Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
2. О протесте прокуратуры города Калуги на решение Городской Думы города Калуги от 14.12.2011 № 237 «Об утверждении перечня услуг, которые являются не...полностью>>
'Документ'
Написання листа рідним, друзям. Закріплення етичних навичок у ході складання письмових висловлювань. Складання письмових запрошень, привітань. ( (77-8...полностью>>
'Документ'
3 - и классы -8 человек, 4- е классы- 8 человек. № п/п Ф.И.О. победителя (полностью) ОУ, класс Занятое место в школьном этапе Количество баллов Ф.И.О....полностью>>
'Анализ'
время стремительного развития учащихся, педагогов, администрации и родителей. В прошедшем учебном году в гимназии обучалось 846 человек в 33 классах: ...полностью>>

Главная > Литература

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Содержание

Введение 3

Глава 1. Арифметические функции на множестве натуральных и действительных чисел 7

1.1. Целая и дробная часть числа 7

1.2. Мультипликативные функции 21

1.3. Числовые функции: число делителей и сумма делителей натурального числа 27

1.4. Приведенная система вычетов. Функция Эйлера 33

1.5. Функция Мебиуса 41

Глава 2. Распределение простых чисел в натуральном ряду 46

2.1. Бесконечное множество простых чисел. Доказательство Евклида. Функция π(х) и ее график 46

2.2. Основные результаты 1-го мемуара П.Л. Чебышева о простых числах 50

2.3. Основные результаты 2-го мемуара П. Л. Чебышева о простых числах. Неравенство Чебышева 57

2.4. Оценка роста n-го простого числа на основании неравенства Чебышева 63

Практическое приложение 65

Заключение 73

Литература 75

Введение

Введение в математику переменных величин и функционального мышления во времена Ньютона коренным образом преобразило все естественные науки и расширило область их применения, изменив сам стиль исследовательской деятельности. Не избежала этой участи и теория чисел, в которой функциональный взгляд на многие числовые явления позволяет легко и быстро получать красивые и полезные утверждения. В дипломной работе будут рассмотрены основные наиболее употребительные арифметические функции, имеющие традиционные символьные обозначения: целая часть числа y = [х], дробная часть числа y ={x}, число делителей , сумма делителей , функция Эйлера , функция Мебиуса и функция π(х).

Арифметическими (числовыми) функциями в широком смысле называют функции, областью определения которых может служить одно из множеств: множество натуральных чисел, множество целых, рациональных чисел, множество целых идеалов фиксированного алгебраического числового поля, решетка в многомерном координатном пространстве и т. д. В узком смысле под арифметическими функциями понимают функции, определенные на множестве натуральных чисел, и принимающие значения во множестве комплексных чисел. Вообще, под арифметическими функциями понимают функции указанного типа, обладающие некоторыми специальными арифметическими свойствами.

Важную роль в теории чисел играет функция y = [х]; она определяется для всех вещественных х и представляет собой наибольшее целое, не превосходящее х. Эта функция называется целой частью от х. Наряду с функцией y = [x] существует функция {x}=х - [x], которая называется дробной частью от х. Функции целая и дробная часть числа находят широкое применение в дискретной математике и теории чисел.

Важный класс арифметических функций составляют мультипликативные функции. Примерами мультипликативных функций являются функции: число делителей , сумма делителей , функция Эйлера , функция Мебиуса . Последние две функции названы в честь математиков, которые определили их в своих работах.

Теория чисел является одним из древнейших разделов математики. Она возникла как наука, изучающая свойства натуральных чисел. Понятие натурального числа и арифметических действий над числами являются одними из первых математических абстракций, имеющими важнейшее значение для математики, других наук и всей практической деятельности человечества.

Ранний период развития арифметики характеризуется тем, что постепенно и притом весьма медленно развивается сам процесс счета, выявляются возможности неограниченного его продолжения, создается практическая арифметика, в которой решаются отдельные конкретные арифметические задачи.

В трудах Евклида числовые исследования занимают сравнительно небольшое место, однако уже у него мы встречаем ряд основных положений теории делимости и хотя простой, но чрезвычайно важный результат о бесконечности множества простых чисел.

