Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Литература'
Тема: Обособленные члены предложения. Понятие об обособлении.Задания: параграф №47 (правило, теория);упражнения: № 287 (устно), №288,290 (по заданию у...полностью>>
'Отчет'
Ознакомление студента с автопредприятием. Расстановка по рабочим местам, ознакомление с организацией рабочего места, порядок получения и сдачи инструм...полностью>>
'Документ'
Письмо от 02 Августа 2011 г. N 06-413 О государственной аккредитации образовательных программ послевузовского профессионального образования (аспиранту...полностью>>
'Решение'
При выполнении контрольной работы необходимо придерживаться нижеследующих правил. Работа, выполненная без соблюдения этих правил, не зачитывается и во...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Часть 3. Окружности

I. Справочные материалы.

I. Свойства касательных, хорд и секущих. Вписанные и центральные углы.

Окружность и круг

1.Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней две касательные, то

а)длины отрезков от данной точки до точек касания равны;

б)углы между каждой касательной и секущей, проходящей через центр круга, равны.

2. Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней касательную и секущую, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

3. Если две хорды пересекаются в одной точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

4. Длина окружности С=2πR;

5. Длина дуги L =πRn/180˚

6. Площадь круга S=πR2

7. Площадь сектора Sc =πR2 n/360

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Теорема 1. Мера угла между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключенной между его сторонами

Теорема 2 (о касательной и секущей). Если из точки М к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки М до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки М до точек её пересечения с окружностью.

Теорема 3. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды, то есть если хорды АВ и СД пересекаются в точке М, то АВ • МВ = СМ • МД.

Свойства хорд окружности:

• Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Обратно: диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.

• Равные хорды окружности находятся на равном расстоянии от центра окружности. Обратно: на равного расстоянии от центра окружности находятся равные хорды.

• Дуги окружности, заключённые между параллельными хордами равны.

окружности, имеющие общую точку и общую касательную в этой точке, называются )касающимися Если окружности расположены по одну сторону от общей касательной, то они называются касающимися внутренне., а если по разные стороны от касательной, то они называются касающимися внешне.

II. Дополнительные материалы

Свойства некоторых углов.

Теорема.

1) Угол (АВС), вершина ко­торого лежит внутри круга, является полусуммой двух дуг (АС И DE), из которых одна заключена между его сторонами, а другая — между продолжениями сторон.

2) угол (АВС), вершина которого лежит вне круга и стороны пересекаются с окружностью, является полуразностью двух дуг (АС и ED), заключенных между его сторонами

Доказательство.

Проведя хорду АD (на том и на другом чертеже), мы получим ∆АВD,

относительно которого рассматриваемый угол АВС служит внешним, когда его вершина лежит внутри кру­га, и внутренним, когда его вер­шина лежит вне круга. Поэтому в первом случае: ; во втором случае:

-

Но углы АDС и DAE, как впи­санные, измеряются половинами дуг

АС и DE; поэтому угол АВС измеряется: в первом случае суммой: ½ AС+1/2 DE, которая равна 1/2(AC+DE), а во втором случае разностью 1/2 ﬞ AС­-1/2 DE, которая равна 1/2( AC- DE).

Теорема. Угол (АCD), состав­ленный касательной и хордой, измеряется половиной ду­ги, заключенной внутри него.

Предположим сначала, что хорда СD проходит через центр О, Т.е. что хорда есть диаметр. Тогда угол АСD- прямой и, следовательно, равен 90°. Но и половина дуги СmD также равна 90°, так как целая дуга СmD, составляя полуокружность, содержит 180°. Значит теорема оправдывается в этом частном случае..

Теперь возьмем общий случай, когда хорда СD не проходит через центр. Проведя тогда диаметр СЕ, мы будем иметь:

Угол ACE, как составленный касательной и диаметром, измеряется, по доказанному, половиной дуги CDE; Угол DCE, как вписанный, измеряется половиной дуги CnED: разница в доказательстве только та, что этот угол надо рассматривать не как разность, а как сумму прямого угла ВСЕ и острого угла ECD.

Пропорциональные линии в круге

Теорема. Если через точку (М), взятую внутри круга, проведена какая-нибудь хорда (АВ) и диа­метр (CD), то произведение отрезков хорды (АМ • МВ) равно произведению отрезков диаметра (МВ • МС).

