Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
00- 0.00 Школа «Торопыжкины путешествия» ( группа) Кружок «Безопасный домик Торопыжки» Прокопова Алина Викторовна, педагог ДО 1 1 10 19.00- 0.00 Кружо...полностью>>
'Документ'
Вниманию бухгалтера! Вы можете подписаться на все позиции одновременно или на одну интересующую Вас позицию. В стоимость подписки включена стоимость п...полностью>>
'Рабочая программа'
Основная цель изучения русского языка – свободное владение родным языком. Для реализации этой цели необходимо усилить практическую направленность обуч...полностью>>
'Памятка'
Комитет информации и архивов Министерства культуры и информации Республики Казахстан, график работы: ежедневно с 9.00 часов до 18.00 часов, перерыв с ...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Пример 5

Шесть шаров, среди которых 3 белых и 3 черных, распределены по двум урнам. Наудачу выбирается урна, а из нее один шар. Как нужно распределить шары по урнам, чтобы вероятность вынуть белый шар была максимальной?

Решение задачи

Пусть в первой урне X белых и Y черных шаров, тогда во второй урне 3–X белых и 3–Y черных шаров.

Событие В — вынут белый шар.

Полная группа событий: А1 — выбрана первая урна, А2 — выбрана вторая урна. Р(А1)=Р(А2)=1/2.

В силу симметрии задачи все возможные распределения шаров по урнам можно сгруппировать в зависимости от общего количества шаров в первой урне X+Y. Эти распределения следующие:X+Y= 0, 1, 2, 3.

0 — все шары находятся во второй урне. Вероятность вынуть белый шар в этом случае равна 0.25. (Произведение вероятностей выбора второй урны и из нее вынуть белый шар).

Для вероятность вынуть белый шар вычисляется по формуле:

Р(В)=Р(В/А1)Р(А1)+Р(В/А2)Р(А2)=X/(X+Y)·1/2+(3–X)/(6–X–Y)·1/2.

1 — в первой урне один шар. Он может быть белым (X=1,Y=0)или черным (X=0,Y=1).

Соответствующие вероятности равны: 0,7 и 0,3.

2 — в первой урне два шара. Возможные комбинации: X=0,Y=2; X=1,Y=1; X=2,Y=0.

Соответствующие этим случаям вероятности равны: 0,375, 0,5, 0,625.

3 — в первой урне 3 шара. Возможные комбинации: X=0,Y=3; X=1,Y=2; X=2,Y=1; X=3,Y=0.

Соответствующие вероятности равны: 0,5, 0,5, 0,5, 0,5.

Максимальная вероятность соответствует такому распределению шаров в урнах, чтобы в одной из них был только один белый шар. При этом вероятность вынуть белый шар равна 0,7.

    1. Формула Байеса

Теорема Байеса. Пусть Н1, Н2, …, Нn полная группа событий, которые мы будем называть гипотезами. В — произвольное событие. Тогда:


.

Пояснения. На практике очень часто возникают ситуации, когда происходит какое-то событие, относительно причины возникновения которого может быть высказано n различных (альтернативных) предположений. При этом других предположений возникновения события В не существует. Эти предположения и называются гипотезами.

Пример, событие В — потерпел аварию самолет. Возможные предположения могут быть, например: Н1 — отказ двигателя, Н2 — ошибка летчика, Н3 — он сбит ракетой, Н— другая причина.

Эти события могут наступить с вероятностями Р(Нk), которые называются априорными (вычисляемыми до опыта) вероятностями гипотез. То есть эти вероятности обусловлены объективными причинами и могут быть заранее рассчитаны.

После того, как событие В произошло, важно определить наиболее вероятную причину возникновения этого события. Эта вероятность Р(Нk/В) — называется апостериорной (вычисляемой после опыта) вероятностью гипотез.

Таким образом, теорема Байеса позволяет по результатам опыта рассчитать апостериорные вероятности гипотез, зная их априорные вероятности.

Доказательство теоремы Байеса. Воспользовавшись формулой Байеса (связи условных вероятностей между собой): , можно получить:

. Вероятность Р(В) можно вычислить по формуле полной вероятности: , что завершает доказательство теоремы Байеса.

Примеры решения задач на формулу Байеса.

Формулировки задач взяты из [Error: Reference source not found].

Пример 1

В урне лежит шар неизвестного цвета — с равной вероятностью белый или черный. В урну опускается один белый шар и после тщательного перемешивания наудачу извлекается один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?

