Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Пояснительная записка'
Рабочая программа по физике для 10-11 классов составлена на основе «Примерной программы основного общего образования по физике. 10-11 классы.» под ред...полностью>>
'Документ'
Нематериальные активы в виде объектов интеллектуальной собственности (ОИС) занимают все большую долю в капитале компаний, независимо от масштабов их б...полностью>>
'Урок'
Ни одна книга в мире не может быть сравнима с Библией по точности и правдивости, потому что за текстом Библии стоит совершенный, всезнающий и всемогущ...полностью>>
'Документ'
Данилюк, А. Я. Актуальные проблемы антропологии / А. Я. Данилюк Педагогика. - 2006. - N 8. - С. 121-123. - Рец. на кн.: Педагогическая антропология :...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Рис. 77 Рис. 78

№2. Множество значений функции у = при х совпадает с отрезком а. б. в. г. д.

Решение.

Раскрыв модуль, убеждаемся в том, что при х ≥ 1 у = х2 – 1, при х < 1 у = 1 – х2. Строим графики функций с учётом ограничений (рис.78).

При х функция принимает значения от 0 до 3. Следовательно, у при заданном ограничении аргумента х.

Ответ: а.

№3. х2 + х – 2 х2 - х – 2

Линии у = + и х2 + у2 = а2 пересекаются

х – 1│ │х + 1│

в трёх точках, если а. │а│= 4 б. 4 <а< в. а│> 4

г. 2 <а<2 д. такое невозможно.

Решение.

При х > 1 у1 =

при – 1 < х < 1 у2 = – х – 2+ х – 2 = – 4, при х > 1 у3 = х + 2 + х – 2 = 2х .

Выполняя построение графиков при ограничениях, замечаем, что окружность, задаваемая уравнением х2 + у2 = а2 при значении радиуса а = │4 │ имеет три общих точки с построенным графиком, состоящим из трёх «кусков» (рис. 79), т.е. это случай касания окружности «нижнего куска» графика данной функции.

у

2

-4 -1 0 1 4 х

-4 Рис. 79

Ответ: а.

№4. Графики функций у = и у = а пересекаются ровно в трёх точках при а. а=1 б. а=2 в. а=3 г. а=4 д. а=5.

Решение.

Раскрыв скобки, получим у = х2 – 4│х│ + 3. Учитывая чётность функции, строим график функции у = х2 – 4х + 3 при х ≥ 0, а далее зеркально отражаем его относительно оси ординат (рис. 80). Прямая у = а пересечёт построенный график ровно три раза только при а = 3.

у у1 у



о1 у = а = 3 3

3

1 -2 -1 0 2 5 6 х

х

-3 -2 -1 0 1 2 3

Рис. 80 Рис. 81

Ответ: в.

№5. Множество значений функции у = при х совпадает с промежутком а. б. в. г. д. .

Решение.

Применяем графический метод решения задания (рис. 81). Во вспомогательной системе координат Х1У1О1 , где О1(2;-3), выполняем построение графика функции у = и отражаем нижнюю часть, находящуюся под осью ОХ, зеркально относительно оси абсцисс. Т.к. х , то проведя ограничительные прямые х = -2 и х = 6, по графику определяем, что минимальное значение функция принимает при у = 0, а максимальное – при у = 3. Т.к. функция является непрерывной на всей числовой прямой ОХ, а, значит, и на заданном промежутке, то множество значений у .

Ответ: в.

№6. Площадь фигуры, ограниченной линиями у = и у = 4, равна

а. 2,5 б. 5 в. 6 г. 12 д. 7.

Решение.

Графиком функции является «корыто» (рис. 82). Прямая у = 4 пересекает

у построенный график в двух точках

4 у = 4 (-1;4) и (3;4). При пересечении графиков

образовалась трапеция с высотой, рав-

2 ной 2 единицам, и основаниями, равны-

ми 2 и 4 единицам.

-1 0 2 3 х Рис. 82 Sтр.= 6.

Ответ: в.

№7. Расстояние между линиями х + у =3 и (х – 2– 1)2 + (у – 2 – 2)2= 1 равно а. 2 б. 2- 1 в. 3 г. 4 д. 5.

Решение.

