Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Духовная сфера жизни общества охватывает различные формы и уровни общественного сознания, которые, будучи воплощены в реальном процессе жизни общества...полностью>>
'Документ'
1.1 Светильник, пристраиваемый аварийного освещения непостоянного (постоянного) режима включения на базе тонких люминесцентных ламп Т5 (цоколь G5) с п...полностью>>
'Документ'
Вопрос. При курении человек вдыхает тот же ядовитый газ, что содержится в выхлопных газах автомобильного двигателя. Как называется этот газ?Ответ. Уга...полностью>>
'Документ'
2. Оборудование передано комплектно(не комплектно) (указать состав комплекта и технической документации, по которой произведена приемка и какая компле...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Условная вероятность

Рассмотрим следующую задачу. В урне имеется 5 белых и 7 черных шаров. Очевидно, вероятность вытянуть белый шар из урны в этом эксперименте равна 5/12.

Рассмотрим другой эксперимент с этой же урной. Известно, что некто уже вытащил белый шар из этой урны. Какова вероятность вынуть белый шар из урны в этом эксперименте? Очевидно 4/11. Эти эксперименты чем - то отличаются? Да, перед проведением второго эксперимента произошло событие: из урны удалили белый шар. Тем самым вероятности событий во втором эксперименте изменились.

Такие измененные вероятности называются условными вероятностями событий при условии, что некоторое событие произошло.

Если до наступления события B с вероятностным экспериментом связывалось множество элементарных событий , то после того, как произошло событие B, вероятностный эксперимент изменился, и достоверным событием теперь стало не все множество , а событие B. Все возможные события в этом новом эксперименте теперь являются подмножествами этого множества B.

Таким образом, вероятность любого события А в этом новом эксперименте определяется соотношением: .

Событие в числителе – это множество всех исходов события А, которые также принадлежат и В (так как событие В произошло). Деление на вероятность события В - для нормировки, так как событие В стало достоверным ().

Определение. Условной вероятностью события А при условии, что событие B произошло, называется следующее соотношение: ().

Из этого определения вытекает формула умножения вероятностей:


.

Связь условных вероятностей между собой:


— формула Байеса.

Очень важными понятиями в теории вероятностей являются понятия статистической зависимости и статистической независимости событий.

    1. Независимость событий

Определение. События А и В называются статистически независимыми, если и статистически зависимыми в противном случае.

Не надо путать статистическую зависимость с функциональной (детерминированной, не случайной) зависимостью. Если события связаны функциональной зависимостью, то они и статистически зависимы. С другой стороны существование статистической зависимости не гарантирует наличие функциональной зависимости. Например, между ростом и весом человека существует статистическая зависимость, но нет функциональной зависимости. С другой стороны, между напряжением и током через резистор существует функциональная зависимость и, следовательно, статистическая тоже.

Очевидно, что если события А и В независимы, то и .

Докажем последнее равенство.

Так как , то .

Откуда .

Для совокупности событий различают попарную независимость событий и независимость событий в совокупности.

Определение Пусть — некоторая совокупность событий. События этой совокупности называются попарно независимыми, если . События называются независимыми в совокупности, если .

События могут быть попарно независимыми, но зависимыми в совокупности и наоборот.

Пример [2]

Одним из методов проверки достоверности передачи двоичного кода по линии связи является, так называемая, проверка на четность (нечетность). Пусть передаются два информационных бита и один контрольный так, что по модулю 2 (перенос в старший разряд теряется). Биты независимы и с равной вероятностью принимают значения 0 и 1. Очевидно, что бит функционально зависит от , следовательно, зависит и статистически. То есть события должны быть зависимы в совокупности.

По условию задачи и .

Найдем вероятности событий .

Рассмотрим таблицу возможных исходов эксперимента.

Таблица 2

x1

x2

x3

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

По условию задачи все исходы эксперимента равновозможные, то есть имеют вероятность 1/4.

Очевидно (Бит четности равен нулю тогда и только тогда, когда только один из информационных бит равен 1).

.

, .

То есть события попарно независимы.

С другой стороны , так как это событие невозможное (в таблице исходов эксперимента нет строчки, содержащей все нули).

Таким образом, эти события зависимы в совокупности.

Покажем, что могут быть события, которые являются независимыми в совокупности, но попарно зависимыми.

Пусть имеется множество равновозможных пар чисел . Рассмотрим события:

, , .