Решение задачи

До опыта с извлечением шара из урны можно высказать следующие гипотезы:

Н1 — в урне лежит белый шар. Н2 — в урне лежит черный шар.

Априорные вероятности событий: Р(Н1)=0,5, Р(Н2)=0,5.

Событие В — в урну опустили белый шар, тщательно перемешали и наудачу вытащили белый шар.

Найдем условные вероятности: Р(В/Н1) — вероятность вытащить из урны белый шар, при условии, что там находятся два белых шара. Очевидно, что эта вероятность равна 1.

Р(В/Н2)=0,5.

По формуле Байеса:

.

Так как нужно определить вероятность того, что в урне остался белый шар, то это равносильно определению апостериорной вероятности гипотезы Н1. Она равна 2/3.

Пример 2

На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,8 поступает смесь полезного сигнала и помехи, а с вероятностью 0,2 — только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью 0,7; если только помеха — то с вероятностью 0,3. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе есть полезный сигнал.

Решение задачи

До регистрации какого-либо сигнала можно высказать две гипотезы: Н1 — в смеси есть полезный сигнал; Н2 — в смеси нет полезного сигнала.

Априорные вероятности гипотез по условию задачи равны: Р(Н1)=0,8, Р(Н2)=0,2.

Событие В — устройство зарегистрировало какой-то сигнал.

Найдем условные вероятности событий: Р(В/Н1) — вероятность зарегистрировать сигнал, при условии, что в смеси есть полезный сигнал. По условию задачи эта вероятность равна 0.7. По условию задачи Р(В/Н2)=0,2.

Найдем апостериорную вероятность гипотезы Н1.

.

Пример 3

По каналу связи передается цифровой текст, содержащий только три цифры 1, 2. 3, которые могут появляться в тексте с равной вероятностью. Каждая передаваемая цифра в силу наличия шумов принимается правильно с вероятностью р и с вероятностью принимается за какую-либо другую цифру. Предполагается, что цифры искажаются независимо.

Найти вероятность того, что было передано 111, если принято 123.

Решение задачи

По условию задачи необходимо найти условную вероятность Р(передано 111/принято 123).

Так как цифры искажаются независимо, то для независимых событий:

Р(передано 111/принято 123)=

= Р(передано 1/принято 1)Р(передано 1/принято 2)Р(передано 1/принято 3).

Очевидно:

Р(передано 1/ принято 1) — вероятность правильного приема цифры, равна р.

Также известно, что

Р(передано 1/принято 2)= и Р(передано 1/принято 3)= .

И окончательно: Р(передано 111/принято 123)=.

Пример 4

Астрономический объект, за которым ведется наблюдение, может находиться в одном из двух состояний: Н1 или Н2. Априорные вероятности этих состояний Р1)=0,6, Р2)=0,4. Наблюдение ведется независимо двумя обсерваториями. Первая обсерватория обычно дает правильные сведения о состоянии наблюдаемого объекта в 90% случаев, а в 10% ошибается; вторая дает правильные сведения в 80% случаев, а в 20% ошибается. Первая обсерватория сообщила, что объект находится в состоянии Н1, а вторая — что в состоянии Н2. Найти апостериорную вероятность состояния Н1.

Решение задачи

Гипотезы, апостериорные вероятности которых необходимо найти, обозначены Н1 и Н2. Их априорные вероятности известны.

Обозначим В — событие, заключающееся в получении сообщений от обсерваторий 1 и 2.

Пусть В1 — сообщение от обсерватории 1, а событие В2 — сообщение от обсерватории 2.

В силу того, что сообщения получены от первой и от второй обсерваторий: В=В1·В2.

По условию задачи необходимо найти условную вероятность: Р(Н1/В).

По формуле Байеса: .

Заметим, что в силу независимости событий В1 и В2:

,

.

При этом Р(В1/Н1) — вероятность правильного сообщения от первой обсерватории, Р(В2/Н1) — вероятность ошибочного сообщения от второй обсерватории, Р(В1/Н2) — вероятность ошибочного сообщения от первой обсерватории, Р(В2/Н2) — вероятность правильного сообщения от второй обсерватории.

Подставляя соответствующие вероятности в формулу Байеса, получим:

.

  1. Случайные величины

В том случае, если возможными исходами эксперимента являются числа, а множество элементарных событий представляет собой числовую ось (W=R), то с данным экспериментом может быть связана случайная величина.

Таким образом, случайная величина — это вероятностный эксперимент, исходами которого являются числа.

