Поиск

Полнотекстовый поиск:

Учебное пособие для подготовки к Единому государственному экзамену по математике в 9-х и 11-х классах и к олимпиадам в школе Чернушка

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Скачать

← предыдущая ... 5 6 7 8 9 10 следующая →

Смотреть полностью

Задание 82.

Найти значение параметра т, при котором уравнение т = │- х² + 4│ имеет три решения.

Решение.

Пусть у = т,

у = │- х²+4│. Построим график функции у =│- х²+ 4│и прямую у = т так, чтобы она имела с кривой три общих точки (две точки пересечения и одну точку касания). Это достигается при т = 4 (Рис. 52).

у =│- х²+ 4│

4 т = 4

-2 0 Рис.52

Задание 83.

Найти наибольшее значение функции у = │- х² +4│х│ +5│ при х (-5;5).

Решение.

у Построим график заданной функции.

Так как по условию значение переменной

х (-5;5), то по графику определяем, что

9 максимального значения данная функция

принимает при у = 9 (в двух точках).

На рисунке 53 пунктирная линия касается

кривой в двух точках.

Рис. 53

-5 0 5 х

Ответ: у_тах = 9 при х (-5;5).

§2. Решение уравнений и заданий с параметрами.

Для того, чтобы найти решение уравнения с одним неизвестным графическим способом, нужно, перенеся все члены в левую часть, представить это уравнение в виде f(x) = 0. После этого необходимо построить график функции у = f(x). Абсциссы точек пересечения или касания этого графика с осью х равны корням исходного уравнения. Если таких точек нет, то уравнение не имеет решения.

В ряде случаев при решении уравнений с одним неизвестным целесообразней воспользоваться другим методом. Для этого уравнение записывается в виде равенства f₁(x)= f₂(x) и заменяется системой двух уравнений:

у = f₁(x),

у = f₂(x),

решаемой графически. Абсциссы точек пересечения или касания графиков у = f₁(x) и у = f₂(x) равны корням исходного уравнения.

Задание 84.

Решить уравнение 2 - │х│= .

Решение.

Существует несколько вариантов решения этого уравнения. Можно воспользоваться переходом к системе уравнений у = 2 - │х│,

у = и построить графики этих функций, определив значения абсцисс точек пересечения (предоставляем самостоятельно решить этим способом задание).

А мы поступим так.

Преобразуем заданное уравнение:

(2 + х)(2 -│х│)= 4 или (2 + х)(│х│- 2)= - 4 , введём функции у = - 4 и

у = (2 + х)(│х│- 2).

Построим графики этих функций (воспользуемся заданием 70). Смотрите рис.55. Ответ: х = - 4 и х = 0.

у у

р=4

-4 -2 0 2 х

-4 0 4 х

-4 р=-4

-4 у = - 4

О₁

у = х(│х│- 4) у = (2 + х)(│х│- 2)

Рис. 54 Рис.55

Задание 85.

При каких значениях параметра р уравнение х(│х│- 4)= р имеет два решения?

Решение.

Воспользуемся графиком задания №70(а) . Введём функции

у = х(│х│- 4) и у = р, построим графики этих функций (рис.54).

Так как только две прямые пересекают график или касаются графика функции

у = х(│х│- 4) в двух точках, то при р = 4 исходное уравнение имеет два решения.

Ответ: у = х(│х│- 4).

Задание 86.

Какое наибольшее количество корней может иметь уравнение а=│х²-6│х│+8│ и при каких значениях параметра а?

Решение.

у Воспользуемся графическим спо-

собом: построим графики функций

у =│х²-6│х│+8│ и у = а.

₈ Прямая у = 0 пересекает кривую в

двух точках, а при у (0; 1) пря-

мые пересекают кривую в восьми

точках. Прямая у = 1 имеет шесть

общих точек, а при у > 1 – четыре

Следовательно, наибольшее коли-

чество корней исходное уравнение

имеет при а (0;1).

о х

_{-4 -3 -2 -1 0 1 2
3 4} Рис.56

Ответ: а(0;1).

Задание 87.

При каких значениях а число корней уравнения │х² - 8│х│ + 7│= а равно а?

Решение.

Построим эскиз графика функции у = │х² - 8│х│ + 7│, при этом учтём, что функция у – чётная и её график – симметричен относительно оси ординат, в силу чего можно ограничиться построением сначала только его правой части (х ≥ 0). Эскиз левой части графика функции при х > 0 получим, отразив эскиз правой части графика симметрично относительно оси оу. Также учтём, что трёхчлен х² - 8х + 7 имеет корни х = 1 и х = 7, при х = 0 у = 7, а при х = 4 – минимум, равный у = -9.

На рисунке 57 пунктирными линиями изображена парабола у = х² - 8х + 7 с минимумом у_т_i_п = 9 при х_т_i_п = 4, и корнями х₁ = 1 и х₂ = 7; сплошными линиями изображена часть параболы у = │х² - 8х + 7│при 1 < х < 7, полученная зеркальным отражением относительно оси абсцисс части параболы у = х² - 8х + 7 при 1 < х < 7, а также весь график функции у = │х² - 8│х│ + 7│, полученный зеркальным отражением правой части построенного графика относительно оси ординат в силу чётности функции.

-7 -1 0 1 4 7 х

-9 Рис.57

Проводя горизонтали у = а, аN, получаем k точек её пересечения с линиями эскиза графика. Имеем:

а	0		7	8	9
k	4	8	7	6	4	2

Таким образом, а = k при а = 7.

Ответ: 7.

Задание 88.

Сколько корней имеет уравнение │9 – х²│= 4 - │1 - х│?

Решение.

Построим эскизы графиков у = │9 – х²│и у = 4 - │1 - х│. Так как графики на рисунке 58 пересекаются в трёх точках, то данное уравнение имеет три корня.

-3 0 3 х

Рис. 58

Ответ: 3.

Задание 89.

Во скольких точках прямая у = 3 пересекает график функции

у=│5-√х²-6х+9│?

Решение.

Выполняя эскизы графиков указанных функций, убеждаемся в том, что число общих точек равно четырём. При построении графика заданной функции выполним преобразования. Так как под квадратным корнем находится полный квадрат разности х²-6х+9 = (х – 3)², но квадратный корень из квадрата двучлена равен модулю этого двучлена, то у = .