Заметим, что эти события независимы в совокупности, так как

.

С другой стороны эти события попарно зависимы, так как

. .

Контрольный вопрос: являются ли независимыми несовместные события?

При практическом вычислении вероятностей событий обычно применяется вторая аксиома вероятности. Для этого надо разложить искомое событие на сумму несовместных событий, вероятности которых легко рассчитываются, и просуммировать соответствующие вероятности.

В этом помогает рассматриваемая ниже формула полной вероятности.

    1. Формула полной вероятности

Формула полной вероятности. Пусть полная группа событий. В — событие, вероятность которого необходимо найти. Тогда, .

Доказательство. Так как - полная группа событий, то справедливы следующие соотношения: , .

Заметим, что события попарно несовместны, поэтому к сумме событий может быть применена вторая аксиома вероятности: .

По правилу вычисления вероятности произведения событий: . Откуда получаем: .

Рассмотрим примеры задач, в которых применяется формула полной вероятности.

Формулировки задач взяты из [3].

Пример 1

В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго — 10% и третьего — 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров с первого завода, 20% — со второго 50% — с третьего?

Решение задачи

Пусть В — событие, вероятность которого необходимо найти, то есть приобретение исправного телевизора.

Определим события, составляющие полную группу. В магазине могут быть только: А1 — телевизоры 1-го завода; А2 — телевизоры 2-го завода и А3 — телевизоры 3-го завода.

Очевидно А1+А2+А3= — все телевизоры в магазине. А1А2=Ø, А1А3=Ø, А2А3=Ø.

Вычислим условную вероятность события В при условии, что событие А1 произошло. То есть это вероятность купить исправный телевизор, при выборе телевизора только из продукции первого завода. Очевидно: P(B/A1)=0,8. Аналогично вычислим: P(B/A2)=0,9, P(B/A3)=0,95.

Из условия задачи следует: P(A1)=0,3, P(A2)=0,2, P(A3)=0,5.

Применяя формулу полной вероятности, получим:

P(B)=P(B/A1)P(A1)+P(B/A2)P(A2)+P(B/A3)P(A3)=0,8·0,3+0,9·0,2+0,95·0,5=0,895.

Ответ: Вероятность купить исправный телевизор равна 0,895.

Пример 2

Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает % брака, второй — %. Для контроля отобрано n1 деталей из первого цеха и n2 из второго. Эти детали смешаны в одну партию и из нее наудачу извлекают одну деталь. Какова вероятность того, что она бракованная?

Решение задачи

В — событие, вероятность которого мы хотим найти: извлеченная деталь — бракованная.

Какие события из условия задачи составляют полную группу?

А1 — в партии детали первого цеха, А2 — в партии детали второго цеха.

Очевидно: P(A1)=n1/(n1+n2), P(A2)=n2/(n1+n2).

Определим условные вероятности: P(B/A1) — вероятность извлечь бракованную деталь при условии, что в партии детали только первого цеха. Ясно, что P(B/A1)=/100.

Аналогично: P(B/A2)=/100.

По формуле полной вероятности искомая вероятность равна:

P(B)=P(B/A1)P(A1)+P(B/A2)P(A2)=/100·n1/(n1+n2)+/100·n2/(n1+n2).

Пример 3

На рисунке 2 изображена схема дорог. Туристы выходят из пункта П1, выбирая каждый раз на развилке дорог дальнейший путь наудачу. Какова вероятность, что они попадут в пункт П2?

Рис. 2

Решение задачи

Событие В — попасть из пункта П1 в пункт П2.

Определим события, составляющие полную группу. Это все пути, приводящие из пункта П1 в первую развилку. В соответствии с рисунком обозначим их сверху вниз А1, А2, А3, А4. Вероятности этих событий равны 1/4.

Найдем условные вероятности событий P(B/Ai).

Вероятность попасть в пункт П2, если туристы выбрали путь А1, равна 1/3, если выбрали путь А2 — 1/2, если выбрали путь А3 — 1, если выбрали путь А4 — 2/5.

По формуле полной вероятности:

P(B)= 1/4·(1/3+1/2+1+2/5)=67/120.

Пример 4

Из десяти студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей и взявших билеты, Иванов и Петров знают 20 билетов из 30, Сидоров плохо занимался весь семестр и знает только 15 билетов, остальные студенты знают все 30 билетов. По прошествии отведенного времени на подготовку экзаменатор наудачу вызывает отвечать одного из студентов. Какова вероятность того, что вызванный сдал экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а при незнании билета можно сдать экзамен лишь с вероятностью 0,1?

