Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
«Открытие смены» ГДК Профсоюзов 11.00ч. 50руб . «Веселая мозаика»  Спортивно-экологическая игра-путешествие. 3. Веселые старты «Ай да мы»....полностью>>
'Документ'
Два источника А1 и А2 излучают волны длиной 2 м с постоянной во времени разностью фаз, равной π. Максимальной или минимальной будет амплитуда суммарны...полностью>>
'Документ'
Элемент - составная часть XML-документа, представляющая собой некоторую законченную смысловую единицу. Элемент может содержать один или несколько влож...полностью>>
'Документ'
Группа компаний  «АКСИМА» является оператором по обслуживанию регулярных и чартерных рейсов компаний Airarabia, ЗАО «Нордавиа-РА», ОАО АК «Уральские а...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Числовые характеристики случайной величины

Ранее уже говорилось о том, что случайная величина полностью определяется своей функцией распределения. Также можно сказать, что она полностью определяется своей обобщенной плотностью распределения вероятностей или в дальнейшем будем говорить просто плотностью распределения. Во многих практических задачах представляет интерес не сама плотность распределения, а интеграл от произведения этой плотности на некоторую функцию. Эта операция в теории вероятностей имеет специальное обозначение и название.

Определение. Математическим ожиданием произвольной функции от случайной величины называется: .

Особое место в теории вероятностей занимают математические ожидания степенных функций от случайной величины.

Определение. k-тым моментом случайной величины называется .

Первый момент имеет особое название — математическое ожидание случайной величины и обозначается .

В дальнейшем математическое ожидание случайной величины будем обозначать m.

Определение. Случайная величина называется центрированной случайной величиной.

Определение. k-тым центральным моментом случайной величины называется k-й момент центрированной случайной величины:

.

Очевидно, первый центральный момент случайной величины всегда равен нулю.

Особое название имеет также второй центральный момент:

Определение. Дисперсией случайной величины называется ее второй центральный момент: .

Для дисперсии случайной величины также введем обозначение .

Дисперсия (от латинского dispersio - рассеяние) показывает меру отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания. То есть ее можно трактовать как меру случайности. Для не случайных величин дисперсия равна нулю.

Корень квадратный из дисперсии называется среднее квадратическое отклонение случайной величины. Его мы будем обозначать символом .

Если дисперсия — это характеристика рассеяния, то математическое ожидание — это характеристика положения значений случайной величины на числовой оси. Значения случайной величины группируются около ее математического ожидания с каким-то рассеянием, определяемым дисперсией случайной величины.

Математическое ожидание не единственная характеристика положения случайной величины.

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение (то значение x, для которого плотность распределения достигает максимума).

Медианой случайной величины называется величина , для которой выполняется равенство: .

Рассмотрим как находить математические ожидания функций от случайной величины для дискретных случайных величин.

Пусть дискретная случайная величина, принимающая значения с вероятностями .

Тогда, .

Таким образом, для дискретных случайных величин математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам:

.

Нетрудно найти другое выражение для дисперсии, если в ее определении раскрыть скобки:

.

Найдем математическое ожидание и дисперсию рассмотренных ранее случайных величин.

Бернуллиевская случайная величина

.

.

Равномерно распределенная случайная величина

.

.

Экспоненциальная случайная величина

.

.

Гауссовская случайная величина

.

Здесь первый интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах. Второй интеграл равен единице по условию нормировки плотности распределения гауссовской случайной величины с параметрами .

Таким образом, параметр распределения - это математическое ожидание гауссовской случайной величины.

.

Последний интеграл возьмем по частям, положив

Тогда окончательно получим: .

Параметр распределения — есть дисперсия гауссовской случайной величины.

Таким образом, плотность распределения гауссовской случайной величины зависит от двух параметров: математического ожидания и дисперсии .

    1. Характеристическая функция случайной величины

Определение. Характеристической функцией случайной величины называется комплексно-значная функция .

Здесь j — мнимая единица.

Из этого определения следует, что характеристическая функция по существу представляет собой преобразование Фурье плотности распределения случайной величины .

Если известна характеристическая функция случайной величины , то плотность распределения можно найти с помощью обратного преобразования Фурье:

.

Таким образом, характеристическая функция, как и плотность распределения, полностью определяет случайную величину и позволяет найти вероятности любых событий, связанных со случайной величиной.

В теории вероятностей очень часто пользуются термином «закон распределения случайной величины».

Задать закон распределения случайной величины — это или задать ее функцию распределения, или плотность распределения, или ряд распределения (для дискретных случайных величин), или характеристическую функцию.

Свойства характеристической функции вытекают из ее определения:

  1. Если , то .

  2. .

Свойство 2 позволяет достаточно просто по характеристической функции вычислять математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заменяя интегрирование, более простой операцией — дифференцированием:

, .

