Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
мин, сек м дБ град Вт МГц МГц БС-1 Заокский район, переезд 143 км 59N4930137E 5,0 3,0/0 0-3 0/0/ V 10, ,1300 ,1300 РАДИОЛОКАЦИОННАЯ СТАНЦИЯ Тип РЭС Ме...полностью>>
'Документ'
3. У Винни-Пуха закончились запасы мёда, и он решил сходить в гости к Кролику. Но к домику Кролика ведут разные дороги. За какое минимальное время Вин...полностью>>
'Документ'
Индивидуальные профконсультирования для женщин, имеющих детей в возрасте до 3-х лет, желающих повысить квалификацию или получить дополнительную профес...полностью>>
'Документ'
55. При изготовлении водных извлечений с применением жидких экстрактов – концентратов их добавляют в микстуру с учетом концентрации и свойств использо...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

АСОИУ

5-е занятие по MATLAB

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5

Применение функций операционного исчисления

для исследования линейных динамических систем

в системе MATLAB.

  1. Преобразование Лапласа в MATLAB — функция laplace.

1.1. syms x y t; % задание символьных переменных

f1 = t; % зададим функцию-оригинал;

L1 = laplace(f1) % определение изображения по Лапласу от линейной функции;

f2 = sym('10'); % функцию f2 = 10 выражаем в символьном виде;

L2 = laplace(f2) % определение изображения от постоянной;

f3 = sym('3')*t + sym('7'); % оригинал линейной функции;

L3 = laplace(f3) % изображение линейной функции;

f4 = exp(-t); % оригинал экспоненциальной функции (со знаком минус);

L4 = laplace(f4) % изображение экспоненциальной функции ;

f5 = exp(t); % оригинал экспоненциальной функции (со знаком плюс);

L5 = laplace(f5) % изображение экспоненциальной функции ;

L6 = laplace(exp(t))

f6 = sin(x);

L6 = laplace(f6) % изображение тригонометрической функции sin(x);

L7 = laplace(cos(x)) % изображение тригонометрической функции cos(x);

  1. Передаточные функции.

Определение. Передаточной функцией линейной динамической системы называется отношение изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению по Лапласу входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция в общем случае является дробно рациональной функцией относительно оператора преобразования Лапласа:

(1)

Условие m  n отвечает условию реализуемости систем.

Создание передаточных функций — tf. % См. help tf;

2.1. Сформируем следующую передаточную функцию W1:

. (2)

2.2. В командной строке MATLAB набираем (или создаем М-сценарий):

W1=tf(12,[1 2 3 1])

% Результат возвращается в виде:

Transfer function:

12

---------------------

s^3 + 2 s^2 + 3 s + 1

2.3. . Сформируем следующую передаточную функцию W2:

. (3)

В командной строке MATLAB набираем:

W2=tf([3 5 4],[1 2 3 1])

% Результат возвращается в виде:

Transfer function:

3 s^2 + 5 s + 4

---------------------

s^3 + 2 s^2 + 3 s + 1

Формирование передаточных функций с разложением на множители числителя и знаменателя с заданным коэффициентом передачи — zpk (zero-pole-gain), символ k отображает gain.

Нули передаточной функции — это корни числителя, полюса — корни знаменателя.

2.4. Сформируем передаточную функцию со статическим коэффициентом, равным 7.7, и с полюсами . Назовем ее передаточной функцией с выделенными нулями и полюсами.

В командной строке MATLAB набираем:

W3=zpk([],[-3.3,-0.25,-12.7],7.7)

% Результат возвращается в виде:

Zero/pole/gain:

7.7

-------------------------

(s+3.3) (s+12.7) (s+0.25)

% Символ []означает, что в числителе передаточной функции характеристический полином

%нулевой

2.5. Сформируем передаточную функцию со статическим коэффициентом, равным 7.7, с полюсами и с нулями .

В командной строке MATLAB набираем:

W4=zpk([4,-5],[-3.3,-0.25,-12.7],7.7)

% Результат возвращается в виде:

Zero/pole/gain:

7.7 (s-4) (s+5)

-------------------------

(s+3.3) (s+12.7) (s+0.25)

2.6. Взаимное преобразование форм передаточных функций.

2.6.1. Преобразуем полученную передаточную функцию W4 в рациональную форму:

% В командной строке MATLAB набираем:

» w44=tf(W4)

% Результат возвращается в виде:

Transfer function:

7.7 s^2 + 7.7 s - 154

---------------------------------

s^3 + 16.25 s^2 + 45.91 s + 10.48

2.6.2. Преобразуем рациональную передаточную функцию в форму с выделенными нулями и полюсами:

% В командной строке MATLAB сформируем простую передаточную функцию вида:

.

