Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Инструкция'
На должность старшего менеджера по продажам ЗАО « », назначается лицо, имеющее профессиональное (экономическое или инженерно-экономическое) высшее обр...полностью>>
'Документ'
Пачатак навучання на I ступені агульнай сярэдняй адукацыі з’яўляецца найважнейшым этапам у развіцці дзіцяці. Вучню трэба прывыкнуць да зменаў у рэжыме...полностью>>
'Тематическое планирование'
4 .09 ОКТЯБРЬ 4 недели 9(9) Расчет количества теплоты. Решение задач. 1 01.10 10(10) Лабораторная работа № «Измерение удельной теплоемкости твердого т...полностью>>
'Документ'
Яблоков Н. П.Криминалистика : учебник / Н. П. Яблоков. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2016. — 303 с. — (Бакалавр. Прикладной к...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

IV

Рис. 24 Рис. 25

Задание 28.

Изобразите в плоскости ХОУ множество всех точек, координаты которых удовлетворяют равенству │х - у│+ │х + у= 2.

Решение.

В данном примере мы уже имеем две прямолинейные границы. Приравнивая нулю выражения, стоящие под знаком модуля, получаем уравнения этих границ у = х и у = - х. Полученные прямые разбивают плоскость ХОУ на четыре области (рис. 25), в каждой из которых исходное уравнение принимает различный вид. В области I (при у ≤ х и у ≥ х) имеем х – у + х + у = = 2, т.е. х = 1; в области II (при у ≥ х и у ≥ - х) имеем – х + у + х + у = 2, т.е. у = 1. В области III (при у ≥ х и у ≤ - х) имеем – х + у – х – у = 2, т.е. х = - 1; в области IV (при у ≤ х и у ≤ - х) имеем х – у – х – у = 2, т.е. у = - 1. Таким образом, искомым геометрическим местом точек будут стороны квадрата (рис. 25).

29. Задание для самостоятельного решения.

Изобразите в плоскости ХОУ множество всех точек, координаты которых удовлетворяют равенству │х│ +│у│=1.

Для справки: на чертеже должен получиться квадрат с диагональю, равной 2 единичным отрезкам. При решении воспользуйтесь симметричностью графика относительно осей координат, построив график функции х + у = 1 при х ≥ 0, у ≥ 0.

4. Способ разбиения на отдельные уравнения.

Выражение │F(x,у)│ = а, где а > 0, эквивалентно двум уравнениям F(x,у) = а и F(x,у) = - а. Поэтому построение геометрического места точек вида │F(x,у)│ = а сводится к построению геометрических мест точек видов F(x,у) = а и F(x,у) = - а.

Заметим попутно, что при построении геометрических мест точек такого вида (да и любых других) полезно использовать чётность по одной или двум координатным осям. Это экономит время при выполнении заданий.

Задание 30.

Изобразите в плоскости ХОУ множество всех точек, координаты которых удовлетворяют равенству ││х│ -│у││=1.

Решение.

Выражение чётно по двум координатным осям, поэтому достаточно провести построение лишь при х ≥ 0, у ≥ 0, т.е. в первом квадранте, где уравнение имеет вид │х - у│= 1. Последнее выражение эквивалентно двум уравнениям х – у = 1 и х – у = - 1, определяющим две параллельные прямые, построение которых и произведём (с учётом ограничения выполняем построение только двух лучей, расположенных в первом квадранте). Далее, используя чётность (проведя отражения относительно осей координат), получим искомое геометрическое место точек (рис. 26).


у у

у=х+1 ││х│ - │у││= 1

у=х-1

1 х 1 х

0 1 -1 0 1

-1 -1

Рис. 26

Полезно запомнить, что в случаях расположения переменных х и у одновременно внутри знака модуля, графики многозначных функций следует строить, применяя это свойство двойной чётности.

Задание 31.

Изобразите в плоскости ХОУ множество всех точек, координаты которых удовлетворяют равенству ││х│ + │у│- 3│=2.

Решение.

При построении используем двойную чётность и способ разбиения на два уравнения, как и в предыдущем примере. Работая в первом квадранте (при х ≥ 0, у ≥ 0), получим два уравнения у = - х + 5 и у = - х + 1. Выполним построение частей этих прямых, далее отражаем построенные два отрезка симметрично относительно обеих осей координат. Искомым геометрическим местом точек является совокупность двух квадратов, показанных на рис. 27.

у

5

х

-5 -1 1 5

-5 Рис. 27

6. Задания для самостоятельного решения

Постройте графики функций:

32) у = - 2 - │х -1│; 33) у = 1/3 │х│ -2; 34) у = │2│х│- 3│;

35) у = - │х-1│; 36) у = 1 - │х│; 37) у = │х + 2│- 1; 38) у = │││х│- 2│ - 1│

39) у = │2х - 1│-│2х +2│; 40) у = │0,5х +1│-│0,5х -2│.

