Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
- проявление собственной активности в приобретении знаний, в занятиях спортом, в изучении основ наук по избранному профилю с использованием всех возмо...полностью>>
'Документ'
Blind, Disabled Requirement 10 Application for Other Benefits 15 Citizenship/Immigration/Identity 0 Enumeration 5 Residency 30 Third Party Liability 3...полностью>>
'Документ'
Completed tenders should be returned to Cherie White, 20 Windsor Avenue, Belfast, BT9 6EG by 3pm on Wednesday, 6th November 2013. Late tenders will no...полностью>>
'Документ'
11-10.11) неделя (11.11-17.11) 3 неделя (18.11- 4.11) 4 неделя ( 5.11-30.11) 1 неделя (01.10-0 .10) неделя (01....полностью>>

Главная > Программа курса

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

ПРОГРАММА курса «КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ, часть 1»

(1 поток, 5 семестр, 2003 г., лектор – проф. Е.П. Долженко)

Введение

  1. Комплексные числа, комплексная плоскость. Модуль и аргумент. Однозначные непрерывные ветви аргумента. Метрика и топология плоскости. Бесконечно удаленная точка, расширенная комплексная плоскость.

  2. Стереографическая проекция, ее формулы и свойства. Сфера Римана. Симметрии сферы Римана и отображение w=1/z. Угол с вершиной в бесконечности.

  3. Функции комплексного переменного. Предел функции, непрерывность, дифференцируемость, условия Коши-Римана. Правила дифференцирования. Аналитичность (голоморфность) в области и в точке (в том числе на бесконечности). Теорема Лумана-Меньшова (без доказательства). Понятие о полианалитических функциях.

  4. Геометрический смысл комплексной дифференцируемости. Конформное отображение, понятие о теореме Римана. Теоремы Х. Бора и Д.Е. Меньшова (без доказательства). Понятие о соответствии границ при конформном отображении, теореме Каратеодори, принципе симметрии, условиях нормировки конформного отображения.

Элементарные функции.

  1. Целые линейные и дробно-линейные отображения: свойство конформности и круговое свойство.

  2. Целые линейные и дробно-линейные отображения: сохранение сложного отношения четырех точек, однозначная определенность др.-лин. отображения тремя парами соответственных точек, неподвижные точки.

  3. Целые линейные и дробно-линейные отображения: свойство симметрии и групповые свойства.

  4. Целые линейные и дробно-линейные отображения: общий вид дробно-линейного отображения круга на себя, верхней полуплоскости на себя и на круг.

  5. Экспонента и логарифм, степень с произвольным показателем. Понятие римановой поверхности на примерах этих функций.

  6. Функция Жуковского и обратная к ней функция.

  7. Функции тригонометрические и гиперболические, обратные к ним функции.

Интеграл о комплексному переменному

  1. Области и кривые. Кривая Пеано. Жордановы кривые и контуры. Жорданова кривая положительной площади. Спрямляемые кривые, натуральная параметризация.

  2. Интеграл по комплексному переменному, связь с криволинейными интегралами 1-го и 2-го родов. Ограниченность интегрируемой функции, интегрируемость непрерывной функции на спрямляемой кривой.

  3. Линейность и непрерывность интеграла как функционала, его аддитивность по пути интегрирования. Переход к пределу под знаком интеграла.

  4. Сведение интеграла по комплексному переменному к интегралу по действительному переменному.

  5. Производная и первообразная вдоль пути. Формула Ньютона-Лейбница.

Интегральная теорема Коши и интегральная формула Коши

  1. Интегральная теорема Коши. Теорема Коши для составного контура.

  2. Вычеты, две теоремы Коши о вычетах. Интегральная формула Коши.

  3. Интеграл типа Коши. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций, формулы Коши для производных.

  4. Теорема Мореры.

Последовательности и ряды аналитических функций.

  1. Пространство A(G) функций, однозначных и аналитических в области G, его счетно-нормируемость и метризуемость. Теорема Вейерштрасса о последовательностях и рядах аналитических функций. Полнота пространства A(G).

  2. Ряды по целым степеням (z-a), области их сходимости, аналитичность сумм.

  3. Разложение аналитических функций в ряды Тейлора и Лорана. Единственность разложения, формулы и неравенства Коши для коэффициентов. Теорема Лиувиллля, теорема Римана об устранимой особой точке.