W5=tf(10,[1,3,2])

% Результат возвращается в виде:

Transfer function:

10

-------------

s^2 + 3 s + 2

% Полученная передаточная функция соответствует описанию объекта, состоящего из двух последовательно соединенных инерционных звеньев с результирующим коэффициентом передачи, равным 10, и постоянными времени .

% Передаточная функция с выделенными нулями и полюсами w55:

w55=zpk(W5) % Формат преобразования

% Результат преобразования

Zero/pole/gain:

10

---------

(s+2)(s+1)

% Преобразуем рациональную передаточную функцию W2 в форму с выделенными нулями и полюсами:

w22=zpk(W2) % Формат преобразования

% Результат преобразования

Zero/pole/gain:

3 (s^2 + 1.667s + 1.333)

--------------------------------

(s+0.4302) (s^2 + 1.57s + 2.325)

% Рассмотренные передаточные функции типа (1) описывают объекты управления с одним входом и одним выходом — системы SISO (single input single output).

2.7. Оценка динамики объекта управления по заданной передаточной функции.

Динамика объекта управления определяется знаменателем передаточной функции, точнее корнями характеристического уравнения, составленного из знаменателя. Если корни характеристического уравнения "левые", то соответствующий переходный процесс будет установившимся, если же корни "правые", то переходный процесс будет неустановившимся, т.е. стремиться к бесконечности (по выходной координате объекта или по всем возможным координатам).

Для расчета корней характеристического уравнения можно использовать функцию eig.

2.7.1. Определим корни характеристического уравнения для объекта с передаточной функцией W5 и w55.

» eig(W5) % W5 — рациональная передаточная функция

ans =

-2

-1

» eig(w55) % w55 — передаточная функция с выделенными нулями и полюсами

ans =

-2

-1

% Результат получен один и тот же. Форма w55 позволяет сразу определить корни, если

% они простые

2.7.2. Определим корни характеристического уравнения для объекта с передаточной функцией W2 и w22.

»eig(W2) % W2 — рациональная передаточная функция

ans =

-0.7849 + 1.3071i

-0.7849 - 1.3071i

-0.4302

»eig(w22) %w22 — передаточная функция с выделенными нулями и полюсами, получена из W2

ans =

-0.7849 + 1.3071i

-0.7849 - 1.3071i

-0.4302

% Получены два комплексных корня и один простой. Простой корень легко может быть определен из передаточной функции w22.

2.7.3. Передаточные функции с кратными корнями.

Зададим простой корень, равный 6.78 тройной кратности и с помощью zpk сформируем следующую передаточную функцию w66:

» w66=zpk([],[-6.78,-6.78,-6.78],7)

% Рассчитаем корни соответствующего характеристического уравнения

» eig(w66)

ans =

-6.7800

-6.7800

-6.7800

% Получены три простых одинаковых корня

2.7.4. Передаточные функции с комплекными корнями.

Комплексные корни входят сопряженными парами.

Зададим один простой корень и два комплесно-сопряженных с помощью zpk.

» w77=zpk([],[-5+2.3*i,-5-2.3*i,-5.7],6)

Zero/pole/gain:

6

---------------------------

(s+5.7) (s^2 + 10s + 30.29)

% Имеем один простой корень, равный -5.7, и два комплесно-сопряженных: -5+2.3i; -5-2.3i, где

% i — символ мнимой единицы (можно использовать и j одновременно или совместно).

Рациональная передаточная функция, соответствующая w77, будет иметь вид:

» W77=tf(w77)

Transfer function:

6

--------------------------------

s^3 + 15.7 s^2 + 87.29 s + 172.7

  1. Передаточные функции многомерных систем.

Формирование передаточных функций для многомерных систем (MIMO — multiple input multiple output) основано на представлении числителя и знаменателя в виде передаточных функций одномерных систем.

1-й способ формирования передаточной функции системы MIMO с помощью tf.

  • формирование массива ячеек, содержащих многочлены числителя — N;

  • формирование массива ячеек, содержащих многочлены знаменателя — D.

Массивы числителя и знаменателя содержат векторы-строки, которые заключаются в фигурные скобки.

3.1. Формирование многомерной передаточной функции, которая описывает объект управления с двумя входами (два управляющих воздействия) для объекта третьего порядка.

% Формируем массив ячеек числителя N

» N={[1,- 2.3];[2,3.4]};

% Формируем массив знаменателя D

» D={[1 3.6 ];[2 3 5]};

% Формируем передаточную функцию многомерной системы М

» M1=tf(N,D)

% Результат возвращается в виде

Transfer function from input to output...

s - 2.3

#1: ------- % По первому входу

s + 3.6

2 s + 3.4

#2: --------------- % По второму входу

2 s^2 + 3 s + 5

2-й способ формирования передаточной функции системы MIMO с помощью tf.

