Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
прошу зарегистрировать Пользователя в Реестре РУЦ ОГВ ТО и изготовить сертификат ключа подписи в соответствии с указанными в настоящем заявлении идент...полностью>>
'Документ'
Об утверждении ставок сборов с судов за услуги по использованию инфраструктуры внутренних водных путей, оказываемые ФБУ «Администрация Волго-Донского ...полностью>>
'Документ'
факс E-mail Руководитель Должность Фамилия, имя, отчество 83003, г....полностью>>
'Документ'
( характерное только для определенных территорий) инфекции, возбудители которых постоянно существуют в природе и передаются человеку клещами при крово...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной

(2.15)

Действительно, Постоянную можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую единственное значение с вероятностью 1, поэтому

Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

(2.16)

Поскольку при умножении на возможные значения случайной величины также умножаются на , при сохранении соответствующих вероятностей, то (2.16) следует из известных свойств суммы и интеграла.

Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых

(2.17)

Математическое ожидание произведения конечного числа независимых в совокупности случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей

(2.18)

Итак, математическое ожидание является тем «средним» значением, вокруг которого распределены все возможные значения случайной величины. Однако, знания среднего значения случайной величины для большинства задач недостаточно, необходимо иметь ещё количественную характеристику разброса возможных значений случайной величины относительно математического ожидания. Для этого рассмотрим разность – отклонение возможного значения случайной величины от её математического ожидания:

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

(2.19)

Для вычисления дисперсии часто оказывается полезной формула:

(2.20)

Действительно:

Свойства дисперсии

Дисперсия постоянной равна нулю

(2.21)

Действительно,

Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

(2.22)

Действительно,

Дисперсия суммы (разности) конечного числа независимых в совокупности случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

(2.23)

Действительно,

Поскольку размерность дисперсии случайной величины равна квадрату размерности самой случайной величины, то в ряде случаев удобнее пользоваться корнем из дисперсии. Эта характеристика имеет ту же размерность, что и сама случайная величина, и её называют среднеквадратическим отклонением.

(2.24)

Из свойств дисперсии следуют свойства среднеквадратического отклонения:

    1. Некоторые законы распределения и их числовые

характеристики

Рассмотрим некоторые особо важные распределения случайных величин и найдём их числовые характеристики.

Биноминальные распределения

К этому распределению приводит схема Бернулли: пусть производится независимых однородных испытаний, в каждом из которых событие может произойти с вероятностью , а ему противоположное – с вероятностью . Рассмотрим теперь дискретную случайную величину , равную числу появлений события при испытаниях. Возможными значениями являются все целые числа от 0 до , а вероятность того, что примет значение , определяется формулой Бернулли:

(2.25)

Термин «биноминальное» распределение объясняется тем, что вероятность (1.1) равна соответствующему слагаемому в разложении бинома (1.16).

Для вычисления математического ожидания и дисперсии введём в рассмотрение случайные величины – индикаторы испытаний, каждый из которых равен 1, если в соответствующем испытании событие произошло, и 0 в противном случае. Закон распределения и числовые характеристики такой случайной величины приведены ниже:

0

1

Перейдём к определению и . Непосредственный подсчёт по формулам (2.13) и (2.19) достаточно сложен и мы воспользуемся тем, что число появлений события при испытаниях равно сумме значений индикаторов, то есть . Теперь воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии. Учитывая независимость , получаем:

(2.26)

Распределение Пуассона

Дискретная случайная величина называется распределённой по закону Пуассона, если её возможными значениями являются все целые неотрицательные числа (0, 1, …), а вероятность того, что случайная величина примет значение , определяется формулой Пуассона:

(2.27)

К этому закону, как уже отмечалось ранее, мы приходим в схеме Бернулли при и (асимптотически). К нему же приводит задача о простейшем стационарном (Пуассоновском) потоке и ряд других задач.

Проверим выполнение условия нормировки:

здесь использована полученная в анализе формула:

Переходя к пределу в формулах (2.26), получаем Таким образом, математическое ожидание и дисперсия для этого распределения равны, то есть оно определяется одним параметром, что в ряде случаев является очень существенным.

Равномерное распределение

Назовём непрерывную случайную величину равномерно распределённой на интервале , если её плотность вероятности равна некоторой константе на этом интервале и нулю вне него (Рис 2.4). Рассмотренные ранее примеры 4 и 5 представляют частный случай этого распределения для интервале . В общем случае графики плотности вероятностей, функции распределения(Рис.2.5) и их выражения, математическое ожидание и дисперсия приведены ниже.

Рис.2.4

Рмс.2.5

(2.28)

Равномерное распределение имеет важное практическое значение, поскольку многие, представляющие интерес, случайные величины распределены по этому закону и с его помощью можно получить практически любое распределение.

Показательное распределение

Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение, если её плотность вероятности имеет вид:

(2.29)

Опуская выкладки, приведём графики плотности вероятности и функцию распределения (Рис.2.6-2.7), выражение для функции распределения и числовые характеристики.

Рис.2.6

Рис.2.7

(2.30)

К показательному распределению приводят задачи о длительности безаварийной работы различных машин и приборов, оно играет особую роль в теории массового обслуживания и надёжности, в страховом деле, демографии и многих других прикладных дисциплин.

Нормальное распределение

Нормальное распределение – распределение Гаусса играет особую роль в теории вероятностей и её приложениях. Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Этому закону подчиняется, при соблюдении определённых условий, распределение суммы достаточно большого числа случайных величин, каждая из которых может иметь произвольное распределение. Так при изучении биномиального распределения мы воспользовались тем, что число появлений события в сумме Бернулли можно представить в виде суммы индикаторов. Пользуясь этом, позже мы покажем, что при биномиальное распределение быстро приближается к нормальному, то есть обоснуем интегральную теорему Муавра-Лагранжа.