Найдем характеристическую функцию бернуллиевской случайной величины, ее математическое ожидание и дисперсию.

.

;

.

Вычислить математическое ожидание и дисперсию биномиальной случайной величины с помощью ряда распределения довольно затруднительно. А вот с помощью характеристической функции это очень просто.

.

В соответствии с формулой , которая называется бином Ньютона, получим: .

.

.

Найдем характеристическую функцию равномерно распределенной случайной величины.

.

Характеристическая функция экспоненциальной случайной величины имеет вид:

.

Вычислим характеристическую функцию гауссовской случайной величины. Методика ее вычисления пригодится нам и в дальнейшем.

Итак, характеристическая функция гауссовской случайной величины вычисляется по формуле:

. (1)

Для вычисления характеристической функции используется соотношение:

, (2)

справедливое при любом а.

Приведем выражение в интеграле (1) к полному квадрату:

=

.

Тогда, используя условие нормировки (2), получим:

.

Таким образом, характеристическая функция гауссовской случайной величины равна:

.

    1. Функциональные преобразования случайных величин

В инженерных приложениях теории вероятностей часто возникает необходимость определения законов распределения функций от случайных величин. Этому вопросу и посвящен данный параграф.

Пусть - строго монотонная функция. - область определения функции, D – область ее значений. В этом случае существует функция, обратная , которую будем обозначать . Областью определения обратной функции является D, а областью значений множество Q. Для прямой и обратной функции справедливы соотношения:

.

Обратная функция также является строго монотонной. Причем, если – монотонно возрастающая, то и - также монотонно возрастающая. Если - монотонно убывающая, то и - монотонно убывающая.

Итак, пусть - монотонно возрастающая функция, - случайная величина с функцией распределения и плотностью распределения . Найдем плотность распределения случайной величины .

По определению функция распределения случайной величины равна: .

Решим неравенство относительно случайной величины , получим:

.

Таким образом, функция распределения случайной величины получена. Дифференцируя ее по x, получим плотность распределения:

.

Теперь пусть - монотонно убывающая. Тогда функция распределения случайной величины равна:

.

Решая неравенство относительно случайной величины , необходимо учесть, что, применяя к обеим частям неравенства монотонно убывающее преобразование, знак неравенства необходимо сменить на противоположный:

.

Заметим, что .

Таким образом, для функции распределения случайной величины получим:

.

Дифференцируя это равенство по x (в обобщенном смысле), получим:

.

Если учесть, что производная монотонно убывающей функции отрицательна, для любого монотонного преобразования получим:

.

Пусть не является монотонной функцией, но может быть разбита на строго монотонные участки точками x1, x2, …,xn (рис. 13)



Похожие документы:

  1. Программа курса состоит из следующих разделов

    Программа курса
    ... маркетинге. Cool-Brand-стратегия Издательство: Питер, 2008 -200с. ... Учебное пособие. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2002. – 66 с Власов П.К. (Ред.). Психология в рекламе. URSS, 2003 ... менталитета и нооменталитета. Учебное пособие для ВУЗов.- Екатеринбург: ...
  2. Основная образовательная программа бакалавриата по направлению подготовки 040100 «Социология» (17)

    Основная образовательная программа
    ... Болонского процесса в 2003 на Берлинской ... Бороноев. — СПб.: Издательство СПбГУ, 2000. Мазунина, М. В. Рынок труда: учебное пособие / М. В. Мазунина. ... учебное пособие / И.А. Кулыгина, Н.А. Каширин, Д.Ю.Пименов.– 2-е изд., испр. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ ...
  3. Программа дисциплины Административное право для направления 030900. 62 «Юриспруденция» подготовки бакалавра Автор программы

    Программа дисциплины
    ... // Законность. 2003. № 4. Петров А.А. Субъекты административного права. Учебное пособие. Тюмень: Изд ... публичного права. Монография. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004. 352 c. ... -правового воздействия. СПб.: Издательство Р. Асланова Юридический центр Пресс ...
  4. Программа дисциплины «Административное право»

    Программа дисциплины
    ... // Законность. 2003. № 4. Петров А.А. Субъекты административного права. Учебное пособие. Тюмень: Изд ... публичного права. Монография. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004. 352 c. ... -правового воздействия. СПб.: Издательство Р. Асланова Юридический центр Пресс ...
  5. Формирование антикоррупционной позиции курсантов вузов мвд россии средствами социально-культурной деятельности

    Реферат
    ... О. Р. Ажирбаева // Вестник ЮУрГУ.- № 13. - 2006 ... 2-е изд. - М.: Издательство «Институт практической психологии», Воронеж ... ред. О.Д. Нациевского. –Челябинск, 2006. - С. 16 ... Чижиков, В. В. Чижиков. // Учебное пособие. - М.: МГУКИ, 2003. – 382 с. Шадриков, ...

Другие похожие документы..