Геометрическое место точек второго уравнения есть окружность с центром в точке А(2+ 1; 2+ 2) и радиусом, равным 1. Прямая у = – х + 3 пересекает ось абсцисс под углом 135º (к положительному направлению оси ОХ (рис.83). Расстоянием между графиками будет отрезок перпендикуляра между прямой у = – х + 3 и касательной к окружности в точке В, т.е. отрезок ВС.

у Расстояние АВ= 1(радиус). Найдём

уравнение прямой СВ (k = 1), в явном

2+2 А виде уравнение будет иметь вид:

у = х + т. Для нахождения значения

3 В свободного члена т в уравнение пря-

мой подставим координаты центра

С окружности: 2+ 2=2+ 1 + т,

Находим т = 2+ 2-2- 1= 1.

Уравнение прямой АС будет иметь

0 3 2+1 х вид: у = х + 1.

у = – х + 3 Найдём координаты точки С из систе-

мы уравнений: у = х + 1,

Рис. 83 у = – х + 3. С(1;2).

АС2=( 2+ 1 – 1)2+(2+ 2 – 2)2= 8 + 8 = 16, АС = 4, СВ = 4 – 1=3.

Ответ: в.

№8. Наименьшее значение выражения х2 + у2 в области 5х + 12у ≥ 13

а. 4 б. 2 в. 1 г. 2 д. 6,5.

Решение.

Построим прямую у = . Геометрическое место точек, удовлетворяющих заданному неравенству, есть полуплоскость, расположенная выше этой прямой. Рассмотрим семейство концентрических окружностей с центром в начале координат, задаваемых уравнением х2 + у2= с2 (рис.84).

Наименьшее значение выражения х2 + у2

у в заданной области будет на границе об-

В ласти в точке касания одной из концент-

А рических окружностей, а именно, в точке

А. Нам необходимо найти значение ради-

уса ОА. Найдём площадь прямоугольного

0 2,6 С х треугольника ОАС: S =

Рис. 84 С другой стороны, S = ОАВС.

По теореме Пифагора найдём длину гипотенузы ВС.

ВС2= , ВС =; следовательно,

S= Отсюда находим, что ОА = 1. Значит, минимальное значение выражения х2 + у2 в области 5х + 12у ≥ 13 равно 1.

Ответ: в.

№9. Число корней уравнения равно

а. 1 б. 2 в. 3 г. 4 д. 5.

Решение.

Для построения графика функции у = запишем цепочку

вспомогательных функций: у1 = , у2 = -, у3 =2-, и, наконец,

у = . Выполняем последовательно графики этих функций (на отдельных чертежах). На последнем рисунке строим прямую у = 1.

у у

у1 = у2 = -

-1 0 1 х


-1

1


-1 0 1 х


2

2

1 А В 1 Д Е у = 1

-3 0 3 х С

-3 -1 0 1 3 х

у3=2-, у =

Рис. 85

Ответ: 5 корней.

§8. Задания для самостоятельной работы с целью приобретения и закрепления навыков решения.

№1. Наименьшее значение х2 + у2 в области 3х + 4у ≥ 12 равно

а. 1,2 б. 1,44 в. 2,4 г. 5,76 д. 6.

№2. Область значений функции у = │3 – х│– 2 на промежутке х совпадает с множеством

а. б. в. г. д.

№3. График функции у = расположен выше прямой у = на множестве

а. (1;3) б. (- ; 1) (3; ) в. (1;4) г. (-1;1) (1;3) д. (3; ).

№4. Множество значений функции у = при х совпадает с отрезком

а. б. в. г. д. .

№5. Найти область значений функции у = , если х

а. б. в. г. д.

№6. Все значения х, при которых график функции у = находится ниже гиперболы у = , образуют множество

а. (2; ) б. (1; ) в. (-;2) г. (0;2) д. (5; ).

№7. Число нулей функции f(x)= при аравно

а. 1 б. 2 в. 3 г. 4 д. 0.

№8. Область значений функции у = совпадает с множеством

а. (-; б. в. г.

д.

№9. Наименьшее значение суммы х + у в области х2 + у2 ≤ 2х – 4у – 1 равно

а. б. в. – 3 г. д. наименьшего значения нет.

№10. Расстояние между точками пересечения графиков функций у = х2 и у = 2 - │х│ равно

а. 1 б. в. г. 4 д. 2.

№11. Область значений функции у = при х равна

а. б. в. г. д.

№12. Площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3 и у = , равна

а. 9 б. 5,5 в. 6 г. 4 д. 4,5.

