Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Федеральное агентство по рыболовству рассмотрело Ваше обращение по вопросу работы общественных инспекторов рыбоохраны в г. Набережные Челны и сообщает...полностью>>
'Документ'
1 м Сталь Оксид никель 1 Петля 1 3 Сталь Оксид никель 1 Петля 131 Сталь Оксид никель 1 Крючки Крючок 115 Сталь Оксид никель 1 Крючок 3031 Сталь Оксид ...полностью>>
'Документ'
Здравствуйте уважаемые юные друзья и взрослые! Вас приветствует благотворительная организация по защите животных «Клуб добрых сердец»! С целью повышен...полностью>>
'Документ'
(предметы: русский язык, математика, литературное чтение, окружающий мир, технология, изобразительное искусство, музыка, физическая культура, английск...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Глава I

Построение графиков функций, содержащих модули, на основе линейной, дробно-линейной и квадратичной

§1. Историческая справка

Буквенная символика

До ХVI века в математике не было сколько-нибудь развитой единой символики. Каждая операция записывалась полностью словами или специальными знаками – сокращениями, которые использовал только один или несколько учёных.

Неизвестные коэффициенты и свободный член уравнения также не имели условных общепризнанных обозначений.

В ХVII веке французские учёные Франсуа Виет и Ренэ Декарт разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных – последними буквами латинского алфавита – x, y, z, известных – начальными буквами того же алфавита – а,в, с,… и т. д.

После введения единой буквенной символики стало возможным решать многие задачи по формулам. Вместе с буквенной символикой в математику пришла идея изменения, поскольку под каждой буквой стало возможным понимать различные значения.

Великое открытие Декарта

К началу ХVII века алгебра была уже достаточно развитой наукой. Трудами многих поколений учёных были подготовлены условия для нового большого открытия в науке, которое послужило бы толчком к её дальнейшему развитию. Таким открытием явилось введение в математику понятия переменной величины и прямоугольной системы координат. Честь введения в математику функциональной зависимости принадлежит французскому учёному Ренэ Декарту.

Бурное развитие математики стало возможным только с появлением переменной величины. На основе этого понятия возникли новые математические науки: дифференциальное и интегральное исчисления, вариационное исчисление и др., которые теперь изучаются в вузах.

Ренэ Декарт придумал систему прямоугольных координат, которой пользуемся мы, ввёл её в широкое употребление и положил начало развитию важной математической науки – аналитической геометрии. Декарт первым дал геометрическое толкование отрицательным числам, как отрезкам, имеющим определённое направление. Он сделал очень много для усовершенствования алгебры: улучшил систему алгебраических обозначений, предложил буквами х, у,z обозначать переменные, а буквами а, в, с – постоянные; предложил записывать степени так, как пишем мы: а2, в34 и т.д., а алгебраические уравненияв том виде, в каком пишем их мы. Он же дал правило для определения числа положительных и отрицательных корней уравнения и многое другое.

Трудами Декарта алгебра была значительно усовершенствована.

Термин «функция» впервые встречается в письме немецкого математика Лейбница к голландскому математику Гюйгенсу в 1694 г. В обычное употребление термин введён в начале ХVIII в. Иоганном Бернулли.

§2. Функциональная зависимость.

График функции.

Величины, участвующие в одном и том же явлении, могут быть взаимосвязаны, так что изменение одних из них влечёт за собой соответствующее изменение других. В таких случаях говорят, что между переменными величинами существует функциональная зависимость, причём одну величину называют функцией, или зависимой переменной (её часто обозначают буквой у), а другую – аргументом, или независимой переменной (её обозначают буквой х). Функциональную зависимость между х и у принято обозначать символом у = f(х). Если каждому значению х соответствует больше, чем одно значение у, то такая функция называется многозначной. Исследование многозначных функций сводится обычно к исследованию однозначных.

Определение функции. Переменная величина у называется функцией аргумента х, т.е. у = f (х), если каждому возможному значению х соответствует одно определённое значение у.

Определение графика функции. Графиком функции называется совокупность всех точек плоскости, прямоугольные координаты которых х и у удовлетворяют уравнению у = f (х).

Горизонтальную ось Ох называют осью абсцисс, вертикальную ось Оу – осью ординат.

