3;4). При пересечении графиков

образовалась трапеция с высотой, рав-

2 ной 2 единицам, и основаниями, равны-

ми 2 и 4 единицам.

-1 0 2 3 х Рис. 82 Sтр.= 6.

Ответ: в.

№7. Расстояние между линиями х + у =3 и (х – 2– 1)2 + (у – 2 – 2)2= 1 равно а. 2 б. 2- 1 в. 3 г. 4 д. 5.

Решение.

Геометрическое место точек второго уравнения есть окружность с центром в точке А(2+ 1; 2+ 2) и радиусом, равным 1. Прямая у = – х + 3 пересекает ось абсцисс под углом 135º (к положительному направлению оси ОХ (рис.83). Расстоянием между графиками будет отрезок перпендикуляра между прямой у = – х + 3 и касательной к окружности в точке В, т.е. отрезок ВС.

у Расстояние АВ= 1(радиус). Найдём

уравнение прямой СВ (k = 1), в явном

2+2 А виде уравнение будет иметь вид:

у = х + т. Для нахождения значения

3 В свободного члена т в уравнение пря-

мой подставим координаты центра

С окружности: 2+ 2=2+ 1 + т,

Находим т = 2+ 2-2- 1= 1.

Уравнение прямой АС будет иметь

0 3 2+1 х вид: у = х + 1.

у = – х + 3 Найдём координаты точки С из систе-

мы уравнений: у = х + 1,

Рис. 83 у = – х + 3. С(1;2).

АС2=( 2+ 1 – 1)2+(2+ 2 – 2)2= 8 + 8 = 16, АС = 4, СВ = 4 – 1=3.

Ответ: в.

№8. Наименьшее значение выражения х2 + у2 в области 5х + 12у ≥ 13

а. 4 б. 2 в. 1 г. 2 д. 6,5.

Решение.

Построим прямую у = . Геометрическое место точек, удовлетворяющих заданному неравенству, есть полуплоскость, расположенная выше этой прямой. Рассмотрим семейство концентрических окружностей с центром в начале координат, задаваемых уравнением х2 + у2= с2 (рис.84).

Наименьшее значение выражения х2 + у2

у в заданной области будет на границе об-

В ласти в точке касания одной из концент-

А рических окружностей, а именно, в точке

А. Нам необходимо найти значение ради-

уса ОА. Найдём площадь прямоугольного

0 2,6 С х треугольника ОАС: S =

Рис. 84 С другой стороны, S = ОАВС.

По теореме Пифагора найдём длину гипотенузы ВС.

ВС2= , ВС =; следовательно,

S= Отсюда находим, что ОА = 1. Значит, минимальное значение выражения х2 + у2 в области 5х + 12у ≥ 13 равно 1.

Ответ: в.

№9. Число корней уравнения равно

а. 1 б. 2 в. 3 г. 4 д. 5.

Решение.

Для построения графика функции у = запишем цепочку

вспомогательных функций: у1 = , у2 = -, у3 =2-, и, наконец,

у = . Выполняем последовательно графики этих функций (на отдельных чертежах). На последнем рисунке строим прямую у = 1.

у у

у1 = у2 = -

-1 0 1 х


-1

1


-1 0 1 х


2

2

1 А В 1 Д Е у = 1

-3 0 3 х С

-3 -1 0 1 3 х

у3=2-, у =

Рис. 85

Ответ: 5 корней.

§8. Задания для самостоятельной работы с целью приобретения и закрепления навыков решения.

№1. Наименьшее значение х2 + у2 в области 3х + 4у ≥ 12 равно

а. 1,2 б. 1,44 в. 2,4 г. 5,76 д. 6.

№2. Область значений функции у = │3 – х│– 2 на промежутке х совпадает с множеством

а. б. в. г. д.

№3. График функции у = расположен выше прямой у = на множестве

а. (1;3) б. (- ; 1) (3; ) в. (1;4) г. (-1;1) (1;3) д. (3; ).

№4. Множество значений функции у = при х совпадает с отрезком

а. б. в. г. д. .

№5. Найти область значений функции у = , если х

а. б. в. г. д.

№6. Все значения х, при которых график функции у = находится ниже гиперболы у = , образуют множество

а. (2; ) б. (1; ) в. (-;2) г. (0;2) д. (5; ).

№7. Число нулей функции f(x)= при аравно

а. 1 б. 2 в. 3 г. 4 д. 0.

№8. Область значений функции у = совпадает с множеством

а. (-; б. в. г.

д.

№9. Наименьшее значение суммы х + у в области х2 + у2 ≤ 2х – 4у – 1 равно

а. б. в. – 3 г. д. наименьшего значения нет.

