Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Исследование'
Основная деятельность по реализации проекта, деятельность по обеспечению проекта. Организация инвестиционного проектирования. Виды и последовательност...полностью>>
'Библиографический указатель'
В современном мире в условиях глобализации большое значение придают изучению и возрождению культуры и традиций отдельных народов. Народ перестает созн...полностью>>
'Документ'
1) У большинства родителей и подростков сложилось достаточно позитивное представление о собственной цифровой компетентности: практически 80% школьнико...полностью>>
'Документ'
Красноярск 11 Д 3 Абдрахманов Диас Муратович 1 1993 г. Омск школа-лицей №8 11 Абдрашитова Лариса Махмутовна 15 0 1993 г. Новокузнецк Лицей №84 11 Абдр...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Доказательство свойства 3

Рассмотрим последовательность событий: . Предельное множество также является событием: . Последовательность является неубывающей и ограниченной сверху. Так что существует предел этой последовательности. Поэтому . Непрерывность слева доказана.

Рассмотрим последовательность событий: . Предельное множество также является событием: . Последовательность является не возрастающей и ограниченной снизу. Так что существует предел этой последовательности. Поэтому . Существование предела справа доказано.

Ранее мы показали, как находить вероятность попадания случайной величины в полуинтервал вида [x1,x2). Найдем вероятности попадания случайной величины в отрезок, интервал и полуинтервал вида (x1,x2]:


;

;

.

Действительно, .

Аналогично доказываются и остальные соотношения.

Заметим, что случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Говорят, что случайные величины и одинаково распределены, если равны их функции распределения: .

В зависимости от вида функции распределения случайные величины подразделяются на дискретные, непрерывные и смешанные.

    1. Дискретные случайные величины.

Определение. Случайная величина называется дискретной случайной величиной, если ее функция распределения кусочно-постоянна (рис. 3).

Рис. 3

Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины имеет разрывы первого рода в точках x1, x2,..,xn,….

Заметим, что .

Вероятность того, что случайная величина приняла значение x, и в этой точке функция распределения непрерывна – равна нулю.

Таким образом, дискретная случайная величина с не нулевой вероятностью может принимать значения только в дискретном ряду точек x1, x2,..,xn,….

Набор чисел называется рядом распределения дискретной случайной величины. При этом .

Функция распределения дискретной случайной величины легко выражается через ряд распределения:

.

Примеры дискретных случайных величин.

Пример 1

Случайная величина , принимающая два значения 1 и 0 с вероятностями p («успех») и q=1-p («неудача»), называется бернуллиевской.

Ее функция распределения имеет вид (рис. 4):

Рис.4

Вероятность принять определенное значение для этой случайной величины можно записать в виде: .

Пример 2

Биномиальной (или биномиально распределенной) называется случайная величина, принимающая значения 0, 1, 2,…,n с вероятностями:

.

Здесь - число сочетаний из n по k: .

Функция распределения имеет вид:

.

Вероятность любого события, связанного с попаданием дискретной случайной величины во множество В, можно найти по формуле:

.

    1. Непрерывные случайные величины

Определение. Случайная величина называется непрерывной случайной величиной, если ее функция распределения является непрерывной функцией (рис. 5).

Рис. 5

В результате опыта непрерывная случайная величина может принять любое числовое значение в диапазоне, где функция распределения не равна нулю и не постоянна.

Ранее мы заметили, что если функция распределения непрерывна в точке x0, то вероятность события (=x0) равна нулю (P(=x0)=0).

Таким образом, событие (=x0) возможно, но имеет нулевую вероятность. С другой стороны, противоположное этому событие имеет вероятность равную единице, но не является достоверным.

Если функция распределения не является кусочно-постоянной, то вероятность попадания в любой произвольно малый отрезок числовой оси около точки x0 ([x0,x0+)) уже не равна нулю: . Отсюда следует, что для вычисления вероятностей попадания случайной величины в малые отрезки числовой оси нужно знать производную от функции распределения.