Функциональная зависимость, устанавливающая соответствие между значениями аргумента х и функции у, может быть задана различными способами: табличным, словесным, графическим, аналитическим. В математике чаще всего используется аналитический способ задания функции, при котором известна формула, устанавливающая зависимость между переменными х и у.

Множество значений Х, при каждом из которых функции существует, называется областью определения функции у = f (х) (проекция графика на ось абсцисс).Множество значений У, которые принимает переменная у, называется областью изменения функции у = f (х). Область изменения есть проекция графика функции у = f (х) на ось ординат.

+

§3. Линейная функция у = kx + b, k≠0.

Построение графиков функций вида у = kx│ + b, у =│ kx + b │,

у = ││кх│+в│, у – у0= к│х – х0│, у = = │к(х – х0)+ в│, у = │к│х – х0│+ в│.

В аналитическое выражение линейной функции вида у = кх + в переменные х и у входят в первой степени. График линейной функции представляет собой прямую линию (откуда и происходит название функции), располагающуюся относительно координатных осей различным образом, в зависимости от постоянных коэффициентов к и в ,которые могут принимать положительные или отрицательные значения или быть равными нулю. В частности, при в = 0 уравнение у = кх выражает прямую пропорциональную зависимость величин х и у.

Коэффициенты к и в в уравнении прямой имеют наглядное геометрическое толкование (рис. 1).

у Значение коэффициента в определяет собой отрезок,

отсекаемый графиком линейной функции на оси орди-

нат, а коэффициент к является тангенсом угла α, обра –

зованного осью абсцисс и прямой, отсчитываемого от

α в положительного направления оси ОХ против часовой

- в/к о х стрелки.

Для построения графика линейной функции можно

Рис. 1 воспользоваться геометрическим смыслом коэффици-

ентов к и в или найти две точки прямой на плоскости,

например, точки пересечения с осями координат.

Определение модуля.

х, если х ≥ 0,

х│ =

– х, если х < 0.

Таким образом, │х│ всегда является неотрицательной величиной. Но тогда верны следующие равенства:

f(x) при f(x) ≥ 0, f(x) при f(x) ≥ 0,

│f(x)│ = и f(│x│) =

- f(x) при f(x) < 0, f(-x) при f(x) < 0.

Заметим, что │f(x)│ ≥ 0, т.е. график функции расположен не ниже оси абсцисс, а f(│x│) есть функция чётная, т.е. график симметричен относительно оси ординат. При построении графиков функций, содержащих модули, удобно пользоваться этими свойствами.

Для удобства построения графиков функций вида у – у0= к│х – х0│,

у – у0 = │к(х – х0)+ в│, у- у0 = │к│х – х0│+ в│целесообразно выполнить преобразование системы координат, осуществив перенос прямоугольной декартовой системы ХОУ на вектор ОО1, где О100), и в новой системе Х1О1У1 построить график функций у = к│x│ + b, у =│ kx + b│ , у = =││кх│+в│.

№1. Выполнить построение графиков функций, используя определение модуля, т.е. перейти к записи функции, записанной различными аналитическими выражениями на различных областях изменения независимой переменной. Для краткости назовём рассматриваемые функции после раскрытия модуля «блочно-кусочными».

1) у =│х│, 2) у =│х - 2│, 3) у = 2│х - 2│, 4) у =│3 – 6х│, 5) у = -│х - 3│.

Примечание: назовём применяемые знаки модуля во всех пяти примерах «внешними».


1) 2)

У У у1

-2 0 2 х 0 2 х

у=│х│= х при х≥0, у=│х-2│= х-2 при х≥0,

-х при х<0. 2-х при х<0.

Рис.2 Рис.3

Замечания по построению графиков без перехода к блочно-кусочному виду записи функции.

1) Для построения графика у =│х│, достаточно построить луч (у = х при х≥0) и отразить его симметрично относительно оси ординат, т.к. данная функция чётная.

2) Для построения графика функции у =│х - 2│, целесообразнее перенести систему координат ХОУ на вектор (2;0) и в новой системе координат построить предыдущий график, который будет симметричным относительно прямой х = 2.

3) У У1 4) у у1

4

3

2 4 0,5

О 2х-4,х≥2 3-6х,х≤1/2

У = 4-2х,х<2 у=

6х-3,х>1/2

Рис.3 Рис.4

Замечания по построению графиков без перехода к блочно-кусочному виду записи функции.

