Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Отчет'
В соответствии с Регламентом Муниципального совета Белгородского района, утвержденного решением Муниципального совета Белгородского района от 27.09.20...полностью>>
'Документ'
Люди мирно живут между собой и согласно действуют только тогда, когда они соединены одним и тем же мировоззрением: одинаково понимают цель и назначени...полностью>>
'Урок'
По рабочей программе, составленной на основе Федерального государственного образовательного стандарта, на основе авторской программы «Русский язык» В....полностью>>
'Документ'
1.1. Настоящим Типовым положением о проведении аттестации муниципальных служащих в Красноярском крае определяется порядок проведения аттестации муници...полностью>>

Главная > Программа курса

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Тема: Процентные вычисления в жизненных ситуациях.

Цель курса: математическая квалификация типичных
вопросов на проценты и выявление нормы
словоупотребления термина «процент» в зависимости
от контекста, показать широту применения в жизни
такого простого и известного учащимся
математического аппарата, как процентные
вычисления.

Программа курса: 1. Введение. Из истории процентов.

Понятие процента. Решение задач.

2. Вычисление количеств по процентам.

3. Вычисление процентов по количествам.

4. Нормативное и ненормативное сравнение процентов.

5. Процентные вычисления в жизненных ситуациях. Распродажа.

6. Тарифы. Штрафы.

7. Банковские операции.

8. Голосование.

9. Заключение. Итог.

Процент. Основные задачи на проценты.

Справочный материал

  1. Процентом называется сотая часть какого – либо числа. Процент обозначается знаком %. Например, 5 %, 100%.

  2. Если число принять за 1, то 1 % составляет 0, 01 этого числа, 25% составляет 0,25 числа (или ¼ числа) и т. д.

Таким образом, чтобы число процентов выразить в виде дроби, достаточно число процентов разделить на 100. Например, 125 % = 1,25; 2, 3% = 0, 023.

  1. Нахождение процентов данного числа. Чтобы найти а % от числа b, надо b умножить на а .

100

Например, 30 % от 60 составляют 60 · 30 = 18.

100

4. Нахождение числа по его процентам. Если известно, что

а % числа х равно b, то число х можно найти по формуле

х= b . 100.

а

Например, если 3 % вклада в сберкассу составляют 150 р., то этот вклад равен ( 150) . 100 = 5000 р.

3

5. Нахождение процентного отношения чисел. Чтобы найти процентное отношение двух чисел a и b , надо отношение этих чисел умножить на 100 %, т.е. вычислить a . 100 %.

b

Пусть, например, при плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей, тогда он выполнил план на

66 . 100 %, т.е. на 110 %.

60

Упражнения с решениями.

Сберегательные банки вычисляют по вкладам ежегодно 2 % вклада. Вкладчик внес в сберегательный банк 150 р. Какой станет сумма вклада через 2 года?

Р е ш е н и е. Вклад к концу первого года составит

150 + 150 · 1,02 = 150 · 1, 02 = 153 р., а к концу второго года

153 + 153 · 0, 02 = 153 · 1, 02 = 156 р. 6 к.

Вообще, имеет место формула сложных процентов:

N= а(1+ 0,01p)n, где а – первоначальная величина вклада, n – срок вклада, N- величина вклада через n лет, p - число процентов.

  1. РАСПРОДАЖА

Задача 1. Зонт стоил 360 р. в ноябре цена зонта была снижена на 15 %, а в декабре - еще на 10 %. Какой стала стоимость зонта в декабре?

Решение: Стоимость зонта в ноябре составляла 85 % от 360 р., т.е. 360 · 0,85 = 306 (р.). второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта; теперь следует искать 90% от 306 р., т.е. 306 · 0,9 = 275, 4 (р.)

Ответ: 275 р. 40 к.

Дополнительный вопрос. На сколько процентов по отношению к первоначальной цене подешевел зонт?

Решение. Найдем отношение последней цены к исходной и выразим его в процентах. Получим 76,5 %. Значит, зонт подешевел на 23, 5%.

Задача 2. На осенней ярмарке фермер планирует продать не менее одной тонны лука. Ему известно, что при хранении урожая теряется до 15 % его массы, а при транспортировке – до 10 %. Сколько лука должен собрать фермер, чтобы осуществить свой план?