Доказательство.

Проведя две вспомогательные хорды АС и ВD, мы получим два треугольника АМС и MBD (покрытые на рисунке штрихами), которые подобны, так как у них углы А и D равны, как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС, углы С и В равны, как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AD. Из подобия треугольников выводим:

АМ : МD=МС : МВ, откуда АМ • МВ=МD • МС.

Следствие. Если через точку (М), взятую внутри круга, проведено сколько угодно хорд (АВ, EF, KL,...), , то произведение отрезков каждой хорды есть число постоянное для всех хорд, так как для каждой корды это произведение равно произведению отрезков диаметра CD, проходящего через взятую точку М.

Теорема. Если из точки (М), взятой вне круга, проведены к нему какая-нибудь секущая (МА) и касательная (МС), то произведение секущей на ее внеш­нюю часть равно квадрату касательной (предполагается, что секущая ограничена второй точкой пересечения, а касательная - точкой касания).

Доказательство.

Проведем вспомогательные хорды АС и ВС; тогда получим два треугольника МАС и МВС (покрытые на рисунке штрихами), которые подобны, потому что у них угол М об­щий и углы МСВ и САВ равны, так как каждый из них из­меряется половиной дуги ВС. Возьмем в ∆МАС стороны МА и МС; сходственными сторонами в ∆МВС будут МС и МВ; поэтому МА : МС=МС : МВ, откуда МА • МВ=МС2.

Следствие. Если из точки (М), взятой вне круга, проведено к нему сколько угодно секущих (МА, MD, МЕ,...), то произведение каждой секущей на ее внеш­нюю часть есть число постоянное для всех секущих, так как для каждой секущей это произведение равно квадрату касательной (МС2), проведенной из точки М.

III. Вводные задачи.

Задача 1.

В равнобедренной трапеции с острым углом в 60° боковая сторона равна , а меньшее основание - . Найдите радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Решение

1) Радиус окружности, описанной около трапеции, – одно и то же, что и радиус окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются любые три вершины трапеции. Найдем радиус R окружности, описанной около треугольника ABD.

2) ABCD – равнобедренная трапеция, поэтому AK = MD, KM =.

ВABK AK = AB cos A = · cos 60° = . Значит,
AD = .

BK = AB sin A = · = .

3) По теореме косинусов в ∆ABD BD2 = AB2 + AD2 – 2AB · AD cos A.

BD2 = ()2 + (3)2 – 2 · · 3 · = 21 + 9 · 21 – 3 · 21 = 7 · 21;
BD = .

4) S(∆ABD) = AD · BK; S(∆ABD) = · · 3 = .


5) R =

Ответ: 7.

Задача 2.

В равносторонний треугольник ABC вписана окружность и проведен отрезок NM,

M AC, N BC, который касается ее и параллелен стороне AB.

Определите периметр трапеции AMNB, если длина отрезка MN равна 6.

Решение.

1) ∆ABC – равносторонний, точка O – точка пересечения медиан (биссектрис, высот), значит, CO : OD = 2 : 1.

2) MN – касательная к окружности, P – точка касания, значит, OD =
= OP, тогда CD = 3 · CP.

3) ∆CMN ∾ ∆CAB, значит, ∆CMN – равносторонний CM = CN = MN = = 6; P.

А так же

3) BN = CBCN = 18 – 6 = 12.

4) P(AMNB) = AM + MN + BN + AB = 18 + 6 + 12 + 12 = 48.

Ответ: 48.

Задача 3

Около окружности описана равнобокая трапеция, средняя линия которой равна 5, а синус острого угла при основании равен 0,8. Найдите площадь трапеции.

Решение. Так как окружность вписана в четырехугольник, то BC + AD = AB + CD. Этот четырехугольник – равнобокая трапеция, значит BC + AD = 2AB.

FP – средняя линия трапеции, значит, BC + AD = 2FP.

Тогда AB = CD = FP = 5.

ABK – прямоугольный, BK = AB sin A; BK = 5 · 0,8 = 4.

S(ABCD) = FP · BK = 5 · 4 = 20.

Ответ: 20.

№4

Вписанная окружность треугольника АВС касается стороны ВС в точке К, а вневписанная – в точке L. Докажите, что CK=BL=(a+b+c)/2

Доказательство: пусть М и N –точки касания вписанной окружности со сторонами АВ и ВС. Тогда BK+AN=BM+AM=AB, поэтому СК+CN= a+b-c.

