Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Открытое акционерное общество «Мобильные ТелеСистемы» (сокращенное наименование ОАО «МТС»), именуемое «МТС», действующее на основании лицензии на оказ...полностью>>
'Конспект'
В ходе классного часа просматриваются видеозаписи, иллюстрации, слушаются звукозаписи военных лет, дети читают стихи, слушают записи песен военных лет...полностью>>
'Занятие'
Терапевтическая стоматология [Электронный ресурс]: учебник /Г. М. Барер и др. Часть 2. Болезни пародонта. - М.: ГЭОТАР-Медиа, 2009. - 224 с. - Режим д...полностью>>
'Программа'
4. Правила приема граждан в учреждение на обучение по основным общеобразовательным программам обеспечивают прием в учреждение граждан, имеющих право н...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Математическое ожидание суммы случайных величин.

Пусть . Тогда

(2.60)

Тем самым обосновано ранее не доказанное свойство: математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Подчеркнём, что на слагаемые не налагается никаких ограничений.

  1. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных

величин. Пусть . Тогда

(2.61)

Тем самым обосновано ещё одно свойство математического ожидания: математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей.

В заключение рассмотрим некоторые распределения, связанные с нормальным распределением.

1. Сумма нормальных распределений.

Пользуясь разобранными правилами, можно показать, что сумма независимых нормально распределённых случайных величин также распределена нормально. Это утверждение выражает чрезвычайно важное свойство устойчивости нормального распределения.

Пример 10.

Нормативная грузоподъёмность железнодорожной цистерны равна 60-ти тоннам. Считая загрузку каждой цистерны нормально распределённой случайной величиной с математическим ожиданием равным нормативной вместимости со среднеквадратическим отклонением , (зависит от точности работы загрузочного устройства), найти закон распределения, математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины – загрузки состава из 50 цистерн.

Решение. Рассматривая загрузку состава как случайную величину , равную сумме загрузок всех цистерн, на основании свойства устойчивости нормального распределения можем утверждать, что также распределена нормально с числовыми характеристиками

Отсюда:

Воспользуемся полученными значениями и правилом трёх , согласно которому с вероятностью 0.9973 загрузка состава не выйдет за пределы интервала (), то есть (2957.58; 3042.42).

  1. Распределение («хи-квадрат»).

Так называется распределение случайной величины

(2.62)

где – независимые, нормально распределённые, стандартные () случайные величины. Число слагаемых называется числом степеней свободы этого распределения. Это распределение можно получить, найдя сначала как функцию одного случайного аргумента, затем – и, применяя метод математической индукции, найти искомое распределение. Это распределение хорошо изучено и для него существуют подробные таблицы (таблица 6).

  1. Распределение Стьюдента (- распределение).

Пусть независимые стандартные случайные величины. Распределением Стьюдента с степенями свободы называется распределение случайной величины

(2.63)

Это распределение также хорошо изучено и для него также существуют подробные таблицы (таблица 5).

    1. Корреляционная зависимость

Рассмотрим двумерную случайную величину , плотность вероятности которой известна. Найдём математическое ожидание произведения отклонения компонент от их математических ожиданий:

(2.64)

здесь обозначено

Поскольку в общем случае математическое ожидание произведения не равно произведению математических ожиданий сомножителей, полученная разность не равна нулю. Величину этой разности называют ковариацией случайных величин и и обозначают . Таким образом, имеются два способа вычисления ковариации

(2.65)

Очевидно, для независимых случайных величин

Используя введённое понятие, найдём ещё одно выражение для дисперсии суммы и разности компонент двумерной случайной величины:

Таким образом,

(2.66)

В случае независимости компонент ковариация равна нулю и дисперсия суммы или разности равна сумме дисперсий.

Поскольку является размерной величиной (её размерность совпадает с размерностью произведения случайных величин), то вводится безразмерная характеристика, которую называют коэффициентом корреляции

(2.67)

Коэффициент корреляции обладает рядом свойств.

