Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
ФГБУ «Государственный заповедник «Джергинский», Курумканское районное Управление образования, Могойтинский филиал ГБОУ СПО «Байкальский колледж туризм...полностью>>
'Документ'
00 до 1 .30 Левобережный Ленинский Советский 4 Заместитель главы администрации по градостроительству Астанин В.И. -й четверг с 10.30 до 13....полностью>>
'Литература'
мм в кв, чтобы его можно было включить в сеть 0В при силе тока 1,5А Химия Часть II упр....полностью>>
'Урок'
Обучающая: Формирование знаний и умений правил сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Умение выполнять указанные действия. Повторить...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

  1. Образ и ядро линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора.

Пусть - линейный оператор действующий в линейном пространстве V (комплексном или вещественном)

Определение: Совокупность всевозможных векторов вида называется образом оператора A и обозначается ImA. Таким образом .

Определение: Совокупность всевозможных векторов для которых называется ядром оператора A и обозначается KerA. Таким образом .

Утверждение: образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами линейного пространства V.

Доказательство: В самом деле в силу линейности оператора А имеем:

1) тогда и т.к то

и т.к. , то является подпространством пространства V.

2) отсюда .

является подпространством пространства V. #

Пример:

Пусть V – n мерное комплексное или вещественное линейное пространство.

1) Тождественный оператор , при этом Ax = Ix = x, тогда ImA=ImI=V, KerA=KerI={θ}

/ ядро состоит из единственного нулевого элемента /

2) Нулевой оператор, тогда

3) Рассмотрим оператор дифференцирования на пространстве многочленов степени не выше n, тогда отсюда. Видно, что во всех приведенных примерах справедливо:

, что не является случайным.

Теорема (о сумме размерностей образа и ядра линейного оператора) :

Пусть A - линейный оператор, действующий в линейном пространстве V. Тогда сумма размерностей образа и ядра оператора равна размерности данного линейного пространства, т.е.

Доказательство:

Пусть , причем

Выберем в пространстве V произвольный базис . Поскольку по определению , то можно записать, что линейная оболочка, порождаемая совокупностью образов базисных векторов , причем , где r – максимальное число л.н.з. векторов в системе. Но координаты именно этих векторов стоят в столбцах матрицы линейного оператора А в базисе, поэтому .

Рассмотрим ядро оператора А: .

В выбранном базисе равенству соответствует однородная СЛАУ:, которая, как известно, имеет (n-r) л.н.з. решений, образующих ФСР. Поскольку неизвестными данной системы являются координаты векторов, составляющих KerA, то отсюда заключаем, что dim(KerA)=n-r. В результате получаем, что

Определение: Размерность образа оператора называется рангом оператора, размерность ядра оператора называется дефектом оператора.

Определение: Линейный оператор называется невырожденным, если в произвольном базисе (e) данного линейного пространства V оператор А имеет невырожденную матрицу .

Следствие: Если А – невырожденный линейный оператор, то его образ совпадает со всем пространством, в котором этот оператор действует.

Доказательство: Если , то по предыдущей теореме запишем . По свойству 40 невырожденных операторов (докажем позже в параграфе 12 главе 7) равенство возможно только при отсюда откуда . Т.к. , то отсюда следует, что .

Определение: Подпространство L пространства V называется инвариантным относительно линейного оператора А, если .

Теорема (об инвариантности образа и ядра линейного оператора):

Образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами инвариантными относительно оператора А.

Доказательство:

1) Пусть , т.к. то и поэтому , т.е. подпространство ImA является инвариантным относительно оператора А.

2) Пусть . Тогда, т.у. а значит подпространство KerA инвариантно относительно оператора А.

2.Собственные значения и собственные векторы линейного оператора А.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора А.

Пусть , где V – n- мерное линейное пространство.

Определение: Число λ - называется собственным значением (с.з.) линейного оператора А, если такой, что . При этом элемент (вектор) x называется собственным вектором (с.в.) оператора А.

Здесь , если V – вещественное линейное пространство, и , если V – комплексное линейное пространство.

Критерий (существования собственного значения линейного оператора А):

Для того, чтобы λ было собственным значением линейного оператора А, необходимо и достаточно чтобы это число было корнем характеристического уравнения оператора А.

Доказательство:

Пусть - произвольный базис пространства V. - матрица оператора А в данном базисе. Тогда имеем в обе стороны (необходимость и достаточность):

(1по критерию существования ненулевых решений однородной СЛАУ.)

Правила нахождения с.з. и с.в. линейного оператора А.

1) Выбираем в пространстве базис и записываем матрицу оператора .

2) Находим все собственные значения как корни характеристического уравнения .

3) Решая однородную СЛАУ для каждого с.з.- я находим координаты соответствующих ему собственных векторов.

Определение: Множество всех собственных значений оператора А называется спектром оператора А.

3.Свойства собственных значений и собственных векторов линейного оператора.

1) Пусть - собственные векторы линейного оператора А, отвечающие одному и тому же

с.з. – ю λ. Тогда их линейная комбинация также является с.в., отвечающим тому же с.з. – ю λ.

Доказательство: 

2) Если - различные с.зн-я. линейного оператора A, то отвечающие им собственные векторы л.н.з.

Доказательство: Будем доказывать методом математической индукции. Так как , то л.н.з., пусть утверждение справедливо для n векторов , т.е. - л.н.з. Присоединим к ним вектор и рассмотрим равенство (*).

Подействуем оператором A на (*). Получим или . Вычтем из последнего равенства равенство (*), умноженное на :.

