Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Тесты'
В последнее десятилетие РФ, как и весь мир, пережила масштабные атаки со стороны международного и внутреннего терроризма. Происходит качественное изме...полностью>>
'Документ'
DVD-диск с записью спектакля. E-mail: elena.getsevich@ Почтовый адрес: 0075 Россия, г. Екатеринбург, ул. Тургенева, 0, «Коляда-Театр», для Гецевич Е....полностью>>
'Документ'
Данная книга является описанием встроенного языка системы 1С:Предприятие и предназначена для специалистов, выполняю­щих конфигурирование системы для р...полностью>>
'Инструкция'
В предлагаемой ниже таблице представлен перечень профессиональных знаний и умений учителей, необходимых для работы по технологии (указывается название...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Поэтому

(2.35)

Для определения плотности вероятности остаётся продифференцировать найденную функцию распределения:

(2.36)

Аналогично решается задача в случае монотонно убывающей функции . Если эта функция не монотонная, но ни на одном интервале не равна тождественно постоянной, то в формуле, аналогичной (2.35), будет несколько интервалов интегрирования с пределами, зависящими от

В ряде случаев достаточно знать числовые характеристики случайной величины , которые в случае монотонно возрастающей функции равны

(2.37)

Аналогично определяется дисперсия:

(2.38)

Таким образом, для определения числовых значений характеристик не обязательно знать закон её распределения. Можно показать, что формулы (2.37) и (2.38) верны и в общем случае.

Подобрав определённым образом функцию , из случайной величины , распределённой по некоторому закону, таким преобразованием можно получить случайную величину , распределённую по любому закону. Особенно часто в качестве первичной берут случайную величину, равномерно распределённую на интервале . Последнее объясняется тем, что равномерно распределённую случайную величину достаточно просто можно получить на компьютере (соответствующая встроенная программа получения равномерно распределённых на интервале величин имеется даже в обычном инженерном калькуляторе), что используется при численном моделировании.

    1. Системы случайных величин

Во многих задачах приходится рассматривать одновременно две или более случайные величины. Возникающую при этом систему из конечного числа случайных величин назовём – мерной случайной величиной. Заказывая партию костюмов, торговая фирма должна иметь некоторую информацию о распределении у потенциальных покупателей хотя бы двух случайных параметров – размера и роста.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением двумерной случайной величины. При сохранении главного упрощаются выкладки и появляется возможность дать геометрическую интерпретацию.

В дискретном случае возможные значения двумерной случайной величины можно рассматривать как координаты случайной точки на плоскости – . Чтобы задать случайную величину, в этом случае надо указать перечень возможных значений и вероятности того, что компоненты и примут значения и . Как и в одномерном случае это можно сделать в виде таблицы (но уже с двумя входами) или аналитически (некоторой формулой):

Поскольку события, заключающиеся в том, что и при несовпадении хотя бы одного индекса несовместны, а их сумма – достоверное событие, то

(2.39)

Для описания непрерывной двумерной случайной величины , как и в одномерном случае, введём понятие функции распределения

(2.40)

Рис.2.11

Таким образом, значение функции распрделения в точке равно вероятности того, что случайная точка с координатами попадёт в квадрант с вершиной в точке , изображённый на Рис.2.11.

Как и в одномерном случае, функция распределения двумерной случайной величины обладает рядом свойств:

1. (2.41)

2. – функция, не убывающая по каждому аргументу.

3. (2.42)

4. Обозначим функции распределения компонент и двумерной случайной величины соответственно и , тогда

(2.43)

5. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник равна

(2.44)

Предположим теперь, что функция распределения имеет смешанную частную производную второго порядка, которую назовём плотностью вероятности двумерной случайной величины:

(2.45)

Как и в одномерном случае, плотность вероятности двумерной случайной величины обладает рядом свойств:

1. (2.46)

2. (2.47)

Следствие:

(2.48)

3. потому называется плотностью вероятностей двумерной величины, что как и в одномерном случае, она равна отношению вероятностей попадания случайной точки в некоторую область, содержащую точку , к её площади, при неограниченном уменьшении её размеров.

