Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Отчет'
Переселение жителей дома 9, корп. 1 и 2 по 1-му Коптельскому переулку выполнялось в соответствии с РПМ от 15.08.2007 № 1731-РП «О проектировании для с...полностью>>
'Рабочая программа'
Данная рабочая программа составлена на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего образования и Примерной програм­мы п...полностью>>
'Документ'
4. О проведении семинара-совещания на тему «Проблемы производителей и поставщиков СИЗ в ходе реализации требований ТР ТС 0019/2011 «О безопасности СИЗ...полностью>>
'Документ'
Кабель почти готов! Но надо залудить концы кабеля! Залудить такой кабель, как оказалось, весьма непросто. Эмаль довольно прочная, и не поддается даже ...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

У=0,5│х-2│-4.

0 1 х

Рис.11 Рис.12 Рис.13

В тестах часто встречаются некоторые примеры, использующие функции и графики специфического вида. И хотя эти функции и не входят в общую программу, но лучше знать основные особенности некоторых «полезных» функций и их графики. Такие графики могут встретиться на математических олимпиадах, абитуриентам на вступительных экзаменах. Знание этих функций, умение быстро построить график позволяет ускорить решение многих примеров. Для запоминания удобно дать этим графикам «имена».

№4. Построить графики функций:

13) у = │х - а│+│х - в│ («Корыто»);

14) у = │х - а│-│х - в│ («Ступенька»);

15) у = ││х - а│ - в│ («W»). Эта функция нам уже встречалась.

Рассмотрим график под номером 13 (рис. 14) в общем виде

у = │х - а│+│х - в│.

к=-2 к=2

«Корыто» Рис. 14

а в х

Например, построим график функции: У=│х-1│+│х+2│.

у

3

1

-2 -1 0 1 х

-1

у=2х+1 у=-2х-1

Рис. 15

При х < -2 у = 1 – х –х – 2 =

= -2х -1, при -2 ≤ х ≤1 получим у = 1 –х +х +2 = 3, при х ≥ 1 у = х -1 + х + 2=

= 2х +1. Выполняя построение каждого из трёх графиков на своём интервале, получим «корыто», на рис.15 сплошной линией показан график данной функции.

Рассмотрим график под номером 14 (рис. 16) в общем виде

у = │х - а│-│х - в│.

«Ступенька».

в<а

в>а

к =-2 к=2

х х

в а а в

Рис. 16 Рис. 17

Рассмотрим график под номером 15 (рис. 18) в общем виде

у = ││х - а│ - в│.


к=-1 к=1

х

Рис. 18 а-в а а+в

Задания для самостоятельного решения.

№ 5. Используя переход к блочно-кусочному виду, постройте графики следующих функций:

16) у = │х +1│-│х -1│, 17) у =│-│х + 3│ - 2│,

18) у = │х -1│-│х + 1│, 19) у = │х│- х, 20) у = │1-х│-│х-2│-│х-3│,

21) у = ││││х-1│-1│-1│-1│.

§4. Геометрическое место точек вида │у│= f(x), т.е. функций, заданных неявно в виде F(х;│у│)=0.

Геометрическое место точек вида │у│=│х│, │у –у0│=│х – х0│ и других.

Мы рассмотрели наиболее общие методы построения графиков некоторых функций вида у = f(x). При этом каждому допустимому значению аргумента соответствовало одно значение функции. Однако на практике очень часто встречаются такие зависимости между двумя переменными х и у, в которых одному значению х соответствует два или более значений у. Зависимость между двумя переменными может быть задана и в виде неравенства. Подобные зависимости тесно связаны с понятием геометрического места точек.

Определение. Геометрическим местом точек, обладающих каким-либо свойством, называется множество, в которое входят все те и только те точки, которые обладают этим свойством.

Указанное в данном определении свойство, характеризующее геометрическое место точек (г.м.т.) может задаваться либо уравнением вида F(x;y) = 0, либо неравенством F(x;y) ≥ 0.

Например, г.м.т., координаты которых удовлетворяют уравнению х2+ у2= 1,

является окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Г.м.т., координаты которых удовлетворяют неравенству х2 + у 2≤ 1, будет круг единичного радиуса с центром в начале координат. Каждому значению х из интервала -1≤х≤1 в первом случае соответствует два значения , во втором случае – бесконечное множество значений у.

Все графики функций у= f(x), которые рассматривались до сих пор, можно также рассматривать как геометрические места точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению у= f(x). Таким образом, построение г.м.т., координаты которых удовлетворяют какому-либо соотношению, является задачей более общей, чем построение графиков (однозначных) функций. Г.м.т. плоскости, когда каждому значению аргумента х соответствует не одно, а два или более значений переменной у, называют многозначной функцией.

В настоящем параграфе рассмотрим ряд заданий, посвящённых отысканию на плоскости ХОУ геометрических мест точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению F(x;y) = 0 или неравенству F(x;y) ≥ 0.

1. Геометрическое место точек вида │у│= f(x), т.е. функций, заданных неявно, вида F(x, │у│) = 0.

Пользуясь определением модуля, уравнение │у│= f(x) можно представить в виде

f(x) при у0,

у =

- f(x) при у < 0.

Таким образом, для того чтобы построить г.м.т., координаты которых удовлетворяют уравнению │у│= f(x), следует построить графики функций у= f(x) и, выделив те участки графика, где f(x) 0, достроить к ним их отражения относительно оси абсцисс.

Естественно при этом, что для построения графика функции у= f(x) могут применяться все правила, изложенные ранее.

Рассмотрим ряд примеров на построение геометрических мест точек.

Задание 22 │у│=2.

Решение.

Строим график функции у = 2 и отражаем его относительно оси абсцисс. Таким образом, геометрическим местом точек являются две параллельные прямые у = -2 и у = 2 (рис. 19).

