Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Отменяется обязательное страхование гражданский ответственности (Общее собрание членов СРО может принять решение о добровольном страховании выплат из ...полностью>>
'Документ'
Комплектация: 4,5 л, твин-турбо дизель, 6-ст автомат, 5-дв.вагон, 5 мест 1VD-FTV, 4,5 л, Автоматическая коррекция угла наклона фар, Боковые зеркала за...полностью>>
'Урок'
Разучить элементы соединения из 3 – 4 изученных ранее на низкой перекладине и брусьях у девочек. Закрепить технику элементов на брусьях у девочек махо...полностью>>
'Программа'
Учебная программа — это нормативный документ, в котором очерчивается круг основных знаний, навыков и умений, подлежащих усвоению по каждому отдельно в...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Министерство образования Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра “Естественные науки”

519.21 (07)

Б484

В.В. Родионов

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Учебное пособие

Челябинск

Издательство ЮУрГУ

2003

УДК 519.2(07)

Родионов В.В. Элементы теории вероятностей и математической статистики: Учебное пособие. — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2003. — 80 с.

В учебном пособии излагаются основные разделы теории вероятностей и математической статистики. Большое внимание уделяется функциональным преобразованиям случайных величин и векторов, а также комплексным случайным векторам. Рассмотрены байессовский и не байессовский подходы к задаче оценки параметров и проверки статистических гипотез. Пособие может быть рекомендовано студентам технических специальностей вузов.

Ил. 19, табл. 4, список лит. — 5 назв.

Одобрено учебно-методическим советом филиала ЮУрГУ в г. Кыштыме.

Рецензенты: А.А. Соловьев, В.М. Рукавишников.

 Издательство ЮУрГУ, 2003.

Оглавление

Оглавление 3

1. Основные понятия теории вероятностей 5

1. Основные понятия теории вероятностей 5

1.1. События. Операции над событиями 5

1.2. Вероятность. Аксиомы вероятности 6

1.3. Условная вероятность 7

1.4. Независимость событий 8

1.5. Формула полной вероятности 9

1.6. Формула Байеса 12

2. Случайные величины 16

2. Случайные величины 16

2.1. Функция распределения случайной величины и ее свойства. 16

2.2. Дискретные случайные величины. 17

2.3. Непрерывные случайные величины 19

2.3.1. Плотность распределения вероятностей и ее свойства. 19

2.3.2. Обобщение понятия плотности распределения вероятности 22

2.4. Числовые характеристики случайной величины 24

2.5. Характеристическая функция случайной величины 27

2.6. Функциональные преобразования случайных величин 28

3. Случайные векторы 34

3. Случайные векторы 34

3.1. Векторы и матрицы 34

3.2. Случайные векторы 36

3.3. Функция распределения случайного вектора и ее свойства 36

3.4. Плотность распределения случайного вектора и ее свойства 37

3.5. Условная плотность распределения случайного вектора. Независимость случайных величин. 37

3.6. Числовые характеристики случайного вектора 40

3.7. Корреляционная и ковариационная матрицы случайного вектора. Коэффициент корреляции 41

3.8. Характеристическая функция 44

3.9. Гауссовский случайный вектор 44

3.10. Функциональные преобразования случайного вектора 47

3.10.1. Закон распределения суммы двух случайных величин 48

3.10.2. Закон распределения разности двух случайных величин 49

3.10.3. Закон распределения произведения двух случайных величин 50

3.10.4. Закон распределения отношения двух случайных величин 51

3.10.5. Закон распределения модуля и фазы гауссовского случайного вектора 51

3.11. Комплексные случайные величины и векторы 52

4. Математическая статистика 58

4. Математическая статистика 58

4.1. Методы статистического описания результатов наблюдений 58

4.2. Оценка параметров распределения по результатам наблюдения случайной величины 60

4.2.1. Квадратичная функция потерь 62

4.2.2. Простая функция потерь 63

4.2.3. Оценки максимального правдоподобия 65

4.2.4. Доверительные интервалы и доверительная вероятность 68

4.3. Проверка статистических гипотез 69

4.3.1. Критерий Неймана-Пирсона 71

Библиографический список 75

Библиографический список 75

  1. Основные понятия теории вероятностей

    1. События. Операции над событиями

При проведении любого эксперимента можно заранее определить возможные исходы этого эксперимента, которые составляют множество возможных исходов, обозначаемое .

Например, при бросании монеты возможные исходы эксперимента — это выпадение «орла» (О) или «решки» (Р). Другие возможные исходы, как, например пропадание монеты или установка монеты на ребро, в этой модели не учитываются. При бросании шестигранной игральной кости возможные исходы эксперимента — это выпадение одной из граней 1, 2, 3, 4, 5, 6. Также установка кости на одно из ребер или ее пропадание не учитываются.

Сами возможные исходы эксперимента называются элементарными событиями (обозначаются ), а множество возможных исходов — множеством элементарных событий ().

При проведении эксперимента во многих случаях интересуются не только элементарными исходами, а некоторой совокупностью элементарных исходов, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, при бросании игральной кости может представлять интерес событие, заключающееся в выпадении четного числа очков, или событие, заключающееся в том, что число выпавших очков меньше 5 и т.д.

Такие события состоят из некоторого множества элементарных событий и в этом смысле являются подмножествами множества элементарных событий. То есть . Причем . С этой точки зрения само множество элементарных событий также является событием и называется достоверным событием.