Решение. Просчитаем худший вариант. Пусть нужно собрать х т лука. Тогда после хранения может остаться 0,85 х т и на ярмарку будет доставлено – 0,9 · 0,85 х т. составим уравнение 0,9 · 0, 85 х = 1,

откуда х ≈1,3.

Ответ: не менее 1,3 т.

Задача 3. На сезонной распродаже магазин снизил цены на обувь сначала на 24 %, а потом еще на 10 %. Сколько рублей можно сэкономить при покупке кроссовок, если до снижения цен стоили 593 р.?

Решение. В реальной жизни часто вместо точных подсчетов удобно выполнять прикидку. В нашем случае 593 р. – это примерно 600 р.; а 24 % - это

примерно ¼. Четверть от 600 р. составляет 150 р. Таким образом, после первой уценки цена кроссовок снизилась на 150 р. и составила примерно 450 р. После второй уценки новая цена кроссовок снизилась на 45 р. В итоге кроссовки подешевели примерно на 195 р.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 4. Антикварный магазин приобрел старинный предмет за 30 тыс.р. и выставил его на продажу, повысив цену на 60%. Но этот предмет был продан лишь через неделю, когда магазин снизил его новую цену на

20 %. Какую прибыль получил магазин при продаже антикварного предмета?

Ответ: 8,4 тыс. р

Задача 5. На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350 р. уценили на 40 %, а через неделю еще на 5 %. В другом магазине шарф такой же стоимости уценили сразу на 45 %. В каком магазине выгоднее купить этот шарф?

Ответ: Выгоднее купить во втором магазине.

Задача 6. Во время распродажи масляные краски для рисования стоимостью 213 р. за коробку продавали на 19 % дешевле. Сколько примерно денег сэкономит художественная студия, если она купит партию в 150 коробок?

Ответ: примерно 6 тыс. р.

  1. Тарифы

Задача 7. В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составит 3 р. 15 к. вместо 2 р. 75 к. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5%?

Решение. Разность тарифов составляет 0,4 р., а ее отношение к старому тарифу равно 0,14545… Выразив это отношение в процентах, получим примерно 14,5 %

Ответ: да, соответствует.

Дополнительный вопрос. Сколько будет стоить отправка заказного письма, если сейчас эта услуга оценивается в 5 р. 50 к.?

Ответ: 6 р. 30 к.

Задача 8. Тарифы для мобильных телефонов зависят от систем оплаты. В 2000 году тарифы оплаты по системам К и М были одинаковыми, а в следующие три года последовательно либо увеличивались, либо уменьшались. Сравните тарифы в 2003 г.

Таблица
Тарифы
Годы

2001

2002

2003

По системе К

Увеличен на 10 %

Уменьшен на 3 %

Уменьшен на 3 %

По системе М

Уменьшен на 5 %

Увеличен на 3 %

Увеличен на 4 %

Решение. В 2003 г. тариф по системе К увеличился по сравнению с исходным примерно на 3,5 %, а по системе М – на 1,8 5. Таким образом, тариф по системе К стал выше примерно на 1,7 %.

Пояснение. Следует обозначить буквой х тарифы М и К в 2000 г., затем последовательно выразить через х все последующие тарифы.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 9. В начале года тариф на электроэнергию составил 40 к. за 1 кВт.ч. в середине года он увеличился на 50%, а в конце года – еще на 50%. Как вы считаете, увеличился ли тариф на 100%, менее чем на 100%, более чем на 100%?

Ответ: тариф на электроэнергию увеличился более чем на 100%.

Задача 10. Стоимость проезда в городском автобусе составила 5 р. В связи с инфляцией она возросла на 200 %. Во сколько раз повысилась стоимость проезда в автобусе? Можно ли ответить на поставленный вопрос, не зная стоимости проезда?

Ответ: в 3 раза (учащиеся сделают рисунок).

Задача 11. В этом году тарифы на услуги лодочной станции оказались на 20 % ниже, чем в прошлом году. Можно ли утверждать, что в прошлом году тарифы были на 20 % выше, чем в нынешнем году?

Ответ: нет.

Пояснение. Рисунок поможет убедиться, что в прошлом году тарифы по сравнению с нынешним были выше на 25 %.

  1. Штрафы

Задача 12. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15 – го числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4%. От суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату за неделю?

Решение. Так как 4 % от 250 р. составляют 10 р., то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 р. Если родители просрочат оплату на один день, то им придется заплатить 250 +10 = 260 (р.), на неделю – 250 +10 ∙7 = 320 (р.).

