Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
To become a GIWEH Training Program participant, an applicant has to send all documents listed in the program description to GIWEH representative Ms. E...полностью>>
'Конкурс'
Организовать проведение в ДОУ I уровня городской акции «Покори свой Олимп!» согласно положению о городской акции в период с октября 2013 года по апрел...полностью>>
'Документ'
Циклы со счетчиком составляют класс циклов, в которых выполнение повторяющихся операторов (тела цикла) должно повторяться заранее определенное число р...полностью>>
'Реферат'
Поступление в школу – важнейший момент в жизни каждого ребёнка. Педагоги, воспитатели и родители должны помочь ребёнку в преодолении трудностей, встав...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

§6. Построение графиков функций, содержащих знак модуля, на основе квадратичной зависимости.

Прежде, чем начнём рассмотрение методов построения графиков функций, содержащих знак модуля на основе квадратичной зависимости, вспомним алгоритмы построения графиков обычных квадратичных функций.

Напомним, что функция вида у = ах2 + вх + с, где а,в,с – произвольные числа, причём а ≠ 0, называется квадратичной функцией. Это название объясняется тем, что старший член трёхчлена ах2 + вх +с содержит х в квадрате.

Снова для построения графика квадратичной функции мы будем использовать метод преобразования прямоугольной системы координат, а не метод преобразования графиков. Потому что, если вы математик, то предпочтёте перейти к вспомогательной системе координат и выполнить построение только одного графика, а не строить три или более графиков.

Выделив полный квадрат из квадратного трёхчлена и записав функцию в виде у = а(х + t)2 + m, находим координаты вершины параболы (-t;т). Эта точка будет являться началом новой вспомогательной системы координат, т.е. точка О1(-t;т) будет вершиной параболы.

Координаты параболы можно найти, не выделяя полного квадрата, а вычислить по формуле абсциссу вершины х = , ординату найдём по формуле у0 = f(x0), где f(x) = ах2 + вх +с .

Алгоритм.

1. Перейти к вспомогательной системе координат, проведя (пунктиром) вспомогательные прямые х = - t, у = т, т.е. выбрав в качестве начала новой системы координат точку О1(-t;т).

2. К новой системе координат «привязать» график функции у = f(х), т.е. в системе координат Х1О1У1 построить график функции у = ах2.

Задание 63.

Построить график функции у = х2- 4х +5.

Решение.

Выделим полный квадрат х2- 4х +5 = (х2-4х +4) +1= (х – 2)2 +1.

Для построения графика функции у=(х- 2)2 + 1 перейдём к вспомогательной системе координат с началом в точке О1(2;1), т.е. проведём вспомогательные прямые (оси Х1О1 и О1У1) пунктиром. «Привяжем» функцию у = х2- 4х +5 к новой системе координат, т.е. в системе координат Х1О1У1 построим по точкам параболу у = х2 (Рис.34).

у у1

5

1 о1 х1

о х

2

Рис. 34

Задание 64.

Построить график функции у = │4 - х2 │.

Решение.

Аналитическая запись функции содержит знак «внешнего» модуля, поэтому график будет расположен в верхней координатной полуплоскости. Сначала построим график функции у = 4 - х2, т.е. параболу у = - х2 во вспомогательной системе координат ХО1У1 , где О1 =(0;4). А затем нижнюю часть графика отразим симметрично оси абсцисс в верхнюю часть координатной плоскости (Рис.35).

у


4

о1 х1

о х

-2 2

Рис. 35

Задание 65.

Построить график функции у = х2 -2 │х│ + 4.

Решение.

Аналитическая запись функции содержит знак «внутреннего» модуля, следовательно, заданная функция является чётной, а это означает, что график функции будет симметричен относительно оси абсцисс. Поэтому выполним сначала построение графика функции у = х2 -2 х + 4 при х 0, т.е. построим только ту часть параболы, которая будет расположена правее оси ординат. А затем, используя свойство чётности функции, отразим построенную часть параболы симметрично оси ординат в левую полуплоскость декартовой системы координат.

Для построения графика функции у = х2 -2 х + 4 применим алгоритм, рассмотренный выше.

Т.к. у = х2 -2 х + 4 = (х -1)2+ 3, то во вспомогательной системе координат Х1О1У1, где О1(1;3), строим ту часть параболы у = х2 , которая соответствует значениям х ≥ 0 основной системы координат (Рис. 36).

у у1


4

3 О1 х1

О 1 х

Рис. 36

Задание 66.

Построить график функции у = │-х2 +4│х│+5│.

Решение.

Поскольку функция у = f(│х│) является чётной, то её график симметричен относительно оси ОУ. Поэтому достаточно построить только правую часть графика (х ≥ 0), а затем зеркально отобразить её относительно оси ОУ. График функции у = │ f( х)│ получается из графика у = f(х) путём зеркального отражения нижней его части (у < 0) относительно оси ОХ.

Итак, приступаем к построению графика у = │ 2 +4│х│+5│. Алгоритм его построения следующий.

Находим вершину параболы у = 2 +4х+5= -(х2-4х+4)+9= -(х-2)2+9. Это будет точка О1(2;9). Построим пунктирными линиями вспомогательные оси координат О1Х1 и О1У1, в новой системе Х1 О1У1 по точкам строим ту часть параболы у = - х2, которая соответствует неотрицательным значениям основной системы координат ХОУ.