№13. Сколько раз функция у = принимает целые значения, меньшие 2?

а. 0 б. 2 в. 6 г. 8 д. .

№14. Все значения параметра а, при которых графики функций у = и у = не имеют общих точек, образуют множество

а. б. в. г. д.

№15. Значение площади области, ограниченной графиками функций у = у = и содержащей внутри себя точку (0;-1), заключено в промежутке

а. б. в. г. д. такая область не существует.

№16. Расстояние между линиями у = х2 + х – 1 и у = х – 1 – равно

а. 1 б. 2 в. 3 г. д.

№17. Площадь фигуры, ограниченной линиями у = и у = 3, равна

а. 2,5 б. 5 в. 6 г. 5,5 д. 7.

№18. Графики функций у = и у = а пересекаются ровно в трёх точках при а, равном

а. -1 б. -2 в. -4 г. 4 д. 6.

№19. Наибольшее значение выражения у – х в области х2 + у2 ≤ 2 равно

а. 0 б. в. + 1 г. 2 д. 0,5.

№20. Все значения параметра а, при которых расстояние между точками пересечения графиков функций у = 4 – и у = а меньше 1, образуют множество

а. б. (0;4) в. (0;2) г. д. (2;6).

№21. Расстояние между линиями х – у= 3 и (х - 2 – 1)2+ (у + 2+ 2)2=1 равно

а. 3 б. в. 2 – 1 г. 4 д. 5.

№22. х2 + х – 2 х2 – х – 2

Линии у = + и х2 + у2 = а2

х + 2│ │х – 2│

пересекаются в трёх точках, если

а. │а│= 4 б. 4 <│а│< в. │а│> 4 г. 2<│а│<

д. такое невозможно.

Ответный код: 1 – г, 2 – б, 3 – г, 4 – б, 5 – б, 6 – г, 7 – б, 8 – а, 9 – в,

10 – д, 11 – г, 12 – д, 13 – в, 14 – д, 15 – б, 16 – а, 17 – а, 18 – д, 19 – г, 20 – г,

21 – а, 22 – д.

Заключение.

Остановимся на некоторых практических рекомендациях, которые помогут избежать характерных ошибок.

Переводя условия задач на математический язык, не пренебрегайте ни одним из них, каким бы малозначащим оно ни казалось, и не интерпретируйте их по-своему. Переходя к записи ответа, прочитайте задание ещё раз и отвечайте обдуманно на поставленный вопрос.

Приступая к непосредственному решению задачи, следует при возможности провести упрощение заданных выражений, уравнений и т. д. Громоздкие выражения или функции следует разбивать на фрагменты, преобразуя в дальнейшем каждый фрагмент в отдельности или строя график каждой функции в цепочке преобразований отдельно.

Увидев и прочитав задание, подумайте о рациональном способе решения (алгебраическом или графическом).

При решении задач, например, на отыскание количества корней или целых корней уравнения смешанного типа и т.п., рекомендуется пользоваться графическим методом. При этом точное построение графиков не обязательно – можно ограничиться приближённым воспроизведением (эскизом), важно лишь, чтобы правильно были отмечены характерные особенности графика точки пересечения с осями, экстремальные точки, области знакопостоянства и т.п. Пользуйтесь свойствами чётности или нечётности функций, выполняя при этом построение части графика в первом координатном углу (х ≥ 0, у≥ 0), и в дальнейшем осевой или центральной симметрией.

Хотелось бы предупредить от одной характерной ошибки, допускаемой учащимися. Если Вам встретилось задание, похожее на уже выполнявшееся вами, не занимайтесь воспоминаниями, как это задание выполнялось раньше,- выполняйте его как новое, ибо прошлого решения можно и не вспомнить, или спутать с каким-либо другим, и при этом потерять время на воспомининие.

При работе с учебно-тренировочными материалами пособия, прочитав задание, попытайтесь решить её самостоятельно, не заглядывая в решение, предложенное вам. Не исключено, что Ваше решение может оказаться другим, а может и более рациональным или оригинальным. Если же все Ваши попытки окажутся безуспешными, посмотрите начало решения, указанного в пособии, не пытайтесь просматривать всё решение сразу. Не исключено, что Вам будет достаточно какой-то начальной идеи, чтобы завершить решение задания самостоятельно. И только если и в этом случае задачу решить не удастся, ознакомьтесь с её решением до конца. После этого обязательно прорешайте задачу самостоятельно от начала до конца, отметив применённые подходы, приёмы и т.п., которые Вы забыли или Вам были не известны.