Пусть Р и Q – точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон АВ и ВС. Тогда АР=АВ+ВР=АВ+ВL и AQ=AC+CQ=AC+CL. Поэтому AP+AQ=a+b+c. Следовательно, BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2.

№5

а) Продолжение биссектрисы угла В треугольника АВС пересекает описанную окружность в точке М. О - центр вписанной окружности. ОВ–центр вневписанной окружности, касающейся стороны АС. Докажите, что точки А, С, О и OВ лежат на окружности с центром М.

Доказательство: Так как <АОМ=<ВАО+<АВО=(<А+<В)/2 и <ОАМ=<ОАC+<САМ=А/2+<СВМ=(А+В)/2, то МА=МО. Аналогично МС = МО. Так как треугольник ОАОВ прямоугольный и B=В. Аналогично МС=МОВ

б) Точка О, лежащая внутри треугольника АВС, обладает тем свойством, что прямые АО, ВО, СО проходят через центры описанных окружностей треугольников ВСО, АСО, АВО. Докажите, что О – центр вписанной окружности треугольника АВС

Доказательство: Пусть Р- центр описанной окружности треугольника АСО. Тогда

IV. Дополнительные задачи

№1. Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений его катетов, имеет радиус R. Найдите периметр треугольника

Решение: HOGB- квадрат со стороной R

1) ∆OAH =∆OAF по катету и гипотенузе =>HA=FA

2) ∆OCF=∆OCG =>CF=CG

3) PABC=AB+AF+FC+BC=AB+AM+GC+BC+BH+BG=2R

Ответ:2R

№2. Точки C и D лежат на окружности с диаметром АВ. АС ∩ BD = Р, а AD ∩ BC = Q. Докажите, что прямые AB и PQ перпендикулярны

Доказательство: AD – диаметр => вписанный угол ADB=90 o (как опирающийся на диаметр)=> o как смежный. По св-ву секущих QD·QA=QP·QN=>QD/QP=QN/QA; ∆QDP подобен ∆QNA по 2м сторонам и углу между ними=> o =>QN перпендикулярна AB .

№3. В параллелограмме ABCD диагональ AC больше диагонали BD; М – точка диагонали AC, BDCM – вписанный четырехугольник.. Докажите, что прямая BD является общей касательной к описанным окружностям треугольников ABM и ADM

Пусть О – точка пересечения диагоналей АС и ВD. Тогда MO·OC=BO·ОD. Тогда как ОС=ОА и ВО=ВD, то МО·ОА=ВО2 и МО·ОА=DO2. Эти равенства означают, что ОВ касается описанной окружности треугольника ADM

№4. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка Е, и в треугольники АСЕ и АВЕ вписаны окружности, касающиеся отрезка СЕ в точках М и N . Найдите длину отрезка MN, если известны длины АЕ и ВЕ.

Согласно вводной задаче 4 СМ=(АС+СЕ-АЕ)/2 и СN=(BC+CE-BE)/2. Учитывая, что АС=ВС, получаем МN=|CM-CN|=|AE-BE|/2

№5. Длины сторон треугольника АВС образуют арифметическую прогрессию, причем a1. Докажите, что центр О вписанной окружности делит отрезок ВВ1 пополам.

Пусть М середина стороны АС, N- точка касания вписанной окружности со стороной ВС. Тогда BN=р–b (вводная задача 4), поэтому BN=AM, т.к. p=3b/2 по условию. Кроме того, 1AM, а значит, ∆ОВМ=∆В1АМ, т.е. ОВ=В1А. Но В1А=В1О. (вводная задача 5)

V.Задачи для самостоятельного решения

№1. Четырехугольник ABCD обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол BAD и касающаяся продолжений сторон ВС и CD. Докажите, что AB+BC=AD+DC.

№2. Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами R и r пересекает их общие внешние касательные в точках А и В и касается одной из окружностей в точке С. Докажите, что АС∙CB=Rr

№3. В треугольнике АВC угол С прямой. Докажите, что r =(a+b-c)/2 и rc=(a+b+c)/2

№4. Две окружности пересекаются в точках А и В; MN – общая касательная к ним. Докажите, что прямая АВ делит отрезок MN пополам.

