Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Внеклассное мероприятие'
От каждой команды в конкурсе участвует один человек (этот конкурс проводится, пока команды готовят коллективный рисунок). Ведущий называет растение, а...полностью>>
'Документ'
л Высота, м Цена, руб Береза повислая (ОКС) 3,5-4,0 500 Береза повислая (ЗКС) Ком 3,5-4,0 800 Береза повислая (ОКС) 4,1-5,0 3 00 Береза повислая (ЗКС)...полностью>>
'Документ'
Расследованию и учету в соответствии с Трудовым кодексом РФ подлежат несчастные случаи, происшедшие с работниками и другими лицами, участвующими в про...полностью>>
'Документ'
3. Построить производящую функцию для числа разложений числа на части, равные 1, 2 или 3. Построить непереборный алгоритм вычисления . Ответ должен бы...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Самостоятельно постройте графики функций:

а) у = │х - 3│(х + 1);

б) у = х │х - 4│; в) у = (│х│ - 2)(х + 1); г) у =│х - 2│(х + 2);

д) у =х2 – 9), х ≠ 3; е) у = 2 – х – 2), х ≠ - 1;

ж) у =2+6х); х ≠ 0; з) у= - 2-4х+3), х ≠ 0;

и) у =2 -2х), х ≠ 2; к)у = 2+4х+3), х ≠ 2.

Задание 73.

Изобразите в плоскости ХОУ множество точек, координаты которых удовлетворяют следующим уравнениям: а) │у│= х2 – 3х + 2; б) │у│=│х2 - 6х│.

Решение.

а) При у ≥ 0 у = х2 – 3х + 2. Выполняем построение той части параболы, которая соответствует неотрицательным значениям у. Заметим, что сумма коэффициентов квадратного трёхчлена равна нулю, следовательно, нулями функции являются значения х = 1 и х = 2. И на чертеже будет отсутствовать нижняя часть параболы между этими значениями.

Для построения оставшейся части графика при у < 0 достаточно выполнить зеркальное отображение построенной части графика относительно оси абсцисс (Рис.43).

у 9


2

0 1 2 х 0 3 6 х


-2

Рис.43 Рис.44

б) Так как функция │у│=│х2 - 6х│ содержит переменную у под знаком модуля, то график будет симметричен относительно оси абсцисс.

Алгоритм построения следующий:

выполняем построение графика функции при у ≥ 0 у =│х2 - 6х│=│(х2 – 6х + 9) - 9│= │(х – 3)2 - 9 │, а затем отражаем этот график симметрично оси абсцисс в нижнюю полуплоскость системы координат. (Заметим, что при у< 0 у =│х2 - 6х│= - │( х – 3)2 - 9 │, т.е. противоположен у = │(х – 3)2 - 9 │) (Рис.44).

Замечание.

При выполнении этого задания можно поступить ещё проще: множеством точек, удовлетворяющих заданному уравнению, является совокупность точек, принадлежащих двум параболам у = х2 - 6х и у = - х2 - 6х. Поэтому достаточно было построить обе параболы.

Задание 74.

Самостоятельно выполните задания.

Изобразите в плоскости ХОУ множество точек, координаты которых удовлетворяют следующим уравнениям: а) │у│= х2 – 4│х│ + 3; б) │у│=│х2 – 4х + 3│; в) │у│=2│х│- х2.

Несколько общих замечаний по поводу построения графиков функций, содержащих переменную у под знаком модуля.

1) Г.м.т. или графики многозначных функций вида │у│= f(х) симметричны относительно оси абсцисс, т.к. у = f(х),

f(х) ≥ 0.

2) Г.м.т. или графики многозначных функций вида │у│= f(│ х│) обладают двойной симметрией: и относительно оси абсцисс, и относительно оси ординат. Следовательно, достаточно построить часть графика функции у = f(х) в первой четверти и затем зеркально отразить его относительно обеих осей.

3) Г.м.т. или графиком многозначных функций вида │у│= │ f(х)│ является объединение графиков функций у = f(х). Заметим, что эта многозначная функция обладает осевой симметрией относительно оси абсцисс.

В третьем пункте §4 был рассмотрен метод прямолинейных границ при построении графиков многозначных функций. Но в качестве границ между областями могут быть не только прямые, но и любые кривые линии. Рассмотрим случай криволинейных границ.

Задание 75.

Построить г.м.т. плоскости, удовлетворяющих уравнению│у+1– х2│-2х = 1.

Решение.

В этом случае линией, разбивающей плоскость (х,у) на две различные области, будет парабола у+1– х2= 0. При у ≥ х2 – 1 исходное уравнение принимает вид у + 1 – х2 – 2х = 1, или у = х2 – 2х -2.

Таким образом, в данном случае геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют заданному соотношению, будет кривая, состоящая из части параболы у= х2+ 2х, заключённой внутри граничной параболы у = х2 – 1, и части другой параболы у = х2 – 2х – 2, расположенной вне граничной параболы у = х2 – 1 (Рис.45).

у

(Пунктирной линией показана граница,

разбивающая координатную плоскость

на две области (у = х2 – 1).

(Сплошной линией изображено г.м.т.,

удовлетворяющее заданному соотноше-

1 нию.