Однако вопрос о том, как часто среди натуральных чисел встречаются простые и как простые числа распределены среди натуральных, оказывается весьма сложным. Многие великие математики проявляли большой интерес к проблеме распределения чисел в натуральном ряду. Но уже более 100 лет тому назад великому русскому математику П. Л. Чебышеву удалось получить многие результаты о распределении простых чисел, используя совершенно элементарные методы.

Еще греческим математикам был известен способ выделения простых чисел из натурального ряда, получивший название эратосфенова решета. Вот это решето и применил П. Л. Чебышев для изучения вопроса о распределении простых чисел.

Чебышев первый дал оценку роста функции π(х), выражающей число простых чисел, меньше или равных х. Результаты, посвященные распределению простых чисел, изложены в двух мемуарах о простых числах: «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины» (1849) и «О простых числах» (1852).

В своем знаменитом 1-м мемуаре Чебышев доказал, что если π(х) : имеет предел при х , то этот предел не может отличаться от единицы. В своих исследованиях Чебышев пользовался так называемой дзета-функцией (для вещественных значений s), которая была выведена Эйлером для аналитического доказательства бесконечности простых чисел.

Пятьдесят лет спустя французский математик Адамар и бельгийский математик Валле Пуссен сумели доказать, что предел π(х) : на самом деле существует. Этим завершилось доказательство асимптотического закона распределения простых чисел.

Итак, арифметические функции возникают и используются при изучении свойств чисел. Однако теория арифметических функций представляет и самостоятельный интерес. Все сказанное определяет актуальность выпускной квалификационной работы.

Целью работы является получение представлений и навыков в обращении с арифметическими (числовыми) функциями.

Для достижения поставленной цели предполагается решить следующие задачи:

1.Осветить теоретические аспекты данной темы:

  • дать определение арифметических функций,

  • изучить свойства этих функций,

  • построить графики указанных функций и получить асимптотические соотношения.

2.Проиллюстрировать теоретические положения примерами.

Глава 1. Арифметические функции на множестве натуральных и действительных чисел

1.1. Целая и дробная часть числа

Рассмотрим функции целая и дробная части числа.

Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х, т.е. целое число , такое, что + 1. Целая часть числа обозначается [х]. Из определения следует, что

[х] [х] + 1. (1)

Дробной частью действительного числа х называется разность х - [х]. Дробная часть числа х обозначается {x}. Таким образом,

{x} = х - [х] и 0 {x}< 1. (2)

Примеры

[4,8] = 4; [5] = 5; [π] = 3; [-6,29] = -7; [-e] = -3;

{7} = 0; {π} = 0,1415…; {} = .

Рассмотрим свойства функции целой части действительного числа [х].

Свойства целой части действительного числа

Пусть х – действительное положительное число, d – целое положительное. Число положительных чисел, не превосходящих х и делящихся на d, равно [].

Доказательство

Рассмотрим положительные числа, кратные d и непревосходящие х; пусть наибольшее из них будет равно sd, так что (s + 1)d уже больше, чем х; число таких чисел d, 2d, 3d, …,sd равно s, где sd< (s + 1)d, следовательно, s< s + 1, т.е. s].

Для любого действительного числа х > 0 и целого d > 0

] = ].

Доказательство

Между [х] и х нет целых чисел, и поэтому число чисел, кратных d, в сегменте , равное согласно предыдущего свойства ], равно также величине ], выражающей число чисел, кратных d в сегменте .

Для любого действительного числа х разность [х] - 2] может равняться только 0 или 1.

Доказательство

Для любого х имеем х - 1< [х] х, так что [х] - 2] ≤ х - 2 = 0,

[х] - 2] > х – 1 - 2 -1) = x – 1 – x + 2 = 1, т.е. целое число [х] - 2] может равняться только 0 или 1.

Пусть p – простое число, n 1 целое. Для показателя α наивысшей степени p, делящей n, имеем:

α = ] + ] + ] + …, (3) т.е. при α, равном сумме (3), делитель n, но не является делителем n.