Затем построенную часть параболы зеркально отражаем относительно оси ОУ в левую часть координатной плоскости. Таким образом, на графике будет построена парабола у = 2 +4│х│+5.

Для выполнения задания осталось нижнюю часть графика функции у = 2 +4│х│+5 отразить симметрично относительно оси абсцисс ОХ в верхнюю полуплоскость основной системы координат (Рис. 37).


у у1

о1

9 х1

5

О х

-5 2 5

Рис. 37

Задание 67.

Поострить график функции у = │х2 -6│х│+8│.

Решение.

Алгоритм построения графика заданной функции совпадает с предыдущим.

Выделяем полный квадрат трёхчлена и определяем координаты вершины параболы: у = х2 - 6х + 8 = (х2 - 6х + 9 )- 1 = (х-3) 2 - 1. Выполняем построение вспомогательной системы координат Х1 О1У1 (пунктирными линиями), где точка О1(3;-1) является одновременно и началом новой системы координат, и вершиной параболы. В новой системе координат вычерчиваем часть параболы, соответствующую условию х ≥ 0, далее отражаем зеркально эту кривую в правую полуплоскость относительно оси ординат ОУ. И на последнем этапе нижнюю часть полученного графика отражаем симметрично оси абсцисс ОХ в верхнюю полуплоскость системы координат (Рис.38).

у у1

8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 х

- х1 Рис.38

Задание 68.

Используя алгоритм построения графика функции у =││1 – х2│- 3│:

у1= 1 – х2; у2 =│1 - х2│; у3 = │1 – х2│- 3; у4 = ││1 – х2│- 3│, самостоятельно выполните задание.

Задание 69 (для самостоятельной работы).

Выполните построение графиков функций: а) у = ││х2 – 2х│- 3│ (используйте цепочку преобразований у1=│х2 – 2х │; у2= │х2 – 2х│- 3; затем данный график); б) у = │х2-3х -4│; в) у = х2 -3│х│- 4; г) у = │х2 -3│х│ -4│; д) у = , х ≠ 0, х ≠ -1; е) у = х(│х + 2│+ │х - 4│; ж) у = , х ≠ 1.

Задание 70.

Построить графики функций: а) у =х(│х│-4); б) у =(│х│-2)(х + 2).

Решение.

а) Заметим, что функция у = х (│х│-4) нечётная, т.к. у(-х )= - х (│х│-4). Поэтому график функции будет симметричен относительно начала координат. А это значит, что нам достаточно построить график функции у = х (х - 4) при х ≥ 0 и отразить его симметрично относительно точки О(0;0) (Рис.39).


у у1 у


4

-2 0 2 х

-4 0 2 4 х О2

-4 -4

О1

Рис.39 Рис.40

б) Для построения графика функции у =(│х│-2)(х + 2) используем метод раскрытия модуля и переход к функциям, представленным в виде различных аналитических записей на различных областях значений аргумента.

При х ≥ 0 функция примет вид у = (х – 2)(х + 2)= х2 - 4. Следовательно, графиком этой функции будет парабола с вершиной в точке О1(0;-4) и ветвями, направленными вверх. (Строим только правую часть параболы, т.к. х ≥ 0).

При х < 0 функция примет вид у = (- х -2)( х+ 2)= - ( х+2)2. Графиком этой функции будет парабола с вершиной в точке О2(-2;0) и ветвями, направленными вниз. (Строим только левую часть параболы, т.к. х < 0 ) (Рис.40).

Задание 71.

Построить график функции у = │х - 1│(х + 3).

Решение.

Раскроем модуль: при х ≥ 1 у = ( х – 1)(х + 3). Графиком этой зависимости является парабола, пересекающая ось абсцисс в точках х = 1 и х = - 3, значит, абсцисса вершины будет равна х = - 1 (парабола симметрична относительно прямой х= -1), значение ординаты рассчитаем по формуле у(-1)=(-2)(+2)= - 4. Но выполняем построение только той части параболы, которая соответствует значениям х ≥ 1.

При х < 1 у = (1 – х)(х + 3)= - (х – 1)(х+ 3). Графиком этой зависимости является снова парабола, пересекающая ось абсцисс в точках х = 1 и х = - 3. Значит, абсцисса вершины будет равна х = - 1, но ветви параболы будут направлены вниз. Найдём значение ординаты у(-1)= - (- 2)(+2)= +4. Выполняем построение только той части параболы, которая соответствует значениям х < 1 (Рис.41).

у1 у у

4 4

3 3

-3 -1 0 1 х -2 0 1 2 х


-3

-4

Рис.41 Рис. 42

Задание 72.

Постройте график функции у = 2 – 4), х ≠ 1.

Решение.


х2 – 4, если х > 1,

Раскрываем модуль: у =

4 – х2, если х < 1. (Рис. 42).



Похожие документы:

  1. 100 великих загадок 20 века

    Документ
    ... экз. Мольер. Мещанин (2шт) Момова А. Математика 11 класс. 2 экз Монапассан, Г-д Пышка Монголия. Справочник ... по обсл. Учащи Есенин С. А. Избранное 10 экз. Учебно-воспитательная (2шт) Учебно-воспитательная(2шт) Учебное пособие ...

Другие похожие документы..