Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Программа'
По спортивным играм для студентов 4 курса дошкольного отделения ФЗО для специальности 031100 “Педагогика и методика дошкольного образования” Специализ...полностью>>
'Документ'
Определить условия трудового договора с Сокушевым Борисом Филагриевичем (прилагается). Поручить председателю Совета директоров подписать трудовой дого...полностью>>
'Документ'
Практика как критерий истины и абсолютна и относительна. Практика выше теории, поскольку обладает не только достоинством не только всеобщности, но и н...полностью>>
'Урок'
Информация в неживой природе В физике, которая изучает неживую природу, информация является мерой упорядоченности системы по шкале «хаос — порядок». О...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Рис. 13

Тогда на каждом из участков функция строго монотонна и, следовательно, имеет обратную. Обратные функции обозначим . Не ограничивая общности, предположим, что — возрастающая функция. Тогда — убывающая, — возрастающая и т.д. (см. рис. 13).

Для функции распределения случайной величины получим:

Суммируемые события вида - несовместны, следовательно, на основании аксиомы вероятности, получим:

Указанные вероятности можно вычислить через плотность вероятности случайной величины :

.

Дифференцируя функцию распределения случайной величины , получим плотность распределения:

.

Учитывая, что производная монотонно убывающей функции отрицательна, окончательно получим:


(3)

Рассмотрим особые случаи преобразования случайных величин.

1. Пусть на каком-либо участке области определения функции эта функция постоянна (). Ясно, что обратной функции на этом участке не существует. Тогда:

.

Введя функцию Хевисайда это выражение можно записать в виде:

.

Выполнив обобщенное дифференцирование, для соответствующего слагаемого плотности распределения в сумме (3), получим:

.

2. Пусть на каком-либо участке монотонности функция имеет разрыв первого рода в точке () (рис. 14). Для определенности будем полагать эту функцию монотонно возрастающей. Тогда обратная функция будет иметь три ветви (рис. 15)

Рис. 14 Рис. 15

Здесь функция

Тогда:

Здесь .

Выполнив обобщенное дифференцирование, для соответствующего слагаемого плотности распределения в сумме (1), получим:

.

Рассмотрим примеры функциональных преобразований случайной величины.

Пример 1

Линейное преобразование случайной величины.

Пусть , где и b не случайные величины.

В данном случае . Это преобразование монотонно и обратное преобразование имеет вид:

Таким образом, , и плотность распределения случайной величины равна:

Математическое ожидание, дисперсия и характеристическая функция линейного преобразования случайной величины равны:

.

Пример 2

Пусть . Найти плотность распределения случайной величины

Если воспользоваться описанной выше методикой, то получим:

.

Пример 3

Случайная величина подвергается нелинейному преобразованию вида:. Найти плотность распределения случайной величины

Преобразование вида не монотонно, но можно определить монотонные ветви на отрезках и . Соответствующие этим ветвям обратные функции равны:

и .

В соответствии с выражением (3) для плотности распределения случайной величины получим:

.

То же самое можно получить, если воспользоваться методикой вычисления функции распределения:

.

Вычисляя обобщенную производную, получим:

.

Пример 4

Случайная величина . Найти плотность распределения случайной величины .

Воспользуемся методикой вычисления функции распределения. Для :

.

Вычисляя производную, получим:

.

Пример 5

Пусть - случайная величина с функцией распределения . Случайная величина получается из с помощью преобразования: . Найти плотность распределения случайной величины .

Пусть - непрерывная возрастающая функция. Тогда существует монотонно возрастающая обратная функция . Областью определения этой функции является отрезок [0,1], а областью значений - числовая ось.

.

Таким образом, плотность распределения случайной величины является равномерной: .

Пример 6

Пусть - случайная величина, равномерно распределенная в отрезке [0,1] . Найти такое преобразование случайной величины , чтобы получить случайную величину с заданной функцией распределения .

Пусть - произвольная монотонно возрастающая функция.

Тогда, используя свойства функции распределения равномерно распределенной случайной величины, получим:

.

Нетрудно видеть, что желаемый результат получится, если положить

Таким образом, для получения случайной величины с заданным законом распределения из равномерно распределенной в отрезке [0,1] случайной величины, необходимо выполнить следующее преобразование:

Эта формула широко используется при моделировании на ЭВМ случайных величин с заданным законом распределения. Например, для получения экспоненциально распределенной случайной величины с плотностью распределения необходимо выполнить следующее преобразование равномерно распределенной случайной величины: .

  1. Случайные векторы

    1. Векторы и матрицы

Напомним некоторые понятия из линейной алгебры.

Определение. Пусть А и В два множества. Под прямым произведением множеств А и В понимают совокупность пар .

Аналогичным образом можно определить прямое произведение конечного числа множеств.