Для независимых случайных величин , поскольку в этом случае

Если , то компоненты двумерной случайной величины зависимы, поэтому коэффициент корреляции может служить некоторой характеристикой зависимости случайных величин. Однако, будучи необходимым, равенство нулю коэффициента корреляции не является достаточным условием независимости, то есть из условия не следует независимость и . Если , то говорят, что и не коррелированны.

Можно показать, что коэффициент корреляции по модулю не превосходит единицы

(2.68)

и равен по модулю единице тогда и только тогда, когда между и имеется линейная зависимость. То есть равенство коэффициента корреляции по модулю единице является необходимым и достаточным условием линейной зависимости случайных величин, а близость к единице характеризует степень близости зависимости между случайными величинами к линейной.

Рассмотрим двумерную случайную величину с известной плотностью вероятности . Если компоненты независимые, то, как было показано, и , где и – плотности вероятности компонент. Между и может существовать функциональная зависимость, когда каждому значению одной компоненты соответствует вполне определённое значение другой. Такова связь между радиусом круга и его площадью. Однако, существуют такие зависимости между величинами, которые нельзя отнести к функциональным. Такова, например, связь между избыточным весом человека и продолжительностью его жизни, ростом и весом и так далее. Здесь каждому значению одной величины соответствует множество возможных значений другой. Для изучения зависимостей такого вида чаще всего рассматривают изменение средних характеристик одной величины при изменении другой.

Две случайные величины и назовём корреляционно зависимыми, если распределение одной из них зависит от значения другой. Распределение случайной величины при заданном значении будем называть условным. Проводя рассуждения, как и при введении условной вероятности, можно найти условную плотность вероятности компоненты при заданном значении компоненты :

, где (2.69)

Совершенно аналогично определяется условная плотность вероятности второй компоненты

, где (2.70)

Найдём теперь условные математические ожидания компоненты при заданном значении и компоненты при заданном значении :

(2.71)

Условное математическое ожидание является некоторой функцией от значения случайной величины и, следовательно, так же является случайной величиной. Эта функция называется функцией регрессии величины на величину и обозначается

(2.72)

Аналогично определяется функция регрессии величины на величину :

(2.73)

Графики этих функций называются линиями регрессии соответственно на и на . Вид функций регрессии определяет характер корреляционной зависимости случайных величин и . Наиболее простым случаем является линейная регрессия, имеющая самостоятельное значение и служащая первым приближением в более сложных ситуациях. В случае линейной регрессии, линии регрессии на и на – прямые линии (в общем случае различные), а функции регрессии – линейные функции. Примером может служить общеизвестная формула

где – рост случайно выбранного человека, а – его вес.

Можно показать, что уравнения прямых регрессии на и на соответственно имеют вид

Рис.2.16

(2.74)

Обе эти прямые проходят через точку , причём угловые коэффициенты прямых регрессии равны

Учитывая, что , получаем . Это означает, что прямая регрессии на имеет меньший наклон, чем прямая регрессии на . При прямые регрессии сливаются, а линейная корреляционная зависимость превращается в линейную функциональную.

    1. Предельные теоремы

В этом параграфе нас будет интересовать закон распределения и некоторые связанные с ним числовые характеристики суммы случайных величин при условии, что распределение и числовые характеристики слагаемых известны, а их число неограниченно возрастает.

Неравенство Чебышева. Для произвольной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией для любого справедливо неравенство:

(2.75)

Приведём доказательство для непрерывной случайной величины.

Здесь мы разбили интервал интегрирования на три, в первом и третьем слагаемых заменили на меньшее и отбросили второе слагаемое, в результате чего и получили неравенство, так как сумма при этом может только уменьшиться. Но выражение, стоящее в правой части в скобках, равно вероятности попадания случайной величины в интервалы , то есть вероятности выполнения неравенства . Отсюда Деля на , получаем (2.75).

Из неравенства Чебышева следует: чем меньше дисперсия, тем меньше вероятность отклонения случайной величины от своего математического ожидания более чем на .

Теорема Чебышева. Пусть – последовательность независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной. Тогда вероятность отклонения среднего арифметического системы случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий по модулю меньше, чем на стремится к единице при неограниченном увеличении .