-1 о 1 х

-3

Рис.45

Мы рассмотрели геометрические места точек, не имеющие разрывов на границах областей. Рассмотрим пример, когда на границах областей возникают разрывы.

Задание 76.

Построить геометрическое место точек плоскости, удовлетворяющих уравнению

1 – х2 – у2

у = х2∙ .

1– х2 – у2

Решение.

Приравнивая нулю выражение под знаком модуля, получаем уравнение границы х2 + у2 = 1, т.е. круг единичного радиуса с центром в начале координат. Очевидно, ни одна точка границы не принадлежит искомому геометрическому месту. При 1– х2 – у2 > 0, т.е. х2 + у2< 1 (область внутри окружности), уравнение принимает вид у = х2; вне круга, т.е. при 1–х2 –у2< 0, т.е. х2 + у2 > 1, имеем у = - х2. Таким образом, искомое геометрическое место точек будет состоять из части параболы у = х2, расположенной внутри окружности, и частей параболы у = - х2, расположенных вне окружности (Рис.47).

у у

IV

1

х

I -2 о -1 -1 х

III -1

Рис.46 Рис.47

Задание 77.

Самостоятельно выполните построение г.м.т. плоскости, удовлетворяющих уравнению у = (х – 1).

Подсказка: примените основное свойство дроби, т.е. умножьте и числитель, и знаменатель на выражение (х + 2), запишите уравнение в виде

у = (х – 1)(х + 2). Но учтите, что границами, разделяющими плоскость (х;у) на четыре области, являются прямые у = х и х = -2, причём, точки прямой х = -2 принадлежат искомому г.м.т., а точки прямой у = х не принадлежат (Рис.46).

В области I (х>у, х≥-2), а также в области II (х<у, х≤-2) уравнение принимает вид у = (х+2)(х-1); в областях III (х>у, х≤-2) и IV (х<у, х≥-2) имеем у = - (х – 1)(х + 2). Далее работайте самостоятельно.

Глава II. Использование графиков функций для решения различных задач.

Умение строить графики функций не является самоцелью. Часто построение графиков связано с исследованием поведения функций. Однако необходимость построения графиков не ограничивается только этим. В ряде случаев графики облегчают нахождение решений уравнений, неравенств, систем уравнений и систем неравенств, сокращая и упрощая аналитические выкладки, и часто при этом являются единственным методом решения таких задач. А при решении уравнений или заданий с параметрами, содержащих модули, графический метод значительно упрощает работу. Кроме того, графический метод нередко применяется и при решении многих прикладных задач. В этой главе мы рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих использование графиков, не останавливаясь подробно на вопросах их построения, т.к. о методах построения вопрос рассматривался в предыдущих главах.

§1. Решение систем уравнений и заданий с параметрами.

Каждое из уравнений системы f1(x,у)=0,

f2(х,у)=0

представляет собой функциональную зависимость между переменными х и у. Обе функции f1 и f2 могут быть изображены графически. Координаты х и у точек пересечения или касания этих графиков являются решением исходной системы уравнений. Число общих точек графиков равно количеству решений. Если общих точек нет, то система несовместна, т.е. не имеет решений.

Задание78.

Решить систему уравнений: у – 3 = х(х - 4),

х - 2│у = 6.

Решение.

Для решения системы нужно построить графики функций у = х2 – 4х +3 и у = .

у у1 у


3 О х

-2 2

-2

О 2 О1 4 х -3 х1

-1 О1

Рис.48 Рис.49

Эти графики имеют две точки пересечения (рис. 48), т.е. система обладает двумя решениями (0;3) и (4;3).

Задание 79.

Решите систему уравнений: у = │х│- 2,

(у + 3)∙│х│ = 6.

Решение.

Целесообразнее эту систему уравнений тоже решать графическим методом. Выполняем в одной системе координат построение графиков функций у = │х│- 2 и у = - 3 (рис.49). Графики пересекаются в двух точках, а это означает, что данная система уравнений имеет два решения (-2;0) и (2;0).

Задание 80.

Найдите количество решений системы уравнений:

у - 3 = - │х - 2│,

у = .

Решение.

Применим графический метод, т.е. построим графики функций у=3-│х - 2│ и у = (рис.50). Так как графики заданных функций пересекаются в четырёх точках, то число решений данной системы равно четырём.

у у1 у у1

3 3


0 2 4 х 0 2 4 х

-3 -3 О1

О1 х1 х1

Рис.50 Рис.51

Задание 81.

При каких значениях параметра а уравнение =а имеет четыре решения?

Решение.

Применим графический метод. Запишем систему уравнений:

у = ,

у =а.

Построив графики функций, убеждаемся в том, что семейство прямых у = а пересекает график у = четыре раза при а(0;3) (Рис.51).



Похожие документы:

  1. 100 великих загадок 20 века

    Документ
    ... экз. Мольер. Мещанин (2шт) Момова А. Математика 11 класс. 2 экз Монапассан, Г-д Пышка Монголия. Справочник ... по обсл. Учащи Есенин С. А. Избранное 10 экз. Учебно-воспитательная (2шт) Учебно-воспитательная(2шт) Учебное пособие ...

Другие похожие документы..