Доказательство

При n < p все слагаемые в ряде (3) равны нулю, и вместе с тем действительно в этом случае показатель наивысшей степени p, делящей n, равен нулю, так что для таких p и n свойство верно.

Возьмем теперь произвольное простое число p и применим метод индукции по n. При n = 1 свойство верно, так как в этом случае n = 1< p. Предположим, что утверждение верно при всех n, таких, что 1 n < N, где N целое (N 2).

Если N < p, то утверждение свойства верно для N, как это было отмечено выше.

Если N p, то среди множителей 1, 2,…, N произведения N число делящихся на p будет равно по свойству 1° ]. Произведение всех остальных множителей числа 1 · 2… N обозначим через М. Тогда

N = p · 2 p ·…· ]p · М = · ]М, где p не является делителем М. (4)

Из N p следует 1 ] < N.

Так что согласно предположению показатель наивысшей степени p, делящей ], равен:

] + ] + … = ] + ] +… (2°)

Из формулы (4) получаем, что наибольший показатель степени p, делящий N, равен ] + ] + ] + … Таким образом, свойство верно для N и в этом

случае. По принципу полной математической индукции свойство при произвольном простом p верно для любого натурального n. [5]

Пример

1. Найдем наибольшее α, такое, что делитель 1000!

Решение

По формуле (2) имеем:

Так что делитель 1000!, но не является делителем 1000!.

2. Найдем наибольшее α, такое, что 643! делится на

Решение

По формуле (3) имеем:

643! делится на

[ x ] = x , если хZ

[ x ]x < [ x ] + 1

[ x + а ] = [ x ] + а , где аZ

Докажем, что для любого числа x и любого целого a верно равенство [x + a] = [x] + a.

Доказательство

Запишем x в виде x = [x] + {x}, тогда x + a = [x] + a + {x}.

Рассмотрим теперь число [x]+a. Оно - целое, поскольку каждое слагаемое в нем является целым числом; раз {x} > 0, то оно не превосходит x+a = [x]+a+{x}. Также можно отметить, что следующее за ним целое число [x]+a+1 больше x+a = [x]+a+{x}, т.к. {x} < 1. Но тогда получаем, что [x]+a - наибольшее целое число, не превосходящее x+a, значит [x+a] = [x]+a в силу определения целой части числа.

[nx] > n[x], где n N.

Докажем, что для любого числа x и любого натурального n верно неравенство [nx] > n[x].

Доказательство

Вновь представим число x в виде x = [x] + {x}, тогда nx = n[x] + n{x}. Поскольку число n[x] - целое, то в силу предыдущего утверждения верно равенство [nx] = [n[x] + n{x}] = n[x] + [n{x}]. Поскольку n и {x} неотрицательные числа, то [n{x}] > 0, значит [nx] > n[x].

Рассмотрим применение понятия [x] в различных упражнениях

А) Решить уравнения

1) [x] = 3

Решение

[x] = 3. По свойству 6° данное уравнение равносильно неравенству 3 х < 4.

Ответ: [3; 4)

2) [x + 1,3] = - 5.

Решение

По свойству 6°:

- 5 х + 1,3 < - 4 - 6,3 х < - 5,3

Ответ: [-6,3; -5,3)

3) [x + 1] + [x – 2] – [x + 3] = 5.

Решение

По свойству 7°:

[x] + 1 + [x] – 2 – [x] – 3 = 5

 [x] = 9 9 x < 10 (по 6° )

Ответ: [9; 10)

4) [x]- 7 [x] + 10 = 0

Решение

Пусть [x] = t , тогда t- 7 t + 10 = 0  , т.е.

   

Ответ: [2; 3) [5; 6)

Б) Решить неравенства

1) [x] 2

Решение

[x] 2

Согласно определению [x] и 5°, этому неравенству удовлетворяют х

Ответ: [2;)

2) [x]- 8 [x] + 15 0.

Решение

Пусть [x] = t, тогда данное неравенство равносильно системе   3

 Ответ: [3; 6)

3)

Решение

Пусть [x] = t , тогда получим .