где (2.76)

Найдём случайную величину – среднее арифметическое и найдём её числовые характеристики:

Здесь мы воспользовались свойствами математического ожидания и дисперсии суммы независимых случайных величин и тем, что дисперсии всех слагаемых ограничены одной константой . Применим теперь к неравенство Чебышева:

или

Переходя в этом неравенстве к пределу при и учитывая ограниченность , получаем:

Но вероятность не может быть больше единицы, поэтому

Что и требовалось доказать. В этом случае говорят, что среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому математических ожиданий слагаемых.

Следствия.

1. Обычно, при определении численного значения некоторой величины приводится несколько измерений и в качестве искомого значения принимается их среднее арифметическое. Действительно, результат каждого измерения можно рассматривать как случайные величины . Если результаты измерений независимы, имеют одно и то же математическое ожидание и их дисперсии ограничены одной и той же константой (что на практике обычно выполняется), то согласно теореме Чебышева, среднее арифметическое сходится по вероятности к истинному значению измеряемой величины.

2. Теорема Бернулли. Эта теорема устанавливает связь между относительной частотой события и его вероятностью . Пусть производится независимых однородных испытаний (схема Бернулли), в каждом из которых событие может появиться с вероятностью . Введём в рассмотрение случайные величины – индикаторы испытаний. Напомним, что принимает только два значения: 1, если в i-том испытании событие наступило, и 0 в противоположном случае. Ранее были найдены и . Система случайных событий удовлетворяет условиям теоремы Чебышева и поэтому

Остаётся отметить, что сумма равна числу появлений события при испытаниях, а значит является относительной частотой, которую ранее обозначали .

Таким образом, при неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота события сходится по вероятности к – вероятности его появления при одном испытании. Это утверждение и является теоремой Бернулли.

Центральная предельная теорема. Снова рассмотрим последовательность случайных величин и найдём закон распределения суммы этих случайных величин при неограниченном возрастании . Оказывается, что закон распределения такой суммы при весьма общих условиях близок к нормальному. Этот факт определяет особое значение нормального распределения в теории вероятностей и имеет огромное прикладное значение. Соответствующее утверждение называется центральной предельной теоремой. Её строгое доказательство при достаточно общих предположениях впервые было дано русским математиком А.М.Ляпуновым. Приведём без доказательства формулировку этой теоремы.

Теорема Ляпунова. Пусть – последовательность независимых случайных величин и существуют конечные соотношения:

Если

и то

(2.77)

Отсюда следует, что случайная величина распределена асимптотически нормально с параметрами и .

Смысл условий теоремы Ляпунова заключается в том, что вклад любого слагаемого в образование всей суммы равномерно мал.

Следствия.

1. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Рассмотрим последовательность независимых однородных испытаний (схема Бернулли), в каждом из которых событие может появиться с вероятностью . Вероятность того, что событие появится при этом не менее и не более раз определяется по формуле Бернулли:

причём, при большом применение этой формулы практически невозможно и применяется интегральная теорема Муавра-Лапласа. Для её обоснования рассмотрим систему случайных величин – индикаторов испытаний. Сумма индикаторов, то есть , равна числу появления события при испытаниях (то есть ), причём

Условия теоремы Ляпунова выполнены, поэтому случайная величина распределена асимптотически нормально с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением . Остаётся найти вероятность того, что случайная величина будет заключена в пределах от до , для чего воспользуемся формулой (2.34)

(2.78)

где функция Лапласа. Тем самым обоснована интегральная теорема Муавра-Лапласа.

2. Ошибки измерений. Известно, что при повторении измерений одного и того же объекта, выполненных одним и тем же инструментом с одинаковой тщательностью, мы не получаем одинаковых результатов. Разброс результатов измерений вызывается тем, что на процесс измерения влияют многочисленные факторы, которые невозможно и нецелесообразно учитывать. В этой ситуации ошибку, возникающую при измерении интересующей нас величины, часто можно рассматривать как сумму большого числа независимых между собой слагаемых, каждое из которых даёт лишь незначительный вклад в образование всей суммы. Но в таком случае мы находимся как раз в условиях применимости теоремы Ляпунова и можем ожидать, что распределение ошибки измеряемой величины мало отличается от нормального.