Непрерывная случайная величина распределяется нормально, если её плотность вероятности имеет вид:

(2.31)

Графики плотности вероятности и функции распределения приведены на Рис.2.8-2.9.

Рис.2.8

Рис.2.9

Найдём функцию распределения:

Сделав замену переменной

и разбивая интеграл на два, приходим к функции Лапласа, значения которой табулированы:

(2.32)

График плотности вероятности симметричен относительно прямой , ось является горизонтальной асимптотой, точки – точки перегиба, максимальное значение равно и достигается при . Условие нормировки (2.12) принимает вид:

Определения математического ожидания и дисперсии приводят к вычислению аналогичных интегралов, что даёт:

(2.33)

Таким образом, параметрами, определяющими нормальное распределение (иногда употребляется запись ) – математическое ожидание и – среднеквадратическое отклонение.

Очевидно, изменение параметра сводится к параллельному переносу графика по оси . Для того, чтобы понять, как влияет параметр на этот график, заметим, что при уменьшении возрастает . Но площадь фигуры, ограниченной графиком плотности вероятности и осью , равна 1. Поэтому при уменьшении кривая должна быстрее приближаться к оси вдали от и более резко возрастать вблизи этого значения.

Если функция распределения известна, то можно легко найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:

(2.34)

Воспользуемся полученным соотношением и получим, так называемое, правило трёх . Для этого найдём:

То есть, практически достоверно то, что нормально распределённая величина примет значение, отличающееся от её математического ожидания по модулю не более, чем на . Иначе говоря, практически невозможно появление значения, выходящего за пределы этого интервала. Последнее обстоятельство находит широкое применение в различных приложениях.

Пример 8.

Затаривание мешков с цементом производится без систематических ошибок. Случайные ошибки подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением грамм. Найти вероятность того, что затаривание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 100 грамм.

Решение. В задаче рассматривается случайная величина – ошибка взвешивания, то есть разность между случайным значением веса мешка и его нормативным значением – математическим ожиданием:

Здесь мы применили формулу (2.34), при и , и таблицу 4.

Функция одного случайного аргумента

Во многих случаях по известному распределению случайной величины требуется определить распределение случайной величины , связанной с функциональной зависимостью. Например, по продолжительности жизни человека – случайной величине, страховой компании требуется определённая информация о величине страховой премии и взимаемом при этом взносе.

Пусть . Для описания случайной величины необходимо в случае дискретной случайной величины по её известному закону распределения найти закон распределения , в случае непрерывной случайной величины по её известной плотности (или функции распределения) найти плотность вероятности случайной величины (или её функцию распределения).

Рассмотрим сначала дискретный случай. Пусть случайная величина задана таблично. Поскольку , то каждому значению соответствует , причём, в силу функциональной зависимости вероятности событий и равны. Поэтому

Однако возможно, что значения случайной величины не упорядочены и среди них встречаются одинаковые. Тогда дополнительно их нужно расположить в порядке возрастания, а одинаковые значения объединить, сложив соответствующие вероятности.

Пример 9.

Случайная величина – отклонение сопротивления резистора от номинала задана таблично и – время (в минутах), необходимое на наладку прибора, пропорционально квадрату отклонения.

-2

-1

0

1

2

3

0.1

0.2

0.3

0.2

0.1

0.1

Составить закон распределения .

Решение. Учитывая, что и , объединяя равные значения и складывая соответствующие вероятности, получаем закон распределения случайной величины :

0

0.3

0.4

0.2

0.1

Рассмотрим теперь непрерывную случайную величину с плотностью вероятности и пусть . Дополнительно предположим, что дифференцируемая и строго монотонная функция (например, возрастающая). Обратную к ней функцию обозначим . Найдём функцию распределения и плотность вероятности . Для этого воспользуемся определением функции распределения . Но события, заключающиеся в том, что случайная величина примет значение меньше , а – меньше в силу функциональной зависимости между и , осуществляемой монотонно возрастающей функцией, эквивалентны (Рис.2.10).

Рис.2.10



Похожие документы:

  1. Оторой образуют или конечное множество, или счётное (бесконечное множество, элементы которого можно пронумеровать)

    Документ
    ... понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной называется величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента Примерами случайных величин могут быть отметка на ...
  2. Учебное пособие может быть полезно студентам всех экономических специальностей, изучающих дисциплины «Экономика труда» и«Экономика и социология труда». Оглавление

    Документ
    ... значение для численности ... стохастический (случайный, вероятностный) характер и не может ... Величина абсолютного и относительного возрастания тарифных коэффициентов от разряда к разряду может меняться. В зависимости от ... который может быть получен в результате ...
  3. Приоритетный национальный проект «образование» Т. А. Пьявченко, В. И. Фиhаев автоматизированные информационно-управляющие системы таганpог 2007

    Документ
    ... называется система, в которой ... также стохастические входы ... может меняться в зависимости от ... результату добавляется величина смещения, результат присваивается аппаратному значению канала; -  у каналов типа OUTPUT к аппаратному значению добавляется величина ...
  4. 7 9 октября 2013 г г. Сочи Конференция проводится по результатам исследований, полученным при выполнении

    Документ
    ... величина экологического ущерба, который может возникнуть в результате ... численные эксперименты ... которые обычно называются ... зависимости от их морфологических типов, размеров и локальных особенностей условий питания. Полученные значения величин ... стохастическая ...
  5. Е. А. Дашкевич экономика и организация садово-паркового строительства и хозяйства

    Документ
    ... эксперименты ... операций может меняться в зависимости от ... численностичисленность ... изучения стохастических зависимостей ... Величина, полученная в результате сопоставления двух однородных показателей, один из которых принимается за единицу, называется ...

Другие похожие документы..