  4. Связь величины радиуса сходимости степенного ряда и величин радиусов сходимости рядов Лорана с расположением особых точек сумм таких рядов. Поведение этих рядов на границах их областей сходимости.

  5. Действия со степенными рядами: арифметические действия, дифференцирование, интегрирование, ряд рядов, подстановка ряда в ряд, ряд обратной функции.

Теорема единственности и принцип максимума модуля.

  1. Нули аналитических функций, порядок нуля. Теорема единственности для аналитических функций.

  2. Принцип максимума модуля, его простейшие следствия. Лемма Шварца.

Изолированные особые точки однозначного характера.

  1. Изолированные особые точки однозначного характера, эквивалентность двух их классификаций.

  2. Полюс, порядок полюса. Существенно особая точка, теорема Сохоцкого-Вейерштрасса, понятие о теореме Пикара. Бесконечно удаленная точка как особая.

Вычисление и применение вычетов. Принцип аргумента.

  1. Формулы для вычисления вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов. Лемма Жордана.

  2. Логарифмический вычет. Способ вычисления нулей аналитической функции.

  3. Принцип аргумента, теорема Руше.

  4. Теорема Гурвица о нулях сходящейся последовательности аналитических функций. Последовательности однолистных функций.

Рекомендованная литература

Основная:

  1. Маркушевич А.И. «Краткий курс теории аналитических функций». М., 1978.

  2. Привалов И.И. «Введение в теорию функций комплексного переменного». М., 1984.

  3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. «Методы теории функций комплексного переменного». М., 1987.

  4. Евграфов М.А., Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И., Бежанов К.А. «Сборник задач по теории аналитических функций». М., 1972.

  5. Долженко Е.П., Николаева С.Н. «Теория функций комплексного переменного. Методические указания». М., изд. МГУ, 1988.

Дополнительная:

  1. Маркушевич А.И. «Теория аналитических функций». М., т.1, 1967; т.2, 1968.

  2. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. «Теория функций комплексного переменного». М., 1974.

  3. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. «Лекции по теории функций комплексного переменного». М., 1989.

  4. Шабат Б.В. «Введение в комплексный анализ». М., т.1, 1976.

  5. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. «Сборник задач по теории функций комплексного переменного». М., 1975.

  6. Леонтьева Т.А., Панферов В.С., Серов В.С. «Задачи по теории функций комплексного переменного». М., изд. МГУ, 1992.



Похожие документы:

  1. Программа элективного курса «Комплексный анализ текста»

    Программа
    ... системе. Программа элективного курса «Комплексный анализ текста» («КАТ») разработана самостоятельно на основе плана комплексного анализа текста ... -28 Морфология. Морфологический разбор разных частей речи. 2 Систематизация изученного по морфологическому ...
  2. Программа дисциплины «Математический анализ, часть 2» для направления 010400. 62 «Прикладная математика и информатика»

    Программа дисциплины
    ... анализа данных и искусственного интеллекта Программа дисциплины Математический анализ, часть ... кусочной гёльдеровости. Комплексная форма записи тригонометрического ... Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. М.: Физматлит, 2003. ...
  3. Рабочая программа по предмету: комплексный анализ текста для 7 8 класса Учитель: Дробышева Наталья Николаевна

    Рабочая программа
    ... процесс обучения полезным и увлекательным. Особенностью программы курсаКомплексный анализ текста” является опора на языковое ... ; в устном общении, при анализе текста. Междометие. (1 ч) Междометие как часть речи. Синтаксическая роль ...
  4. Программа курса «химия»

    Программа курса
    ... . Электролиз. Комплексные соединения. Составные части комплексного соединения : ... доли. титриметрический анализ. Сущность титриметрического анализа. Реакции, используемые ... РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ ПРОГРАММА КУРСА “ ХИМИЯ” СПЕЦИАЛЬНОСТЬ ...
  5. Программа курса «технология» к умк «Гармония»

    Программа курса
    ... интеграции и комплексности содержания предполагает органичное ... (дополнительной) части; Инвариантная часть содержания обеспечивает ... деятельности. Программа курса обеспечивает результаты ... контуром. Формирование приемов анализа, сравнения, классификации ...

Другие похожие документы..