Для элементов произведения принята запись в виде n-членных последовательностей (n-нок) , где на k-том месте стоит элемент k-го множества: . Если все множества прямого произведения одинаковы , вместо пишут .

В частности, если множество А есть множество вещественных чисел R, то есть множество (n-нок) вещественных чисел. Его элементы принято называть точками, а числа координатами точки .

Определение. Множество называется линейным (векторным) пространством, если выполняются следующие аксиомы:

  1. Если (для каждых двух его элементов x и y определена их сумма x+y, принадлежащая этому же множеству).

  2. Для любого вещественного числа определено произведение .

  3. - ассоциативность сложения;

  4. - коммутативность сложения;

  5. В существует нулевой элемент, такой, что для любого .

  6. .

  7. .

  8. .

  9. .

Элементы пространства называются векторами, а элементы пространства называются скалярами.

В дальнейшем будем предполагать, что каждый вектор x записывается в виде столбца: .

Введем операцию транспонирования векторов: - координаты вектора записываются в строку.

Определение. Скалярным произведением векторов в пространстве называют функцию, которая каждой паре векторов из ставит в соответствие вещественное число. Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: .

Свойства скалярного произведения

1. Из определения скалярного произведения следует, что . Если .

2. Для любых двух скаляров и справедливо: , .

3..

4. — неравенство Коши-Буняковского.

Докажем неравенство Коши-Буняковского.

Из свойства 1) следует, что . Из свойства 2) получим: . Так как это неравенство справедливо для любого , положим . Подставляя это выражение, получим неравенство Коши-Буняковского.

Определение. Пусть и два векторных пространства. Линейным оператором из в называется отображение вида , где . В этом случае говорят, что линейный оператор задается матрицей А размера вида: .

Если А исходная матрица, то транспонированной называется матрица вида:

.

Очевидно, что если А действует из в , то действует из в : .

Квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей: . Здесь — символ Кронекера.

Пусть А линейный оператор из в , .

Найдем скалярное произведение векторов y и z:

.

Таким образом, справедливо соотношение:

.

Квадратная матрица называется симметрической, если .

Симметрическая матрица называется неотрицательно определенной, если.

Вектор можно рассматривать как матрицу размером , а вектор - как матрицу размером .

Пусть А матрица размером , В — матрица размером , тогда можно определить произведение матриц: . Элементы матрицы С определяются по формуле: .

Для произведения матриц справедливы соотношения: .

Если квадратная матрица А имеет определитель , не равный нулю, то она имеет обратную матрицу . Справедливы следующие соотношения:

.



Похожие документы:

  1. Программа курса состоит из следующих разделов

    Программа курса
    ... маркетинге. Cool-Brand-стратегия Издательство: Питер, 2008 -200с. ... Учебное пособие. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2002. – 66 с Власов П.К. (Ред.). Психология в рекламе. URSS, 2003 ... менталитета и нооменталитета. Учебное пособие для ВУЗов.- Екатеринбург: ...
  2. Основная образовательная программа бакалавриата по направлению подготовки 040100 «Социология» (17)

    Основная образовательная программа
    ... Болонского процесса в 2003 на Берлинской ... Бороноев. — СПб.: Издательство СПбГУ, 2000. Мазунина, М. В. Рынок труда: учебное пособие / М. В. Мазунина. ... учебное пособие / И.А. Кулыгина, Н.А. Каширин, Д.Ю.Пименов.– 2-е изд., испр. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ ...
  3. Программа дисциплины Административное право для направления 030900. 62 «Юриспруденция» подготовки бакалавра Автор программы

    Программа дисциплины
    ... // Законность. 2003. № 4. Петров А.А. Субъекты административного права. Учебное пособие. Тюмень: Изд ... публичного права. Монография. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004. 352 c. ... -правового воздействия. СПб.: Издательство Р. Асланова Юридический центр Пресс ...
  4. Программа дисциплины «Административное право»

    Программа дисциплины
    ... // Законность. 2003. № 4. Петров А.А. Субъекты административного права. Учебное пособие. Тюмень: Изд ... публичного права. Монография. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004. 352 c. ... -правового воздействия. СПб.: Издательство Р. Асланова Юридический центр Пресс ...
  5. Формирование антикоррупционной позиции курсантов вузов мвд россии средствами социально-культурной деятельности

    Реферат
    ... О. Р. Ажирбаева // Вестник ЮУрГУ.- № 13. - 2006 ... 2-е изд. - М.: Издательство «Институт практической психологии», Воронеж ... ред. О.Д. Нациевского. –Челябинск, 2006. - С. 16 ... Чижиков, В. В. Чижиков. // Учебное пособие. - М.: МГУКИ, 2003. – 382 с. Шадриков, ...

Другие похожие документы..