Задача для самостоятельного решения

Задача 13. За несвоевременное выполнение договорных обязательств сотрудник фирмы лишается 25 % месячного оклада, и кроме того, за каждый просроченный месяц к штрафу прибавляется 5% месячного оклада. Оклад сотрудника 10 тыс.р. В каком размере он должен заплатить штраф при нарушении сроков на 5 месяцев?

Ответ: 5 тыс.р.

  1. Банковские операции

Задача 14. За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8 % годовых. Вкладчик положил на счет в банке 5000 р. и решил в течение пяти лет не снимать деньги со счета и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете вкладчика через год, через два года, через пять лет?

Решение.

Первый способ. Так как 8 % от 5000 р. составляют 400 р., то через один год на счете окажется 5000 + 400= 5400 (р.) В конце второго года банк будет начислять проценты уже на новую сумму. Так как 8 % от 5400 р. составляют 432 р., то через два года на счете окажется 5400 +432 – 5832 (р.). вычисляя последовательно, найдем, что через пять лет на счете вкладчика будет 7346 р. 64 к.

Второй способ. Через год начальная сумма вклада увеличится на 8%, значит, новая сумма составит от первоначальной 108%. Таким образом, через год вклад увеличится в 108 / 100= 1, 08 раза и составит 5000 ∙ 1,08(р.). Еще через год образовавшаяся на счете сумма снова увеличится в 1,08 раза. Таким образом, через два года на счете будет

(5000 ∙ 1, 08) ∙ 1,08 = 5000 ∙ 1, 082 (р.) аналогично через три года - 5000 ∙ 1, 083 (р.) и т.д. Теперь видно, что вклад растет в геометрической прогрессии и через пять лет сумма на счете вкладчика составит 5000 ∙ 1, 085 (р.), т.е. 7346, 64 р.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 15. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому составляет 12 %. Какая сумма будет лежать на его счете через год; через два года; через 6 лет?

Ответ: 2240 р.; 2508 р. 80 к.; 3947 р.65 к.

Задача 16. Банк обещает вкладчикам удвоить их сбережения за пять лет, если они воспользуются вкладом «Накопление» с годовой процентной ставкой 16 %.

Ответ: да, вклад увеличится в 1,16 5 раз, т.е. более чем в два раза.

Задача 17. В прошлом году Антон для оплаты своего обучения воспользовался кредитом сбербанка, взяв сумму 40 тыс. р. с обязательством возвратить кредит (с учетом 20% годовых) через три года. В этом году снижены процентные ставки для кредита на оплату обучения в образовательных учреждениях: с 20% до 19 % годовых. По этому у Бориса, последовавшего примеру брата, долг окажется меньше. На сколько?

Ответ: примерно на 1700 р.

  1. Голосование

Задача 18. Из 550 учащихся школы в референдуме по вопросу о ведении Ученического совета участвовали 88% учащихся. На вопрос референдума 75% принявших участие в голосовании ответили «да». Какой процент от числа всех учащихся школы составили те, кто ответил положительно?

Решение: Выразим проценты дробями и вычислим число учащихся, утвердительно ответивших на вопрос референдума: 550 ∙ 0, 88 ∙ 0,75 = 363 (чел.). Теперь найдем ответ на вопрос задачи: 363 : 550 = 0,66 – это 66 %

Дополнительный вопрос. Можно ли ответить на вопрос задачи, не зная числа учащихся школы?

Ответ: да

Задача для самостоятельного решения

Задача 19. Собрание гаражного кооператива считается правомочным, если в нем приняли участие 2/3 всех его членов, и вопрос считается решенным, если за него проголосовали не менее 50 % присутствующих. В гаражном кооперативе 240 человек. На собрание пришли 168, а за положительное решение обсуждаемого вопроса проголосовали 86 человек. Какое принято решение?

Ответ: положительное.

Из истории процентов

Слово «процент» происходит от латинского procentum, что буквально означает «на сотню». В литературе возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV в. Однако уже «Дигестах Юстиниана» (так называется первая дошедшая до нас кодификация римского права), датируемых V в., мы находим вполне современное употребление процентов.