      1. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.

Определение. Плотностью распределения (плотностью вероятности) непрерывной случайной величины в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке:

.

Свойства плотности распределения случайной величины вытекают из ее определения:

1. ;

2. .

Связь функции распределения и плотности распределения:

Первое свойство плотности обусловлено тем, что производная от неубывающей функции – неотрицательна, а второе свойство – свойство нормировки – вытекает из свойств функции распределения ().

Вычислим вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (любой полуинтервал или отрезок ) (х12):

.

Вообще, вероятность попадания непрерывной случайной величины в произвольное борелевское множество числовой оси вычисляется по формуле:

.

Примеры непрерывных случайных величин и их плотностей распределения.

Пример 1

Пусть плотность распределения случайной величины задается соотношением:

.

График этой плотности приведен на рис. 6.

Рис. 6 Рис. 7

Случайная величина с такой плотностью называется равномерно распределенной на отрезке [0,1].

Функция распределения такой случайной величины имеет вид:

График этой функции распределения изображен на рис. 7.

Пример 2

Пусть плотность распределения случайной величины задается соотношением:

.

(а – положительный коэффициент).

График этой плотности приведен на рис. 8.

Рис. 8 Рис. 9

Функция распределения такой случайной величины имеет вид:

График этой функции распределения изображен на рис. 9.

Случайная величина с такой плотностью распределения называется экспоненциально распределенной случайной величиной.

Пример 3

Пусть плотность распределения случайной величины задается соотношением:

.

(а – произвольная величина, >0).

График этой плотности приведен на рис. 10.

Рис. 10 Рис. 11

Функция распределения такой случайной величины имеет вид:

График этой функции распределения изображен на рис. 11.

Случайная величина с такой плотностью распределения называется нормально распределенной (гауссовской) случайной величиной.

Определение Случайная величина называется смешанной случайной величиной, если ее функция распределения F(x) кусочно-непрерывна.

Таким образом, функция распределения смешанной случайной величины имеет непрерывные участки, а также в отдельных точках разрывы первого рода (скачки) (см. рис. 12).

Рис. 12

Для смешанной случайной величины, так же как и для дискретной случайной величины, понятие плотности распределения не применимо, так как функция распределения не дифференцируема.

      1. Обобщение понятия плотности распределения вероятности

Плотность распределения можно определить не только для непрерывных, а для любых случайных величин, если воспользоваться обобщенными функциями [4].

В классическом математическом анализе изучаются функции, которые условимся называть обычными функциями. То есть это функции , определенные на числовой оси и интегрируемые в конечном промежутке . Однако, даже такую важную операцию, как дифференцирование, можно применять далеко не ко всем обычным функциям.

Уже давно в физике и технике употребляются так называемые сингулярные функции, которые не могут быть корректно определены в рамках классической теории функций.

Простейшим примером такой функции является дельта-функция . Дельта-функция равна нулю всюду, кроме одной точки , в этой точке равна бесконечности и интеграл от нее в пределах, включающих точку , равен единице. Она по определению обладает свойствами, не совместимыми с точки зрения классического определения функции и интеграла.

Заметим, что при решении конкретных задач сингулярные функции встречаются только под знаком интеграла в произведении с какой-либо достаточно хорошей функцией.

Поэтому нет необходимости отвечать на вопрос, что такое сингулярная функция сама по себе, достаточно уметь вычислять интеграл от произведения сингулярной функции на «хорошую».

Например, дельта-функция строго определяется соотношением:

, для любой непрерывной в точке функции .

Как мы уже говорили, далеко не для всякой обычной функции может быть выполнена операция дифференцирования. Примером такой функции может служить, например: - так называемая функция Хевисайда.

С помощью интегрального представления можно найти производную этой функции в классе обобщенных функций.

Покажем это.

Пусть дифференцируемая функция, тождественно равная нулю вне некоторого конечного интервала [a,b]. Тогда для ограниченной функции f(x) по правилу интегрирования по частям:

.