Напоследок, хотелось бы привести слова выдающегося математика А.Н. Колмогорова: «Математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески, так что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно».

Удачи вам!

Литература.

1. Графики функций: Учебное пособие для поступающих в вузы. – М.: Высшая школа. 1972.

2. Планирование учебного материала для IX класса с углублённым изучением математики (методические рекомендации). – М.: Московский городской институт усовершенствования учителей, 1990.

3. Галицкий М.М., Гольдман А.М., Звавич Л.И. и др. Сборник задач по алгебре (учебное пособие для 8-9 классов с углублённым изучением математики). – М.: Просвещение, 2002.

4. Фальке Л.Я., Лисничук Н.Н., Крыжановская Е.Н. и др. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе (учебно-методические материалы по математике). – М.,2004.

5. Клейменов В.А. Математика. Решение задач повышенной сложности. – М.: Интеллект – Центр, 2004.

6. Иванов А.П. Тесты для систематизации знаний по математике (9 класс): Учебное пособие. – ПГУ, 2006.

7. Шагин В.Л. 30 задач за 90 минут: Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике. – М.: ВИТА, 2004.

8. Фадеева О.М. Сборник программ курсов по выбору по математике и информатике (8-9 классы). – М.: Глобус, 2007.

Содержание.

Стр.

Программа курса по выбору «Построение графиков функций,

содержащих знак модуля»…………………………………………………………..3 Введение……………………………………………………………………………...8 Глава I. Построение графиков функций, содержащих модули, на основе линейной, дробно-линейной и квадратичной…………………………………….10

§1. Историческая справка………………………………………………………….10

§2. Функциональная зависимость. График функции…………………………….11

§3. Линейная функция у = kх + b, k≠0. Построение графиков функций

вида у = k│х│ + b, у =│ kх + b│, у =││ kх│ + b│, у – у0 = k│х – х0│,

у = │ k( х – х0)+ b │, у = │ k│ х – х0│+ b............................................................12

§4. Геометрическое место точек вида │у│ = f(x), т.е. функций, заданных

неявно в виде F(x;│у│). Геометрическое место точек вида │у│=│х│,

у – у0│=│х – х0и других………………………………………………………..18

§5. Построение графиков функций, содержащих знаки модуля, на

основе дробно-линейной…………………………………………………………...24

§6. Построение графиков функций, содержащих знак модуля, на основе

квадратичной зависимости……………………………………………………… .28

Глава II. Использование графиков функций для решения различных задач…...37

§1. Решение систем уравнений и заданий с параметрами………………………38

§2. Решение уравнений и заданий с параметрами………………………………..40

§3. Решение неравенств с одним неизвестным…………………………………...47

§4. Решение неравенств с двумя неизвестными и решение системы

неравенств с двумя неизвестными………………………………………………...49

§5. Решение тестовых заданий итоговой аттестации 2006 года в 9-х

классах………………………………………………………………………………52

§6. Задания экспериментальных экзаменационных работ (федеральный

уровень)……………………………………………………………………………..54

§7. Решение заданий тематических тестов Иванова А.П………………………..55

§8. Задания для самостоятельной работы с целью приобретения и

закрепления навыков решения…………………………………………………….60

Заключение………………………………………………………………………….62

Литература…………………………………………………………………………..63

Содержание…………………………………………………………………………64

Предлагаемое пособие содержит элективный курс для учащихся 8-9х классов в рамках предпрофильной подготовки: «Графики функций, содержащих знак модуля».

Пособие полезно учащимся и 10-11х классов при подготовке к ЕГЭ, может быть использовано учителями математики.

Цель – познакомить с методами построения графиков функций на основе элементарных, аналитическая запись которых содержит знаки модулей, и показать применение графического метода при решении разнообразных заданий, в том числе и заданий с параметрами.



Похожие документы:

  1. 100 великих загадок 20 века

    Документ
    ... экз. Мольер. Мещанин (2шт) Момова А. Математика 11 класс. 2 экз Монапассан, Г-д Пышка Монголия. Справочник ... по обсл. Учащи Есенин С. А. Избранное 10 экз. Учебно-воспитательная (2шт) Учебно-воспитательная(2шт) Учебное пособие ...

Другие похожие документы..