Заключается в объединении предаточных функций одномерных систем.

3.2. Сформируем передаточную функцию системы MIMO по известным передаточным функциям систем SISO.

% Первая система SISO имеет передаточную функцию S11

» S11=tf([1 2],[1 3 2]) % Последовательное соединение двух инерционных звеньев

Transfer function:

s + 2

-------------

s^2 + 3 s + 2

% Вторая система SISO имеет передаточную функцию S21

» S21=tf([7],[2 1]) % Передаточная функция одного инерционного звена

Transfer function:

7

-----

2s + 1

% Передаточная функция многомерной системы М2

» M2=[S11;S21]

Transfer function from input to output...

s + 2

#1: -------------

s^2 + 3 s + 2

7

#2: -------

2 s + 1

3-й способ формирования передаточной функции системы MIMO с помощью zpk.

3.3. Формирование передаточной функции системы MIMO по массиву ячеек.

% Формируем массив ячеек числителя передаточной функции MIMO

» Z={[1],5;[-1],[-2 -4]};

% Формируем массив ячеек знаменателя передаточной функции MIMO

» P={[-1 -2],[-3 -6];[-1 -2],[-4 -5]};

% Формируем массив ячеек статического коэффициента передачи MIMO

» K=[3 5;7 9];

% Формируем передаточную функцию М3 системы MIMO

» M3=zpk(Z1,P1,K)

% Результат формирования М3 по заданным ячейкам выдается по каждому управлению (которых два) к каждой выходной координате (которых две)

Zero/pole/gain from input 1 to output...

3 (s-1)

#1: -----------

(s+1) (s+2)

7 (s+1)

#2: -----------

(s+1) (s+2)

Zero/pole/gain from input 2 to output...

5 (s-5)

#1: -----------

(s+3) (s+6)

9 (s+2) (s+4)

#2: -------------

(s+4) (s+5)

4-й способ формирования передаточной функции системы MIMO с помощью zpk.

Основан на предварительном формировании с помощью zpk передаточных функций одномерных систем.

3.4. Формирование передаточной функции MIMO по заданным передаточным функциям SISO.

% Формируем первую передаточную функцию SISO

» z1=zpk([1],[-1 -2],2) % Для массива числителя MIMO

Zero/pole/gain:

2 (s-1)

-----------

(s+1) (s+2)

% Формируем вторую передаточную функцию SISO

» z2=zpk([],[-3 -4],4) % Для массива числителя MIMO

Zero/pole/gain:

4

-----------

(s+3) (s+4)

% Формируем третью передаточную функцию SISO

» p1=zpk(2,[-1.2 -2.3],5) % Для массива знаменателя MIMO

Zero/pole/gain:

5 (s-2)

---------------

(s+1.2) (s+2.3)

% Формируем четвертую передаточную функцию SISO

» p2=zpk([],[-3 -5],6) % Для массива знаменателя MIMO

Zero/pole/gain:

6

-----------

(s+3) (s+5)

% Формируем передаточную функцию MIMO с двумя входами и двумя выходами

» M4=[z1 z2;p1 p2;[]]

Zero/pole/gain from input 1 to output...

2 (s-1)

#1: -----------

(s+1) (s+2)

5 (s-2)

#2: ---------------

(s+1.2) (s+2.3)

Zero/pole/gain from input 2 to output...

4

#1: -----------

(s+3) (s+4)

6

#2: -----------

(s+3) (s+5)

% Знак пустого множества [] относится к статическому коэффициенту K передачи системы MIMO. Заполнение коэффициента K должно происходить с учетом количества входов и ли количества входных воздействий. В рассматриваемо случае число столбцов K должно равняться двум.

3.5. Определение корней характеристического уравнения многомерной системы — eig, pole.

Для системы MIMO с заданной передаточной функцией М4 корни соответствующего характеристического уравнения можно определять с помощью функций eig,pole.

% Найдем корни в формате вывода в виде строки (путем транспонирования)

» eig(M4)' % или можно определить как pole(M4)

ans =

-2.0000 -1.0000 -2.3000 -1.2000 -4.0000 -5.0000 -3.0000

3.6. Определение нулей передаточной функции многомерной системы — tzero.

% Найдем нули в формате вывода в виде строки (путем транспонирования)

» tzero(M4)'

ans =

3.3998 -1.9076 -0.8795 -5.8627

Задание:

  • Сформировать передаточную функцию 4-х последовательно соединенных инерционных звеньев и одного дифференцирующего звена на входе системы.

  • Сформировать передаточную функцию 2-х последовательно соединенных колебательных звеньев.

  • Сформировать передаточную функцию с последовательным соединением 2-х инерционных и 2-х колебательных звеньев.