Ответ: (-

В) Построить график функции y = [x]

Построим график функции y = [x]. Для этого проведем некоторое исследование указанной функции, учитывая ее определение:

1) ООФ: х R

2) МЗФ: y Z

3) Т.к. при х є [m; m + 1), где m є Z , [x] = m, то и y = m, т.е. график представляет совокупность бесконечного множества горизонтальных отрезков, из которых исключены их правые концы. Например, х є [-1; 0) =>

[x] = -1= > y = - 1 ; x є [0; 1)= > [x] = 0= > y = 0.

Примечание

1. Имеем пример функции, которая задается разными аналитическими выражениями на разных участках.

2. Кружочками отмечены точки, не принадлежащие графику.

Рассмотрим свойства функции y = [х] более подробно.

1.Функция имеет смысл для всех значений переменной х, что следует из определения целой части числа и свойств числовых множеств (непрерывности множества действительных чисел, дискретности множества целых чисел и бесконечности обоих множеств). Следовательно, ее областью определения является все множество действительных чисел D([х]) = R.

2.Область определения функции симметрична относительно начала координат, но если [х] = а, то [-х] = -(а + 1), т. е. не выполняется ни условие четности (f(-х) = f(х)), ни условие нечетности (f(-х) = -f(х)), следовательно функция ни четная, ни нечетная.

3.Функция y = [х] не периодическая.

4.Множество значений функции y = [х], это множество целых чисел (по определению целой части числа) E([х]) = Z.

5.Так как множество значений функции – все целые числа, множество целых чисел неограниченно, то и функция неограниченна.

6.Функция разрывна. Все целые значения х – точки разрыва первого рода с конечным скачком равным 1.

7.Функция принимает значение 0 для всех х, принадлежащих интервалу [0;1), что следует из определения целой части числа. Следовательно, нулями функции будут все значения этого интервала.

8.Учитывая свойства целой части числа, функция y = [х] принимает отрицательные значения при х < 0, и положительные значения при х > 1.

9. Функция y = [х] кусочно-постоянная и неубывающая.

10.Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности.

11.Так как функция y = [х] постоянна на каждом интервале [n; n +1), она не принимает наибольшего и наименьшего значений на области определения.

Рассмотрим свойства функции дробной части действительного числа {x}.



Похожие документы:

  1. Проект основной образовательной программы мкоу бутурлиновская сош №1 Бутурлиновского муниципального района Воронежской области на 2012-2017гг

    Основная образовательная программа
    ... функций; исследовать свойства числовых функций на ... натуральное. Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия с рациональными числами. Свойства арифметических действий. Степень с целым показателем. Действительные ... числа пар на множестве из 3–5 ...
  2. Основная образовательная программа основного общего образования на период 2013-2017 г

    Основная образовательная программа
    ... графики элементарных функций; исследовать свойства числовых функций на основе ... натуральное. Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия с рациональными числами. Свойства арифметических действий. Степень с целым показателем. Действительные ...
  3. Название работы: Методика проведения математических вечеров (на примере математических олимпийских игр)

    Реферат
    ... квадраты последовательных натуральных чисел плюс 2. ... функция. Ее область определения – множество действительных чисел, кроме нуля. Множество значений функции тоже состоит из всех действительных чисел ... на себя. 12. Результат одного из арифметических ...
  4. Е. Б. Чижов в 1784г отделение математики Берлинской академии наук устроила конкурс на тему: «О строгой и ясной теории того, что в математике называют бесконечным», и назначила приз за лучшее решение проблемы бес

    Конкурс
    ... , теория множеств для натуральных чисел Т1, теория множеств для действительных чисел Т2, теория множеств для функций Т3 и др ... чтобы она удовлетворяла следующим условиям: 1. Арифметические правила сложения и умножения ¾ коммутативность, ассоциативность ...
  5. Рабочая программа по математике для 5 класса на 2013/2014 учебный год

    Рабочая программа
    ... системах от натуральных до действительных чисел; овладение ... на вопросы (с. 6), чтение чисел (№ 1, с. 6; № 5, с. 7). Индивидуальная - запись чисел (№ 2, с. 6; № 7, с. 7) Составляют числовые выражения. Выполняют арифметические действия с натуральными ...

Другие похожие документы..