Будем обозначать случайные величины греческими буквами , , .

Все события, связанные со случайной величиной — это подмножества числовой оси R.

Множества числовой оси, которые могут считаться событиями, составляют некоторый класс множеств.

Определение. Системой множеств называется всякое множество, элементы которого сами представляют собой какие-либо множества.

Определение. Пусть Х – некоторое множество. Система подмножеств множества Х называется алгеброй, если

  1. ,

  2. ,

  3. .

Таким образом, если два события принадлежат алгебре, то их сумма и произведение, а также противоположные события также принадлежат алгебре.

Из этого определения следует, что пустое множество также принадлежит алгебре.

Для того, чтобы можно было находить вероятности предельных событий вводят другую систему множеств:

Определение. Система подмножеств множества Х называется -алгеброй, если она является алгеброй и, кроме того, выполнено следующее условие:

если то .

Определение. -алгебра называется борелевской алгеброй на числовой прямой, если она содержит отрезки, интервалы и полуинтервалы числовой оси R.

Таким образом, событиями, связанными со случайной величиной, являются произвольные подмножества числовой оси, принадлежащие борелевской алгебре, то есть они могут быть получены из отрезков, интервалов и полуинтервалов, с помощью счетного числа операций объединения, пересечения и дополнения.

Рассмотрим, как же находить вероятности событий, связанные со случайными величинами.

    1. Функция распределения случайной величины и ее свойства.

Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция одной переменной, удовлетворяющая условию:

для любого .

Функция распределения случайной величины показывает, как меняется вероятность события ( < x) в зависимости от x.

Свойства функции распределения вытекают из ее определения.

1. .

2. - неубывающая функция.

3. - непрерывна слева и имеет пределы справа в каждой точке xÎR

Первое свойство вытекает из того, что событие: значения случайной величины меньше минус бесконечности – невозможное, а событие: значения случайной величины меньше плюс бесконечности – достоверное.

Докажем свойство 2.

Пусть x1<x2. Событие можно представить в виде суммы двух несовместных событий: =+. По второй аксиоме вероятности, получим:

. Так как вероятность любого события неотрицательна, то , следовательно .

Таким образом, вероятность попадания случайной величины в полуинтервал вычисляется по формуле: .



Похожие документы:

  1. Программа курса состоит из следующих разделов

    Программа курса
    ... маркетинге. Cool-Brand-стратегия Издательство: Питер, 2008 -200с. ... Учебное пособие. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2002. – 66 с Власов П.К. (Ред.). Психология в рекламе. URSS, 2003 ... менталитета и нооменталитета. Учебное пособие для ВУЗов.- Екатеринбург: ...
  2. Основная образовательная программа бакалавриата по направлению подготовки 040100 «Социология» (17)

    Основная образовательная программа
    ... Болонского процесса в 2003 на Берлинской ... Бороноев. — СПб.: Издательство СПбГУ, 2000. Мазунина, М. В. Рынок труда: учебное пособие / М. В. Мазунина. ... учебное пособие / И.А. Кулыгина, Н.А. Каширин, Д.Ю.Пименов.– 2-е изд., испр. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ ...
  3. Программа дисциплины Административное право для направления 030900. 62 «Юриспруденция» подготовки бакалавра Автор программы

    Программа дисциплины
    ... // Законность. 2003. № 4. Петров А.А. Субъекты административного права. Учебное пособие. Тюмень: Изд ... публичного права. Монография. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004. 352 c. ... -правового воздействия. СПб.: Издательство Р. Асланова Юридический центр Пресс ...
  4. Программа дисциплины «Административное право»

    Программа дисциплины
    ... // Законность. 2003. № 4. Петров А.А. Субъекты административного права. Учебное пособие. Тюмень: Изд ... публичного права. Монография. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004. 352 c. ... -правового воздействия. СПб.: Издательство Р. Асланова Юридический центр Пресс ...
  5. Формирование антикоррупционной позиции курсантов вузов мвд россии средствами социально-культурной деятельности

    Реферат
    ... О. Р. Ажирбаева // Вестник ЮУрГУ.- № 13. - 2006 ... 2-е изд. - М.: Издательство «Институт практической психологии», Воронеж ... ред. О.Д. Нациевского. –Челябинск, 2006. - С. 16 ... Чижиков, В. В. Чижиков. // Учебное пособие. - М.: МГУКИ, 2003. – 382 с. Шадриков, ...

Другие похожие документы..