Решение задачи

Событие В — вызванный отвечать студент сдал экзамен.

События, составляющие полную группу:

А1 — вызвали Иванова или Петрова; А2 — вызвали Сидорова; А3 — вызвали кого-либо из остальных студентов.

Вероятности этих событий: P(A1)=2/10, P(A2)=1/10, P(A3)=7/10.

Условные вероятности событий: P(B/A1) — вероятность сдать экзамен Иванову или Петрову, P(B/A2) — вероятность сдать экзамен Сидорову, P(B/A3) — вероятность сдать экзамен кому-либо из остальных студентов.

Рассмотрим, какова вероятность сдать экзамен Иванову или Петрову. Эту вероятность также нужно вычислять по формуле полной вероятности. Полную группу событий в этом случае составляют события: H1 — взят билет, который знаешь и H2 — взят билет, который не знаешь.

Следовательно: P(B/A1)=P(B/A1H1)P(H1)+P(B/A1H2)P(H2).

Здесь P(B/A1H1) — условная вероятность сдать экзамен при условии, что сдает экзамен Иванов или Петров, и они вытянули билет, который знают. По условию задачи эта вероятность равна 0,85. Очевидно P(B/A1H2)=0,1.

Следовательно, P(B/A1)=0,85·20/30+0,1·10/30=0,6.

Таким же образом подсчитаем остальные условные вероятности:

Для Сидорова вероятности событий Н1 и Н2 другие, чем для Иванова и Петрова!

P(B/A2)= P(B/A2H1)P(H1)+P(B/A2H2)P(H2)=0,85·15/30+0,1·15/30=0,475.

Для остальных студентов P(H1)=1, P(H2)=0.

Р(В/А3)=0,85.

Окончательный результат:

Р(В)=Р(В/А1)Р(А1)+Р(В/А2)Р(А2)+Р(В/А3)Р(А3)=0,6·0,2+0,475·0,1+0,85·0,7=0,7625.



Похожие документы:

  1. Программа курса состоит из следующих разделов

    Программа курса
    ... маркетинге. Cool-Brand-стратегия Издательство: Питер, 2008 -200с. ... Учебное пособие. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2002. – 66 с Власов П.К. (Ред.). Психология в рекламе. URSS, 2003 ... менталитета и нооменталитета. Учебное пособие для ВУЗов.- Екатеринбург: ...
  2. Основная образовательная программа бакалавриата по направлению подготовки 040100 «Социология» (17)

    Основная образовательная программа
    ... Болонского процесса в 2003 на Берлинской ... Бороноев. — СПб.: Издательство СПбГУ, 2000. Мазунина, М. В. Рынок труда: учебное пособие / М. В. Мазунина. ... учебное пособие / И.А. Кулыгина, Н.А. Каширин, Д.Ю.Пименов.– 2-е изд., испр. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ ...
  3. Программа дисциплины Административное право для направления 030900. 62 «Юриспруденция» подготовки бакалавра Автор программы

    Программа дисциплины
    ... // Законность. 2003. № 4. Петров А.А. Субъекты административного права. Учебное пособие. Тюмень: Изд ... публичного права. Монография. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004. 352 c. ... -правового воздействия. СПб.: Издательство Р. Асланова Юридический центр Пресс ...
  4. Программа дисциплины «Административное право»

    Программа дисциплины
    ... // Законность. 2003. № 4. Петров А.А. Субъекты административного права. Учебное пособие. Тюмень: Изд ... публичного права. Монография. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004. 352 c. ... -правового воздействия. СПб.: Издательство Р. Асланова Юридический центр Пресс ...
  5. Формирование антикоррупционной позиции курсантов вузов мвд россии средствами социально-культурной деятельности

    Реферат
    ... О. Р. Ажирбаева // Вестник ЮУрГУ.- № 13. - 2006 ... 2-е изд. - М.: Издательство «Институт практической психологии», Воронеж ... ред. О.Д. Нациевского. –Челябинск, 2006. - С. 16 ... Чижиков, В. В. Чижиков. // Учебное пособие. - М.: МГУКИ, 2003. – 382 с. Шадриков, ...

Другие похожие документы..