Постройте геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнениям:

41) │у│ = 1 – х; 42) │у - 1│ = х; 43) ││х│-│у│ + 3│ = 2; 44) ││х│+

+│у │- 2│ +2; 45) │у + 2│ = │х - 1│.

§5. Построение графиков функций, содержащих знаки модуля, на основе дробно-линейной функции.

Определение. Дробно-линейной (или гиперболической) называют функцию вида

у = , с≠0.

Эту функцию можно представить также в эквивалентном виде

у = p + , с ≠0, (выделение целой части из дроби).

Чтобы выделить целую часть из дроби, можно разделить «уголком» числитель на знаменатель; тогда получим целое число p, а остаток от деленияk запишем числителем дробной части (знаменатель сохранится).

Чаще в конкретных заданиях применяют другой (искусственный) способ выделения целой части из дроби. Позднее рассмотрим этот способ на примере.

Отметим некоторые особенности графиков гиперболической функции.

1. Функции имеют вертикальную асимптоту х = - d/с.

2. Функции имеют горизонтальную асимптоту у = а/с или у = p.

3. График симметричен относительно точки (- d/с; а/с) или (- d/с; p).

4. При k/с>0 график расположен к «северо-востоку и к юго-западу» от точки симметрии.

При k/с <0 график расположен к «северо-западу и к юго-востоку» от точки симметрии.

5. Пересечение с осями координат находим стандартным образом:

для определения точки пересечения с осью ОХ следует положить у = 0 и найти х;

для определения точки пересечения с осью Оу следует положить х = 0 и найти у.


у у1 k/с>0

01 х1

0 х Ось О1 Х1 : у = p = а/с – горизонтальная

асимтота,

ось О1 У1 : х = - d/с – вертикальная

асимптота.

Рис. 28

Задание 46.

Рассмотрим пример: построить график дробно-линейной функции

у = .

Решение.

Выделим целую часть из данной дроби:

у = = = 1 - .

Для построения графика данной функции преобразуем прямоугольную систему координат ХОУ, осуществив параллельный перенос на вектор ОО1= (-1;1), и в преобразованной системе координат Х1О1У1 построим график прямой пропорциональности у = - 4/х (рис. 29).


у1 у

01 1 х1

-1 0 3 х

Рис. 29

Построить графики функций в заданиях 47 и 46.

Задание 47. у = . Задание 48. у = .

Решение.

Используя метод преобразования прямоугольной системы координат (смотри предыдущую главу), выполним построение графиков заданных функций.

В первом случае осуществим параллельный перенос системы ХОУ на вектор ОО1=(2;0), и в новой системе координат Х1О1У1 построим график функции у = , для чего используем свойство чётности функции относительно оси О1Х1 , т. е. строим ветвь гиперболы при х > 0 и выполняем зеркальное отображение этой ветви относительно оси О1Х1 (Рис.30).

Во втором случае выполняем параллельный перенос прямоугольной системы координат ХОУ на вектор ОО1=(0;-3) и в новой системе координат Х1О1У1 построим график функции у = , аналогично рассмотренному выше (Рис.31).

у у1 у


3 О х

-2 2


О 2 О1 х -3 х1

О1

Рис. 30 Рис. 31

Построить графики функций в заданиях 49 и 50.

Задание 49. у = – 3. Задание 50. у = .

Решение.

Для построения графика функции в первом случае осуществим параллельный перенос системы ХОУ на вектор ОО1=(2;-3) и в системе координат Х1О1У1 построим график функции у = (Рис.32). Заметим, что график будет симметричен относительно оси О1У1 и располагаться выше оси О1Х1.

Для построения графика функции во втором случае необходимо отрицательную часть выше построенного графика в системе ХОУ отразить симметрично оси абсцисс ОХ, т.е. график функции у = будет располагаться выше оси абсцисс и симметричен относительно прямой х = 2 (Рис.33).

у у1 у у1



О 2 4 х О 2 4 х

-3 -3 О1

О1 х1 х1

Рис. 32 Рис. 33

№9. Выполните самостоятельно построение графиков следующих функций: 51) у = + 4; 52) у = .

Примечание: примите во внимание, что =.

53) у = ; 54) у = ; 55) у = .

№10. Осуществляя переход от функций, содержащих знаки модуля, к блочно-кусочным функциям, выполните построение графиков следующих функций:

56) у = 57) у = 58) у = 59) у 60) у = ,

61) у = 62) у = 62) у =



Похожие документы:

  1. 100 великих загадок 20 века

    Документ
    ... экз. Мольер. Мещанин (2шт) Момова А. Математика 11 класс. 2 экз Монапассан, Г-д Пышка Монголия. Справочник ... по обсл. Учащи Есенин С. А. Избранное 10 экз. Учебно-воспитательная (2шт) Учебно-воспитательная(2шт) Учебное пособие ...

Другие похожие документы..