Определение. Любое подмножество множества элементарных событий называется событием.

Пустое множество (множество, не содержащее элементов) также является событием, которое называется невозможным событием и обозначается .

Таким образом, если А событие, то .

Так как любое событие это некоторое множество, то все теоретико-множественные операции допустимы над событиями, которые в теории вероятностей имеют следующий смысл.

Таблица 1

В теории множеств

В теории вероятностей

— объединение множеств

— сумма событий

— пересечение множеств

— произведение событий

— дополнение А до универсального множества

Событие, противоположное А.

Поясним, что означает термин «событие А произошло». Это означает, что исход эксперимента принадлежит множеству А, то есть при проведении эксперимента произошло хотя бы одно элементарное событие, принадлежащее множеству А.

Теперь дадим теоретико-вероятностную трактовку приведенным выше операциям над событиями.

. Событие С происходит тогда и только тогда, когда произойдет событие А или событие B или эти события произойдут совместно.

. Событие С произойдет тогда и только тогда, когда совместно произойдут события А и B.

происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.

 — происходит всегда.

- не происходит никогда.

Определение. События А и B называются несовместными, если .

Очевидно, что .

Определение. Совокупность событий составляет полную группу событий, если они попарно несовместны и сумма этих событий есть достоверное событие.

То есть, и .

Полную группу событий графически можно изобразить так (рис. 1):

Рис. 1

Операции над событиями обладают следующими свойствами.

  1. Переместительный закон:

.

  1. Сочетательный закон:

.

  1. Распределительный закон:

.

Очевидны также следующие свойства:

.

    1. Вероятность. Аксиомы вероятности

Каждому событию А может быть сопоставлено некоторое число, которое называется вероятностью этого события. Таким образом, вероятность события А (обозначается ) есть некоторая функция, областью определения которой являются события, а областью значений числовая ось. Такая функция называется функцией множеств.

Для того чтобы некоторая функция множеств являлась вероятностью, она должна удовлетворять следующей системе аксиом, предложенной советским ученым Колмогоровым А.Н. [1].

  1. Для достоверного события: , для любого события А: .

  2. Для любых двух несовместных событий А и B (): .

  3. Если имеется счетное множество несовместных событий при , то

.

Докажем, что вероятность невозможного события равна нулю.

Из свойств событий вытекает, что . Тогда применяя вторую аксиому вероятности, получим: . Откуда следует: .

Найдем вероятность суммы двух произвольных событий.

Чтобы применить вторую аксиому вероятности нужно сумму двух произвольных событий представить в виде суммы несовместных событий. Исходя из теоретико-вероятностной трактовки суммы событий, следует, что событие С=А+B произойдет тогда и только тогда, когда произойдет только событие А и не произойдет событие B, или произойдет только событие B и не произойдет А, или совместно произойдут события А и B: .

Покажем справедливость этого равенства и что эти события несовместны.

Так как А=А+А, то, прибавив в правой части равенства событие , получим:

.

Несовместность: и т.д.

Таким образом, в соответствии со второй аксиомой вероятности: .

Заметим, что . Откуда

, . То есть:

. Откуда получаем:

.

Нетрудно установить связь между вероятностями противоположных событий: . Или .



Похожие документы:

  1. Программа курса состоит из следующих разделов

    Программа курса
    ... маркетинге. Cool-Brand-стратегия Издательство: Питер, 2008 -200с. ... Учебное пособие. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2002. – 66 с Власов П.К. (Ред.). Психология в рекламе. URSS, 2003 ... менталитета и нооменталитета. Учебное пособие для ВУЗов.- Екатеринбург: ...
  2. Основная образовательная программа бакалавриата по направлению подготовки 040100 «Социология» (17)

    Основная образовательная программа
    ... Болонского процесса в 2003 на Берлинской ... Бороноев. — СПб.: Издательство СПбГУ, 2000. Мазунина, М. В. Рынок труда: учебное пособие / М. В. Мазунина. ... учебное пособие / И.А. Кулыгина, Н.А. Каширин, Д.Ю.Пименов.– 2-е изд., испр. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ ...
  3. Программа дисциплины Административное право для направления 030900. 62 «Юриспруденция» подготовки бакалавра Автор программы

    Программа дисциплины
    ... // Законность. 2003. № 4. Петров А.А. Субъекты административного права. Учебное пособие. Тюмень: Изд ... публичного права. Монография. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004. 352 c. ... -правового воздействия. СПб.: Издательство Р. Асланова Юридический центр Пресс ...
  4. Программа дисциплины «Административное право»

    Программа дисциплины
    ... // Законность. 2003. № 4. Петров А.А. Субъекты административного права. Учебное пособие. Тюмень: Изд ... публичного права. Монография. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004. 352 c. ... -правового воздействия. СПб.: Издательство Р. Асланова Юридический центр Пресс ...
  5. Формирование антикоррупционной позиции курсантов вузов мвд россии средствами социально-культурной деятельности

    Реферат
    ... О. Р. Ажирбаева // Вестник ЮУрГУ.- № 13. - 2006 ... 2-е изд. - М.: Издательство «Институт практической психологии», Воронеж ... ред. О.Д. Нациевского. –Челябинск, 2006. - С. 16 ... Чижиков, В. В. Чижиков. // Учебное пособие. - М.: МГУКИ, 2003. – 382 с. Шадриков, ...

Другие похожие документы..