№10. Расстояние между точками пересечения графиков функций у = х2 и у = 2 - │х│ равно

а. 1 б. в. г. 4 д. 2.

№11. Область значений функции у = при х равна

а. б. в. г. д.

№12. Площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3 и у = , равна

а. 9 б. 5,5 в. 6 г. 4 д. 4,5.

№13. Сколько раз функция у = принимает целые значения, меньшие 2?

а. 0 б. 2 в. 6 г. 8 д. .

№14. Все значения параметра а, при которых графики функций у = и у = не имеют общих точек, образуют множество

а. б. в. г. д.

№15. Значение площади области, ограниченной графиками функций у = у = и содержащей внутри себя точку (0;-1), заключено в промежутке

а. б. в. г. д. такая область не существует.

№16. Расстояние между линиями у = х2 + х – 1 и у = х – 1 – равно

а. 1 б. 2 в. 3 г. д.

№17. Площадь фигуры, ограниченной линиями у = и у = 3, равна

а. 2,5 б. 5 в. 6 г. 5,5 д. 7.

№18. Графики функций у = и у = а пересекаются ровно в трёх точках при а, равном

а. -1 б. -2 в. -4 г. 4 д. 6.

№19. Наибольшее значение выражения у – х в области х2 + у2 ≤ 2 равно

а. 0 б. в. + 1 г. 2 д. 0,5.

№20. Все значения параметра а, при которых расстояние между точками пересечения графиков функций у = 4 – и у = а меньше 1, образуют множество

а. б. (0;4) в. (0;2) г. д. (2;6).

№21. Расстояние между линиями х – у= 3 и (х - 2 – 1)2+ (у + 2+ 2)2=1 равно

а. 3 б. в. 2 – 1 г. 4 д. 5.

№22. х2 + х – 2 х2 – х – 2

Линии у = + и х2 + у2 = а2

х + 2│ │х – 2│

пересекаются в трёх точках, если

а. │а│= 4 б. 4 <│а│< в. │а│> 4 г. 2<│а│<

д. такое невозможно.

Ответный код: 1 – г, 2 – б, 3 – г, 4 – б, 5 – б, 6 – г, 7 – б, 8 – а, 9 – в,

10 – д, 11 – г, 12 – д, 13 – в, 14 – д, 15 – б, 16 – а, 17 – а, 18 – д, 19 – г, 20 – г,

21 – а, 22 – д.

Заключение.

Остановимся на некоторых практических рекомендациях, которые помогут избежать характерных ошибок.

Переводя условия задач на математический язык, не пренебрегайте ни одним из них, каким бы малозначащим оно ни казалось, и не интерпретируйте их по-своему. Переходя к записи ответа, прочитайте задание ещё раз и отвечайте обдуманно на поставленный вопрос.

Приступая к непосредственному решению задачи, следует при возможности провести упрощение заданных выражений, уравнений и т. д. Громоздкие выражения или функции следует разбивать на фрагменты, преобразуя в дальнейшем каждый фрагмент в отдельности или строя график каждой функции в цепочке преобразований отдельно.

Увидев и прочитав задание, подумайте о рациональном способе решения (алгебраическом или графическом).

При решении задач, например, на отыскание количества корней или целых корней уравнения смешанного типа и т.п., рекомендуется пользоваться графическим методом. При этом точное построение графиков не обязательно – можно ограничиться приближённым воспроизведением (эскизом), важно лишь, чтобы правильно были отмечены характерные особенности графика точки пересечения с осями, экстремальные точки, области знакопостоянства и т.п. Пользуйтесь свойствами чётности или нечётности функций, выполняя при этом построение части графика в первом координатном углу (х ≥ 0, у≥ 0), и в дальнейшем осевой или центральной симметрией.

Хотелось бы предупредить от одной характерной ошибки, допускаемой учащимися. Если Вам встретилось задание, похожее на уже выполнявшееся вами, не занимайтесь воспоминаниями, как это задание выполнялось раньше,- выполняйте его как новое, ибо прошлого решения можно и не вспомнить, или спутать с каким-либо другим, и при этом потерять время на воспомининие.

При работе с учебно-тренировочными материалами пособия, прочитав задание, попытайтесь решить её самостоятельно, не заглядывая в решение, предложенное вам. Не исключено, что Ваше решение может оказаться другим, а может и более рациональным или оригинальным. Если же все Ваши попытки окажутся безуспешными, посмотрите начало решения, указанного в пособии, не пытайтесь просматривать всё решение сразу. Не исключено, что Вам будет достаточно какой-то начальной идеи, чтобы завершить решение задания самостоятельно. И только если и в этом случае задачу решить не удастся, ознакомьтесь с её решением до конца. После этого обязательно прорешайте задачу самостоятельно от начала до конца, отметив применённые подходы, приёмы и т.п., которые Вы забыли или Вам были не известны.