Внеинтегральный член обращается в нуль, так как тождественно равна нулю вне некоторого конечного интервала [a,b].

Так как функция Хевисайда ограниченная, для нее приведенное соотношение верно и мы можем записать:

.

Отсюда следует, что производная функции Хевисайда есть дельта-функция:

.

Таким образом, мы можем определить плотность распределения для любой случайной величины, если под плотностью распределения понимать производную функции распределения как обобщенную функцию.

Итак, пусть F(x) – кусочно-непрерывная функция, имеющая в точках разрывы первого рода со скачками и кусочно-непрерывную производную всюду, кроме указанных точек разрыва.

Плотность распределения соответствующей случайной величины будет иметь вид:

.

Используя обобщенные функции можно определить плотность распределения и для не случайной величины, например, число пять имеет плотность распределения:

.

Используя определение дельта-функции можно представить вероятность любого события, связанного со смешанной случайной величиной, в виде интеграла по соответствующему множеству:

.

Рассмотрим пример смешанных случайных величин.

Пример

Пусть непрерывная случайная величина подвергается преобразованию вида:

.

Найти плотность распределения случайной величины .

Решение задачи

Вначале найдем функцию распределения случайной величины , а потом плотность распределения как обобщенную производную функции распределения.

Из условия задачи видно, что случайная величина принимает только неотрицательные значения, поэтому ее функция распределения не равна нулю только при неотрицательных значениях аргумента. При этом значение, равное нулю, она принимает с вероятностью . Так как в точке x=0 функция распределения имеет скачок, поэтому

.

Вероятности соответствующих событий в определении функции распределения случайной величины равны:

Обобщенная производная функции распределения F(x) равна:

.



Похожие документы:

  1. Программа курса состоит из следующих разделов

    Программа курса
    ... маркетинге. Cool-Brand-стратегия Издательство: Питер, 2008 -200с. ... Учебное пособие. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2002. – 66 с Власов П.К. (Ред.). Психология в рекламе. URSS, 2003 ... менталитета и нооменталитета. Учебное пособие для ВУЗов.- Екатеринбург: ...
  2. Основная образовательная программа бакалавриата по направлению подготовки 040100 «Социология» (17)

    Основная образовательная программа
    ... Болонского процесса в 2003 на Берлинской ... Бороноев. — СПб.: Издательство СПбГУ, 2000. Мазунина, М. В. Рынок труда: учебное пособие / М. В. Мазунина. ... учебное пособие / И.А. Кулыгина, Н.А. Каширин, Д.Ю.Пименов.– 2-е изд., испр. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ ...
  3. Программа дисциплины Административное право для направления 030900. 62 «Юриспруденция» подготовки бакалавра Автор программы

    Программа дисциплины
    ... // Законность. 2003. № 4. Петров А.А. Субъекты административного права. Учебное пособие. Тюмень: Изд ... публичного права. Монография. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004. 352 c. ... -правового воздействия. СПб.: Издательство Р. Асланова Юридический центр Пресс ...
  4. Программа дисциплины «Административное право»

    Программа дисциплины
    ... // Законность. 2003. № 4. Петров А.А. Субъекты административного права. Учебное пособие. Тюмень: Изд ... публичного права. Монография. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004. 352 c. ... -правового воздействия. СПб.: Издательство Р. Асланова Юридический центр Пресс ...
  5. Формирование антикоррупционной позиции курсантов вузов мвд россии средствами социально-культурной деятельности

    Реферат
    ... О. Р. Ажирбаева // Вестник ЮУрГУ.- № 13. - 2006 ... 2-е изд. - М.: Издательство «Институт практической психологии», Воронеж ... ред. О.Д. Нациевского. –Челябинск, 2006. - С. 16 ... Чижиков, В. В. Чижиков. // Учебное пособие. - М.: МГУКИ, 2003. – 382 с. Шадриков, ...

Другие похожие документы..