3) Выполнив перенос прямоугольной системы координат ХОУ на вектор (2;0), построить в новой системе координат график функции у =2│х│, который будет симметричным относительно прямой х = 2.

4) Выполнив перенос прямоугольной системы координат ХОУ на вектор (0,5;0), построить в новой системе координат график функции у = 6х, который будет симметричным относительно прямой х = 0,5.

5) у у1

3-х при х≥3,

у= -│х-3│=

х-3 при х<3.

0 3 х

-3

Рис.6

Замечания по построению графиков без перехода к блочно-кусочному виду записи функции.

Выполнив перенос прямоугольной системы координат ХОУ на вектор (3;0), построить в новой системе координат график функции у = -│х│, который будет направлен ветвями вниз и симметричным относительно прямой х = 3.

Рассмотрим функции, содержащие знак модуля внутри аналитической записи, назовём модуль «внутренним» и функции, в записи формулы которых модуль находится внутри другого модуля.

№2. Постройте графики функций: 6) у =│х│+2, 7) у = – │х│+2, 8)у = 2 │х│– 3

и 9) у= ││х + 2│- 3│. Примечание: при построении последнего графика, содержащего модуль в модуле, выполните «тройную» цепочку преобразований:

1=│х +2│, у2 =│х +2│-3 и у=││х+2│-3│).

Так как функции 6) у =│х│+2, 7) у = – │х│+2 и 8)у = 2 │х│– 3 чётные, то можно выполнить построение графиков двумя способами: первый способ (более длительный) заключается снова в раскрытии модуля и переходу к блочно-кусочному виду и построению графика по частям. И второй способ, заключающийся в преобразовании прямоугольной декартовой системы координат ХОУ на вектор (0;у0).

6) I способ (рассмотрим только на примере под №6).

х+2,если х≥0,

у=│х│+2 =

2–х,если х<0

Построим прямую у = х + 2; обведём ту её часть, которая соответствует области х ≥ 0. Затем построим прямую у = - х +2 и обведём часть прямой, соответствующую интервалу х ≤ 0 (рис. 7 с учётом пунктирных линий).

II способ (более короткий). Заключается в преобразовании системы координат: в переносе её на вектор (0;2), и построении, в новой уже системе, графика функции у = │х│ (рис. 7, сплошной линией обведён график).

Аналогично поступим в седьмом задании: вершину прямого угла поместим в точку (0;2), но ветви графика направим вниз (рис. 8).

Вывод: экономичнее при построении графиков функций, содержащих только «внутренний» модуль, применять второй способ.

у

6) 7)

У 2

-2 0 2

2 0

-2 0 2 х У=-│х│+2

Рис.7 Рис.8

Рассмотрим восьмой пример. В этом случае можно построить сначала график функции у = 2│х│ (пунктирный), а затем опустить его на 3 единицы вниз.

у

У у=││х+2│-3│

8) 9) 4

3 у1

2 у3

2

1

-2 -1 0 1 2 Х -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-1

у2

Рис.9 -3 У=2│х│-3 Рис.10

-3

При решении девятого задания, рассмотрим цепочку функций: у1=│х +2│, у2 =│х +2│-3 и у=││х+2│-3│). Графики первых двух мы умеем строить (первый изображён тонкой сплошной линией, а второй – сплошной жирной и частично пунктирной линией). При построении третьего достаточно отразить нижнюю часть второго графика зеркально относительно оси абсцисс (на рис.10 эта часть показана сплошной линией).

Для закрепления навыков построения графиков функций, содержащих модули, выполните самостоятельно следующие задания, а потом проверьте свои чертежи с рисунками 11 – 13.

№ 3. Построить графики функций:

10) у = – │х – 3│, 11) у = -3│ х│+5, 12) у = 0,5│х - 2│- 4.

Построение.

10) 11) 12)

У у у у1

У= -3│х│+5 5

0 3 0 1 2

х

-3 -3

У= -│х-3│

-4 0



Похожие документы:

  1. 100 великих загадок 20 века

    Документ
    ... экз. Мольер. Мещанин (2шт) Момова А. Математика 11 класс. 2 экз Монапассан, Г-д Пышка Монголия. Справочник ... по обсл. Учащи Есенин С. А. Избранное 10 экз. Учебно-воспитательная (2шт) Учебно-воспитательная(2шт) Учебное пособие ...

Другие похожие документы..