«Фиск (императорская казна) не уплачивает проценты по заключенным им договорам, но сам получает проценты: например, от съемщиков публичных уборных, если эти съемщики слишком поздно вносят деньги; также при просрочке уплаты налогов. Когда же фиск является преемником частного лица, то обычно он уплачивает проценты.

Если должники, платившие проценты в размере, меньшем чем 6 % в год, стали должниками фиска, то они обязаны уплачивать 6 % годовых с того времени, как требование против них перешло к фиску.

По – видимому, процент возник в Европе вместе с ростовщичеством как предтеча десятичной системы счисления. Разрыв во времени заставляет вспомнить современные теории о лишних веках в общепринятой хронологии.

Употребление термина «процент» в качестве нормы нашего языка начинается, вероятно с конца XVIII в. Об этом свидетельствует сравнительный анализ текстов двух фундаментальных учебников по математике Ефима Войтяховского (первое издание 1795 г.) и Т.Ф. Осиповского (первое издание 1802 г.). В обоих учебниках имеется по нескольку задач «на проценты по вкладу», но Е. Войтяховский оперирует исключительно сотыми долями, тогда как Т.Ф. Осиповский уже употребляет термин «процент». Мы воспроизводим три задачи от Е. Войтяховского и Т.Ф. Осиповского с сохранением авторского языка в условиях.

Задача 1. Купец торговал положенными в торг 100 рублями с убытком, так что оставшаяся сумма после первого года без 4/25 всего (начального) капитала, равна оставшейся сумме после двух лет. Спрашивается: по скольку он получал убытка от 100 руб. в каждый год?

Ответ: 80 или 20 руб.

Задача 2. Отдан в ломбард капитал а по р процентов; проценты сии в ломбард оставляются, причисляя их к капиталу, и сверх сего вносится еще ежегодно по b руб. Спрашивается: сколь велик весь капитал будет по истечении n лет?

Ответ: kn ∙ а + kn – 1 ∙ b, где k= 1+ p

k – 1 10

Задача 3. Положим, например, что отдан в ломбард капитал, состоящий из 10 000 рублей по 5 процентов, и ежегодно еще вносится по 800 рублей. Спрашивается: после 12 лет сколь велик капитал сей будет?

Ответ: 30 692 руб. 26 коп.

Привычка к употреблению процентов в сфере денежных отношений благоприятствовала быстрому их внедрению в развивающиеся технологии XIX в. Так, в словаре Брокгауза и Ефрона читаем следующее: «По предварительным данным переписи 1897 г., население Петербурга оказалось возросшим за 6 лет на 178 тысяч, из которых 150 тыс. приходится на прилив извне; из всего прироста

85 % падает на крестьян, составляющих теперь до 59 % всего петербургского населения»

Как видно из этого отрывка, уже на рубеже XIX и XX вв. русскоязычное контекстное понимание процентов максимально лаконизируется. В одном предложении фигурируют две различные стопроцентные базы. В последующем это становится нормой деловой речи и литературы.

Для удовлетворения возрастающих требований к точности исчисления малых долей вместо кванта 1 % вводится квант 1 - так называемое промилле.

1000

промилле можно часто встретить на страницах книг по медицине и фармакологии.

В операциях с ценными металлами используется другое название кванта 1 -

1000

проба. Так, золото 750 – ой пробы – это сплав с 75 – процентным содержанием золота.

Понятие процента

Проценты употребляются для сравнения однородных положительных количеств, и только для этого. Один процент - это, по определению, одна сотая: 1 % = 1

100

соответственно, p %= p

100

Один процент от количества А - это, по определению, одна сотая часть количества А:

1 % от А равен 1 А

100

Соответственно, p % от А равен p ∙ А (1)

100

где p - безразмерное число. Отметим, что предлог от часто опускается.

Вместо «В составляет р процентов от А» говорят еще: «Процент В от А есть р». То есть слово «процент» может означать любое количество процентов, но словосочетание «один процент» всегда означает именно одну сотую, так же как словосочетание «двадцать один процент» всегда означает именно двадцать одну сотую и т.д.

Как видно из формулы (1), процентом р задается коэффициент

к = р

100

перед данным количеством А. Говорят еще: «кА больше А в к раз».

Если кА - заведомое подмножество А, то говорят и так: «к есть доля кА в А»

Для дальнейшего важно запомнить, что процент всегда выступает в роли коэффициента – сомножителя перед некоторым количеством.

Вычисление количеств по процентам.