В более общем случае ошибка является функцией большого числа случайных аргументов, каждый из которых лишь немного отличается от своего математического ожидания. Линеаризируя функцию, то есть, заменяя её линейной, мы приходим к предыдущему случаю. Накопленный опыт по статистической обработке результатов измерений действительно подтверждает этот факт в большинстве практических случаев.

Аналогичные рассуждения поясняют появление нормального распределения в отклонении параметров, определяющих изделие, от нормативных значений при их массовом производстве.

Доска Гальтона.

Центральная предельная теорема (а точнее, её частный случай – теорема Муавра-Лапласа) может быть проиллюстрирована на простой механической модели (достаточно редкая в математике ситуация), представляющей наклонную плоскость, на которой в шахматном порядке установлены штифты (Рис.2.17). Падающие из бункера через воронку шарики, диаметры которых несколько меньше расстояний между штифтами, после многократных столкновений со штифтами попадают в вертикальные накопительные ячейки. При каждом столкновении, а всего каждый шарик совершит их столько, сколько имеется рядов штифтов, шарик может отклониться или влево, или вправо, причём в силу симметрии эти два события равновозможны (Рис.2.18).

Введём случайные величины – индикаторов результата i - го столкновения, положив , если шарик отклоняется вправо, и , если влево. Закон распределения такой случайной величины, а также её числовые характеристики приведены ниже.

0.5

0.5

Рис.2.17

Рис.2.18

Рис.2.19

Сумма определяет абсциссу вертикальной ячейки, в которую после всех столкновений со штифтами попадёт шарик (при условии, что начало отсчёта помещено в середину воронки и горизонтальный шаг решётки штифтов равен 2). Очевидно, условия теоремы Ляпунова выполнены и поэтому при достаточно большом распределена почти нормально с параметрами и . Число шариков, оказавшихся в накопительных ячейках, согласно частотному смыслу вероятности будет пропорционально вероятности попадания шарика в соответствующую ячейку и тем самым – соответствующей ординате графика плотности нормального распределения. Поэтому линия, огибающая лежащие в ячейках шарики, будет отличаться от кривой Гаусса только масштабом. Опыт показывает, что даже при не очень большом числе рядов полученная таким образом огибающая отчётливо воспроизводит эту кривую (Рис.2.19).



Похожие документы:

  1. Оторой образуют или конечное множество, или счётное (бесконечное множество, элементы которого можно пронумеровать)

    Документ
    ... понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной называется величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента Примерами случайных величин могут быть отметка на ...
  2. Учебное пособие может быть полезно студентам всех экономических специальностей, изучающих дисциплины «Экономика труда» и«Экономика и социология труда». Оглавление

    Документ
    ... значение для численности ... стохастический (случайный, вероятностный) характер и не может ... Величина абсолютного и относительного возрастания тарифных коэффициентов от разряда к разряду может меняться. В зависимости от ... который может быть получен в результате ...
  3. Приоритетный национальный проект «образование» Т. А. Пьявченко, В. И. Фиhаев автоматизированные информационно-управляющие системы таганpог 2007

    Документ
    ... называется система, в которой ... также стохастические входы ... может меняться в зависимости от ... результату добавляется величина смещения, результат присваивается аппаратному значению канала; -  у каналов типа OUTPUT к аппаратному значению добавляется величина ...
  4. 7 9 октября 2013 г г. Сочи Конференция проводится по результатам исследований, полученным при выполнении

    Документ
    ... величина экологического ущерба, который может возникнуть в результате ... численные эксперименты ... которые обычно называются ... зависимости от их морфологических типов, размеров и локальных особенностей условий питания. Полученные значения величин ... стохастическая ...
  5. Е. А. Дашкевич экономика и организация садово-паркового строительства и хозяйства

    Документ
    ... эксперименты ... операций может меняться в зависимости от ... численностичисленность ... изучения стохастических зависимостей ... Величина, полученная в результате сопоставления двух однородных показателей, один из которых принимается за единицу, называется ...

Другие похожие документы..