Т.к. - попарно различны и - л.н.з., то . Тогда из (*) получаем, что #

Определение: Квадратная матрица А порядка n называется диагональной, если она имеет вид:

Определение: Линейный оператор называется диагонализуемым, если в линейном пространстве существует базис, в котором матрица А данного линейного оператора имеет диагональный вид.

4.Диагонализуемость линейного оператора.

Определение: Квадратная матрица А порядка n называется диагональной, если она имеет вид:

Определение: Линейный оператор называется диагонализуемым, если в линейном пространстве существует базис, в котором матрица А данного линейного оператора имеет диагональный вид.

Теорема 1: (критерий диагонализуемости матрицы линейного оператора).

Пусть - базис в линейном пространстве V. Матрица линейного оператора в этом базисе будет диагональна тогда и только тогда, когда базисные вектора являются собственными векторами А. Матрица в базисе из собственных векторов имеет следующий диагональный вид:

Доказательство:

Необходимость:

Пусть в базисе имеем . Тогда по определению матрицы линейного оператора можно записать:

Достаточность:

Пусть базис состоит из собственных векторов. Тогда .

Теорема 2: (Достаточное условие диагонализуемости матрицы линейного оператора).

Пусть dimV=n, если линейный оператор имеет n попарно различных с.з., , то в линейном пространстве V существует базис , в котором матрица Ae оператора А имеет диагональный вид, причем этот базис состоит из с.в-в.

Доказательство: Пусть - собственные вектора, отвечающие попарно различным собственным значениям , тогда по свойству 2 образуют базис (т.к. dimV=n) отсюда по Теореме 1 (критерию) матрица Ae оператора А в этом базисе диагональна. #

Замечание 1: Обратная теорема неверна. В качестве примера можно рассмотреть тождественный оператор , при этом матрица Ae этого оператора в базисе из собственных векторов имеет диагональный вид, однако с.з.-я совпадают, т.е. не являются попарно различными.

Следствие: Если все корни характеристического уравнения оператора А попарно различны, то существует невырожденная матрица такая, что матрица является диагональной.

Доказательство: Доказательство вытекает из формулы преобразования матрицы линейного оператора при переходе от базиса (е) к базису (е`), который состоит из с. векторов и значит матрица является диагональной.

5.Билинейные формы в линейном пространстве. Симметрические и кососимметрические билинейные формы.

Пусть V – вещественное линейное пространство.

Определение: Билинейной формой называется числовая функция A(x,y) 2-х векторных аргументов x и y (), линейная как по 1-му, так и по 2-ому аргументу, и удовлетворяющая следующим условиям:

1) A(x+y,z)=A(x,z)+A(y,z)

2) A(x,y+z)=A(x,y)+A(x,z)

3) A(λx,y)= λA(x,y)

4) A(x, λy)= λA(x,y)

Пример 1:

Пусть f(x) и g(y) - две линейные формы, т.е. линейные операторы, отображающие пространство V в числовое множество. Тогда A(x,y)=f(x)g(y) - билинейная форма.

Пример 2:

Скалярное производные 2-х векторов:

тогда можно записать так - билинейная форма.

Получим теперь выражение для билинейной формы в общем виде, пусть - базис в V и тогда

Определение: Матрица , где называется матрицей Ae билинейной формы A(x,y) в базисе . Элементы этой матрицы называются коэффициентами билинейной формы в данном базисе.

Определение: Билинейная форма A(x,y) называется симметрической (кососимметрической), если .

Замечание 1: Всякая симметричная билинейная форма A(x,y) однозначно определяется своими значениями для совпадающих аргументов. В самом деле:

Замечание 2: Если A(x,y) - симметричная билинейная форма, то ее матрица Ae также является симметричной в любом базисе. В самом деле,

Следствие. Представление называется общим видом билинейной формы A(x,y) в n – мерном линейном пространстве.

6.Матрица билинейной формы и ее преобразование при переходе к новому базису.

Определение: Матрица , где называется матрицей Ae билинейной формы A(x,y) в базисе . Элементы этой матрицы называются коэффициентами билинейной формы в данном базисе.



Похожие документы:

  1. Программа аттестационных испытаний Математический факультет

    Программа
    ... сумма подпространств является прямой. Линейные операторы. Ядро и образ линейного оператора, ранг и дефект линейного оператора. Теорема о сумме ранга и дефекта. Матрица оператора в данном базисе. Матрица ...
  2. Широко используется во многих разделах теоретической и прикладной математики

    Документ
    ... и образ, и ядро оператора являются линейными подпространствами. При этом размерность образа оператора называют рангом оператора и обозначают . Размерность ядра оператора называют дефектом оператора и обозначают ...
  3. Аннотация учебной дисциплины (6)

    Документ
    ... линейного оператора. Связь матриц оператора в разных базисах. Действия над линейными операторами. Обратные операторы, условие существования. Образ и ядро линейного оператора. Теоремы о ранге и дефекте линейного оператора ...
  4. Алгебра и геометрия 1 курс 2 семестр бпми примерный перечень вопросов к экзамену (семестр II )

    Документ
    ... . Ядро и образ линейного оператора. Пространство образов и ядерное пространство. Ранг и дефект линейного оператора. Теорема о сумме ранга и дефекта линейного оператора. Операции над линейными отображениями. Пространство линейных отображений ...
  5. Исследование поддержано грантами

    Исследование
    ... образом связана с системотехникой, технологией процессов и правоведением». Изучая труд оператора ... его индивидуальных дефектов (физических, ... лишь помощник линейных руководителей в ... ПВК составляет «ядро», «структуру ... «Табели о рангах» Петром I; ...

Другие похожие документы..