  • Сформировать передаточную функцию с последовательным соединением трех инерционных звеньев с тремя управлениями, приложенными в различных точках системы.

  • Формирование провести с помощью tf,zpk и с произвольными числовыми параметрами звеньев (чтобы они были устойчивыми).

  1. Построение переходных и импульсных характеристик систем, заданных передаточными функциями.

4.1. Переходные характеристики — step.

Определение. Переходной характеристикой (функцией) объекта (системы) управления называется его реакция во времени при воздействии на него единичной функции (единичного скачка) при нулевых начальных условиях.

%Форматы записи step рассмотрим на примерах с передаточными функциями.

W1=tf(12,[1 2 3 1]); % Рациональная передаточная функция

» step(W1),grid % С автоматическим установлением временного интервала

» step(W1,25),grid % С задаваемым установлением временного интервала от 0 до 25

» Z=zpk([],[-1 -2],4); % Функция с выделенными нулями и полюсами

» step(Z),grid % С автоматическим установлением временного интервала

» step(Z,13),grid % С задаваемым временным интервалом от 0 до 13

» step(Z,13,'r*'),grid,hold on,step(W1,'g*')% Совмещение двух графиков— 1сп.

» step(Z,13,'r*',W1,'g*'),grid % Совмещение двух графиков — 2-й способ

Задание.

  • Построить переходные характеристики для всех ранее рассмотренных передаточных функций, как систем SISO, так и MIMO/

  • Для систем MIMO построить переходные характеристики по каждой выходной координате с соответствующим управлением. Совместить отдельные характеристики в одной системе координат.

4.2. Импульсные характеристики — impulse.

Определение. Импульсной характеристикой (функцией) системы называется реакция системы во времени при воздействии на нее функции Дирака (с бесконечно большой амплитудой и бесконечной малой длительности).

%Форматы записи impulse рассмотрим на примерах с передаточными функциями.

W1=tf(12,[1 2 3 1]); % Рациональная передаточная функция

» impulse(W1),grid % С автоматическим установлением временного интервала

» impulse(W1,25),grid % С задаваемым установлением временного интервала от 0 до 25

» Z=zpk([],[-1 -2],4); % Функция с выделенными нулями и полюсами

» impulse(Z),grid % С автоматическим установлением временного интервала

» impulse(Z,13),grid % С задаваемым временным интервалом от 0 до 13

» impulse(Z,13,'r*'),grid,hold on,step(W1,'g*')% Совмещение графиков— 1сп.

» impulse(Z,13,'r*',W1,'g*'),grid % Совмещение графиков — 2-й способ

Задание.

  • Построить импульсные характеристики для всех ранее рассмотренных передаточных функций, как систем SISO, так и MIMO/

  • Для систем MIMO построить импульсные характеристики по каждой выходной координате с соответствующим управлением. Совместить отдельные характеристики в одной системе координат.

  • Совместить графики соответствующих импульсных и переходных функций.



Похожие документы:

  1. Приоритетный национальный проект «образование» Т. А. Пьявченко, В. И. Фиhаев автоматизированные информационно-управляющие системы таганpог 2007

    Документ
    ... управленческие функции с применением ЭВМ ... операционные системы (ОС), системы программирования ... методам исчисления стоимостных ... . 36 Для исследования линейных систем с ... пакет Simulink системы MatLab. Как ... и предназначен для динамического изображения бегущей ...
  2. Б 796 Болтнев, Валентин Егорович. Экология : учеб для студ вузов, обуч по напр.: "Автоматизация технол процессов и пр-ва", "Прикл информатика" / Болтнев

    Документ
    ... данных активного эксперимента, исследованию линейных стационарных систем управления, построению аналитических ... для выполнения лабораторных работ с использованием системы автоматизированных расчётов MATLAB+SIMULINK. Учебное пособие предназначено для ...
  3. Основная образовательная программа высшего профессионального образования подготовки специалиста 050201. 65 (2)

    Основная образовательная программа
    ... для иллюстрации теорем дифференциального исчисления; сформировать "функциональную интуицию" и навыки исследования свойств функций без применения ... задачи линейного, нелинейного, динамического, ... функции операционной системы, основные типы файловых систем, ...
  4. Учебная дисциплина «Английский язык» (1)

    Документ
    ... Коши для системы уравнений и уравнения произвольного порядка. Тема 3. Общая теория линейных систем и ... динамических систем. Исследовать свойства хаотических динамических систем. владеть: Навыками анализа динамических систем. Методом исследования ...
  5. Учебно-методический комплекс по дисциплине Теория автоматического управления (название)

    Учебно-методический комплекс
    ... s. В системе MATLAB для построения временных характеристик с помощью пакета используются функции step - для построения переходной функции h(t) и impulse - для ...

Другие похожие документы..