4. Вероятность попадания случайной величины в заданную область

(2.49)

5. Плотности вероятностей и компонент и определяются по плотности вероятности двумерной случайной величины следующим образом

(2.50)

Зависимость случайных величин

Рассмотрим двумерную случайную величину , заданную плотностью вероятности , по которой при необходимости может быть найдена функция распределения . Обозначим попадание случайной точки в полуплоскость событием , в полуплоскость событием (Рис.2.12). Тогда значение функции распределения – вероятность попадания случайной точки в квадрант будет равно вероятности произведения событий и , то есть

Рис.2.12

Учитывая, что функция распределения компонент есть

Примем за основу определение независимости случайных событий и назовём компоненты двумерной случайной величины и независимыми, если

Откуда:

(2.51)

то есть

назовём компоненты двумерной случайной величины независимыми, если её функция распределения равна произведению функций распределения компонент.

Аналогичное утверждение справедливо и для плотностей вероятности

(2.52)

Следствие. Если случайные величины и независимы, то по известным распределениям компонент и можно восстановить распределение системы .

    1. Функции нескольких случайных аргументов

Ранее мы рассмотрели случай функции одного случайного аргумента. Пусть теперь двумерная случайная величина с известной плотностью вероятности

Рис.2.13

и , то есть паре возможных значений и соответствует одно значение случайной величины , которую в дальнейшем будем называть функцией двух случайных аргументов. Возникает задача по известному распределению двумерной случайной величины найти функцию распределения , плотность вероятности и числовые характеристики Найдём, прежде всего, функцию распределения, воспользовавшись определением

(2.53)

где область (Рис.2.13) – множество точек, координаты которых удовлетворяют условию . Дифференцируя по , получаем плотность вероятности случайной величины .

Рассмотрим частные случаи.

  1. Пусть В этом случае область имеет вид, показанный на

Рис.2.14.

Рис.2.14

Отсюда:

Но это уже ранее найденные функции распределения (2.43) и плотности вероятности (2.50) компоненты двумерной случайной величины.

  1. Распределение суммы двух случайных величин.

Рис.2.15

Пусть . Соответствующая этому случаю область представлена на Рис.2.15. Функция распределения в этом случае равна

(2.54)

Дифференцируя по , получаем:

(2.55)

В важном для приложений случае независимых случайных величин соотношение (2.55), с учётом (2.52), принимает вид:

(2.56)

который называют свёрткой или композицией исходных законов распределения.

Аналогичным образом можно получить соответствующие выражения для произведения и частного двух случайных величин.

Перейдём к определению числовых характеристик функции двух случайных аргументов . По определению математическое ожидание равно:

.

Однако, для определения математического ожидания нет необходимости предварительно определять плотность вероятности случайной величины , то есть . Ранее, при изучении функции одного случайного аргумента, было показано, что если , то . Аналогичное утверждение верно и в рассматриваемом случае:

(2.57)

Аналогично находится дисперсия:

(2.58)

Найдём теперь математическое ожидание функции двух случайных аргументов в некоторых частных случаях.

  1. Математическое ожидание компонент. Пусть . Тогда

(2.59)

Аналогично определяется математическое ожидание второй компоненты.



Похожие документы:

  1. Оторой образуют или конечное множество, или счётное (бесконечное множество, элементы которого можно пронумеровать)

    Документ
    ... понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной называется величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента Примерами случайных величин могут быть отметка на ...
  2. Учебное пособие может быть полезно студентам всех экономических специальностей, изучающих дисциплины «Экономика труда» и«Экономика и социология труда». Оглавление

    Документ
    ... значение для численности ... стохастический (случайный, вероятностный) характер и не может ... Величина абсолютного и относительного возрастания тарифных коэффициентов от разряда к разряду может меняться. В зависимости от ... который может быть получен в результате ...
  3. Приоритетный национальный проект «образование» Т. А. Пьявченко, В. И. Фиhаев автоматизированные информационно-управляющие системы таганpог 2007

    Документ
    ... называется система, в которой ... также стохастические входы ... может меняться в зависимости от ... результату добавляется величина смещения, результат присваивается аппаратному значению канала; -  у каналов типа OUTPUT к аппаратному значению добавляется величина ...
  4. 7 9 октября 2013 г г. Сочи Конференция проводится по результатам исследований, полученным при выполнении

    Документ
    ... величина экологического ущерба, который может возникнуть в результате ... численные эксперименты ... которые обычно называются ... зависимости от их морфологических типов, размеров и локальных особенностей условий питания. Полученные значения величин ... стохастическая ...
  5. Е. А. Дашкевич экономика и организация садово-паркового строительства и хозяйства

    Документ
    ... эксперименты ... операций может меняться в зависимости от ... численностичисленность ... изучения стохастических зависимостей ... Величина, полученная в результате сопоставления двух однородных показателей, один из которых принимается за единицу, называется ...

Другие похожие документы..