у

2

0 х

-2

Рис. 19

2. Геометрическое место точек вида │у│=│х│, │у –у0│=│х – х0│.

Задание 23 │у│=│х│.

Решение.

Строим график функции у = │х│ и отражаем его относительно оси абсцисс.

Таким образом, геометрическим местом точек являются две пересекающиеся прямые у = х и у = -х (рис. 20).

у у

у1

1 х1

х х

-3 -2 0

Рис. 20 Рис. 21

Задание 24. │у - 1│=│х + 2│.

Решение.

Искомое геометрическое место получается из │у│=│х│ переносом оси абсцисс на единицу вниз и оси ординат на две единицы вправо (рис. 21). Иначе, строим график функции │у│=│х│ в системе Х1О1У1, полученной переносом прямоугольной системы координат на вектор ОО1=(-2;1).

Сделаем общий вывод.

Если требуется найти геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют более общему соотношению, необходимо сначала, воспользовавшись определением модуля, разбить данное соотношение на несколько уравнений, каждое из которых справедливо в определённой области, и затем находить геометрические места точек в каждой из этих областей в отдельности.

Нахождение геометрические места точек в общем случае сводится к двум моментам: к отысканию различных областей на плоскости ХОУ, в каждой из которых знак модуля может быть опущен согласно определению модуля, и нахождению уравнений, не содержащих знак модуля, к которым может быть приведена исходная зависимость в каждой из найденных областей.

Например, в рассмотренном частном случае, в задании №21, зависимости вида │у│=2 плоскость ХОУ разбивается на две полуплоскости: верхнюю (у ≥ 0) и нижнюю (у < 0). При у ≥ 0 строим прямую у = 2, при у < 0 строим прямую у = -2.

График вида F ( x, │у│) = 0 обладает свойством симметрии относительно оси ОХ, поскольку точки (х,у) и (х,-у) одновременно принадлежат или не принадлежат графику. Отсюда следует, что достаточно построить график лишь в верхней полуплоскости (для у ≥ 0), а затем симметрично отобразить его в нижнюю полуплоскость. Но в верхней полуплоскости графики F(x, │у│) = 0 и F(x, у) = 0 совпадают, поскольку │у│=у при у ≥ 0.

Таким образом, алгоритм построения заключаеся в следующем.

Нужно построить верхнюю часть F(x, у) = 0, отбросив при этом нижнюю

часть, и затем зеркально отобразить её (верхнюю часть) относительно оси ОХ.

Задание 25.

Построить множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению │у│=1 – 2х.

Решение.

Выполним построение графика у = 1 – 2х в области у ≥ 0, а затем зеркально отразим его в нижнюю полуплоскость относительно оси абсцисс (рис. 22).

у

1

0 1 х

-1

Рис. 22

Задание 26.

Построить множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению │у - 2│=│х – 1- 1.

Решение.

В прямоугольной декартовой системе координат Х1О1У1 , полученной параллельным переносом системы ХОУ на вектор ОО1=(1;2), построим график │у│=│х│.

Разбив плоскость Х1О1У1 на части, у1 ≥ 0 , х1 ≥ 0, строим график функции у = х – 1, т.е. смещаем луч из точки О1 на единицу вправо. Далее его зеркально отображаем относительно оси О1Х1 вниз.

Луч в части плоскости при х1 < 0, у1 ≥ 0 также смещаем вдоль оси абсцисс на единицу влево, а далее его отображаем зеркально относительно оси О1Х1 вниз. Геометрическое место точек, удовлетворяющих заданному уравнению, представлено на рисунке 23. В математике такие г.м.т. иногда называют графиком многозначной функции, который будет симметричным относительно обоих вспомогательных осей координат: О1Х1 и О1У1 (на рис. 23 это г.м.т. - объединение лучей с вершинами в точках (0;2) и (2;2) ) –«раздвинувшийся крест» вдоль оси О1Х1 на единицу влево и вправо от точки пересечения).

у-2│=│х-1│-1

у у1

у-2│=│х-1│ 3

2 01 х1

1

-2 -1 0 1 3 4 х

Рис.23

3. Случай прямолинейных границ.

Плоскость ХОУ может разбиваться на две полуплоскости любой прямой, либо разбиваться на ряд областей двумя или более прямыми, пересекающимися или параллельными. Уравнения этих прямых, являющихся границами областей, в которых исходное соотношение записывается тем или иным образом без знака модуля, модно получить, приравнивая нулю выражения, стоящие под знаком модуля, ибо при переходе через эти границы функции под знаком модуля меняют знак.

Задание 27.

Изобразите в плоскости ХОУ множество всех точек, координаты которых удовлетворяют равенству │у – х – 1│– х = 1.

Решение.

Приравнивая нулю выражение, стоящее под знаком модуля (у – х – 1=0), получаем уравнение прямой у = х + 1, разбивающей плоскость на две области: выше этой прямой (при у ≥ х + 1, т.е. у – х – 1≥0) геометрическим местом точек будет часть прямой у = 2х + 2, ниже (при у < х + 1, т.е. у – х – 1<0) - часть прямой у = 0 (рис. 24).

у у=2х+2 II у

2 у=х+1 у=х

1 III 1 I

-1 0 х -1 1 х

у=0

-1 у=-х



Похожие документы:

  1. 100 великих загадок 20 века

    Документ
    ... экз. Мольер. Мещанин (2шт) Момова А. Математика 11 класс. 2 экз Монапассан, Г-д Пышка Монголия. Справочник ... по обсл. Учащи Есенин С. А. Избранное 10 экз. Учебно-воспитательная (2шт) Учебно-воспитательная(2шт) Учебное пособие ...

Другие похожие документы..