  1. №5. Продолжения биссектрис углов треугольника АВС пересекают описанную окружность в точках А1, В1, С1. М – точка пересечения биссектрис. Докажите, что:

а) MA·MC/MB1=2r;

b) MA1·MC1/MB=R

№6. Угол, составленный двумя касательными, проведенными из одной точки окружности, равен 23о15`. Вычислить дуги, заключенные между точками касания

№7. Вычислить угол, составленный касательной и хордой, если хорда делит окружность на две части, относящиеся как 3:7.

VI. Контрольные задачи.

Вариант 1.

Точка М находится вне круга с центром О. Из точки М проведены три секущие: первая пересекает окружность в точках В и А (М-В-А), вторая – в точках D и C (М-D-C), а третья пересекает окружность в точках F и E (M-F-E) и проходит через центр окружности, АВ = 4, ВМ =5, FM = 3.

    1. Докажите, что если АВ = СD, то углы АМЕ и СМЕ равны.

    2. Найдите радиус окружности.

    3. Найдите длину касательной, проведенной из точки М к окружности.

    4. Найдите угол АЕВ.

Вариант 2.

АВ – диаметр окружности с центром О. Хорда ЕF пересекает диаметр в точке К (А-К-О), ЕК =4, КF = 6, ОК = 5.

  1. Найдите радиус окружности.

  2. Найдите расстояние от центра окружности до хорды ВF.

  3. Найдите острый угол между диаметром АВ и хордой EF.

  4. Чему равна хорда FМ, если ЕМ – параллельная АВ.

Вариант 3. В прямоугольный треугольник АВС (<С = 90°, <А = 60°) вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС, АС соответственно в точках D, E и F. На дуге DF выбрана точка К и проведена касательная к окружности в этой точке. Касательная пересекает АВ в точке Р, а АС- в точке Т.

  1. В каком отношении точки D, E и F делят окружность?

  2. Найдите радиус окружности, если её центр удален от вершины С на 4.

  3. Найдите периметр треугольника АРТ.

  4. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Вариант 4.

АВ – диаметр окружности с центром О. Радиус этой окружности равен 4, О1 – середина ОА. С центром в точке О1 проведена окружность, касающаяся большей окружности в точке А. Хорда СD большей окружности перпендикулярна к АВ и пересекает АВ в точке К. Е и F –точки пересечения СD с меньшей окружностью (С-Е-К-F-D), АК=3.

  1. Найдите хорды АЕ и АС.

  2. Найдите градусную меру дуги АF и её длину.

  3. Найдите площадь части меньшего круга, отсеченной хордой ЕF.

  4. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АСЕ.



Похожие документы:

  1. 1. Сформулируйте определение окружности, вписанной в треугольник. Сформулируйте теорему о центре вписанной окружности. Приведите пример применения теоремы о це

    Документ
    ... Билет № 17 1. Окружность (определение). Хорда окружности. Касательная к окружности: определение и свойства. 2. Трапеция. ... биссектрис, медиан. 2. Центральный и вписанный углы. Свойство вписанного угла окружности. 3. Найдите высоту равнобедренной ...
  2. Учебное пособие. Пенза-2012 удк 514

    Документ
    ... пересечения пополам. Рассмотрим свойства касательных, хорд, секущих окружности. Свойство 1. (свойство касательных). Если из точки к окружности проведены две касательные, то длины ...
  3. Дидактические материалы по геометрии для 8 класса

    Документ
    ... Дуга вписанного угла определяется … 4. Хорда окружности, равная ее радиусу, видна из центра окружности под углом … 5. Вписанный и центральный углы, опирающиеся ... круга с центром O проведена секущая MAB, внешняя часть которой MA равна радиусу окружности ...
  4. Геометрия (7-9). Параллельные прямые. Свойства и признаки параллельных прямых

    Документ
    ... Углы, связанные с окружностью. Величина дуги окружности равна величине центрального угла, на неё опирающегося. Вписанный ... секущими, пересекающимися вне круга, равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности. Угол между касательной и хордой ...
  5. Рабочая программа Предмет «Геометрия» педагог: Куприянова Ю. В. 8 класс Ангарск 2013г. Пояснительная записка

    Рабочая программа
    ... . Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр. Центральный, вписанный угол; величина вписанного угла. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей. Касательная и секущая к окружности, равенство касательных ...

Другие похожие документы..