Напоследок, хотелось бы привести слова выдающегося математика А.Н. Колмогорова: «Математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески, так что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно».

Удачи вам!

Литература.

1. Графики функций: Учебное пособие для поступающих в вузы. – М.: Высшая школа. 1972.

2. Планирование учебного материала для IX класса с углублённым изучением математики (методические рекомендации). – М.: Московский городской институт усовершенствования учителей, 1990.

3. Галицкий М.М., Гольдман А.М., Звавич Л.И. и др. Сборник задач по алгебре (учебное пособие для 8-9 классов с углублённым изучением математики). – М.: Просвещение, 2002.

4. Фальке Л.Я., Лисничук Н.Н., Крыжановская Е.Н. и др. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе (учебно-методические материалы по математике). – М.,2004.

5. Клейменов В.А. Математика. Решение задач повышенной сложности. – М.: Интеллект – Центр, 2004.

6. Иванов А.П. Тесты для систематизации знаний по математике (9 класс): Учебное пособие. – ПГУ, 2006.

7. Шагин В.Л. 30 задач за 90 минут: Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике. – М.: ВИТА, 2004.

8. Фадеева О.М. Сборник программ курсов по выбору по математике и информатике (8-9 классы). – М.: Глобус, 2007.

Содержание.

Стр.

Программа курса по выбору «Построение графиков функций,

содержащих знак модуля»…………………………………………………………..3 Введение……………………………………………………………………………...8 Глава I. Построение графиков функций, содержащих модули, на основе линейной, дробно-линейной и квадратичной…………………………………….10

§1. Историческая справка………………………………………………………….10

§2. Функциональная зависимость. График функции…………………………….11

§3. Линейная функция у = kх + b, k≠0. Построение графиков функций

вида у = k│х│ + b, у =│ kх + b│, у =││ kх│ + b│, у – у0 = k│х – х0│,

у = │ k( х – х0)+ b │, у = │ k│ х – х0│+ b............................................................12

§4. Геометрическое место точек вида │у│ = f(x), т.е. функций, заданных

неявно в виде F(x;│у│). Геометрическое место точек вида │у│=│х│,

у – у0│=│х – х0и других………………………………………………………..18

§5. Построение графиков функций, содержащих знаки модуля, на

основе дробно-линейной…………………………………………………………...24

§6. Построение графиков функций, содержащих знак модуля, на основе

квадратичной зависимости……………………………………………………… .28

Глава II. Использование графиков функций для решения различных задач…...37

§1. Решение систем уравнений и заданий с параметрами………………………38

§2. Решение уравнений и заданий с параметрами………………………………..40

§3. Решение неравенств с одним неизвестным…………………………………...47

§4. Решение неравенств с двумя неизвестными и решение системы

неравенств с двумя неизвестными………………………………………………...49

§5. Решение тестовых заданий итоговой аттестации 2006 года в 9-х

классах………………………………………………………………………………52

§6. Задания экспериментальных экзаменационных работ (федеральный

уровень)……………………………………………………………………………..54

§7. Решение заданий тематических тестов Иванова А.П………………………..55

§8. Задания для самостоятельной работы с целью приобретения и

закрепления навыков решения…………………………………………………….60

Заключение………………………………………………………………………….62

Литература…………………………………………………………………………..63

Содержание…………………………………………………………………………64

Предлагаемое пособие содержит элективный курс для учащихся 8-9х классов в рамках предпрофильной подготовки: «Графики функций, содержащих знак модуля».

Пособие полезно учащимся и 10-11х классов при подготовке к ЕГЭ, может быть использовано учителями математики.

Цель – познакомить с методами построения графиков функций на основе элементарных, аналитическая запись которых содержит знаки модулей, и показать применение графического метода при решении разнообразных заданий, в том числе и заданий с параметрами.

1

Смотреть полностью


Похожие документы:

  1. 100 великих загадок 20 века

    Документ
    ... экз. Мольер. Мещанин (2шт) Момова А. Математика 11 класс. 2 экз Монапассан, Г-д Пышка Монголия. Справочник ... по обсл. Учащи Есенин С. А. Избранное 10 экз. Учебно-воспитательная (2шт) Учебно-воспитательная(2шт) Учебное пособие ...

Другие похожие документы..