Первая группа шаблон вопросов относится к той ситуации, когда количество А и некоторый процент р. требуется найти количество, которое этот процент выражает.

Вопрос К1.

Каково количество, составляющее р % от А?

Формула ответа: р ∙ А

100

Обсуждение. Здесь ключевое слово от.. то, что стоит за ним, принимается за базу в 100 % и подвергается умножению на коэффициент к = р

100

Вопрос К1 может звучать в несколько другой форме, например, так:

найти р % от А;

или так найти р % количества А.

Ключевое слово – предлог от – в последней формулировке вопроса К1 отсутствует. Однако его можно вставить искажения смысла вопроса, и причем вставить в одно единственное место:

Найти р % от количества А.

Таким образом, и при явном и при неявном участии ключевого слова от в формулировке вопроса К1 оно имеет свое, однозначно определяемое место. Чтобы понять некоторый вопрос на проценты как вопрос К1, нужно это место найти и следующее за ним количество принять за базу в 100 %.

Для быстрого ответа на вопрос К1 нужно знать, что:

5% = 1/20, 10 % = 1/10, 20 % = 1/5, 25 % = ¼, 50 % = ½, 75 %= ¾.

Задача 4. В городе N состоялись выборы в городскую думу, в которых приняли участие 75 % избирателей. Только 10 % от числа принявших участие в выборах отдали голоса партии «зеленых». Сколько жителей проголосовали за партию, если в городе всего 1 миллион избирателей?

Решение. Здесь мы должны дважды применить формулу ответа на вопрос К1. по условию, в выборах приняли участие 0,75 ∙ 1000 тыс. = 750 тыс. чел. От них 10% - это 0,1 ∙ 750 тыс. = 75 тыс.

Ответ: 75 000.

Задача 5. Из 750 учащихся школы 80 % занимаются в различных кружках, из них 5 % - в радиокружке. Сколько учащихся занимается в радиокружке?

Решение. Дважды применив формулу К1, получим

580 ∙ 750 = 30

  1. 100

Ответ: 30

Задача 6. Длина дистанции трехдневной велогонки была 480 км. В первый велогонщики проехали 25 % всего пути, а во второй день 55 % оставшегося пути. Сколько километров проехали велогонщики в третий день?

Решение. Здесь нужно дважды применить формулу К1.В первый день велогонщики проехали ¼ ∙ 480 = 120 км.

Оставшийся путь составил 480 – 120 – 360 км.

Тогда, по условию во второй день велогонщики проехали 55/100∙ 360 = 198 км. В результате в заключительный третий день велогонщики проехали

480 – 120 – 198 = 162 км.

Ответ 162 км.



Похожие документы:

  1. Публичный отчёт Муниципального бюджетного образовательного учреждения средней общеобразовательной школы Х. Верхнеподпольный

    Публичный отчет
    ... . и ИКТ/2, инфор,эл.курс/1, алгебра/1 инфор./2, ОБЖ/1, эл.курс/2 Количество часов учебного плана ... задания по следующим темам: Решение дробно-рационального уравнения. Составление уравнения прямой. Задачи на проценты ...
  2. Образовательная программа основного общего образования (фгос ооо)

    Образовательная программа
    ... приёмы вычислений, применение калькулятора; • использовать понятия и умения, связанные с пропорциональностью величин, процентами, в ходе решения математических задач и задач из ...
  3. Аналитический отчет о результатах самообследования Муниципального автономного общеобразовательного учреждения города Новосибирска

    Отчет
    ... развития по откорректированным программам специальных курсов. Перспективы развития кафедры видятся в решении задачи обеспечения ... количество ошибок было допущено учащимися в вычислениях при выполнении вычитания. Результаты контрольной работы по ...
  4. Программа курса Тема I. Предмет, метод и задачи статистики Тема II

    Программа курса
    ... ПРОГРАММА КУРСА СТАТИСТИКА Тема 1. Предмет, метод и задачи ... из входящих в нее единицу, в свою очередь характеризуется своим содержанием по количеству ... его результатов, вычисление и анализ ... проценты по ссудам и др.) Дифференциация себестоимости по ...
  5. Учебно-методический комплекс дисциплины статистика Направление подготовки бакалавров для всех форм обучения

    Учебно-методический комплекс
    ... для принятия обоснованных управленческих решений. Задачи курса «Статистика»:  ... 28. Формула для вычисления индекса структурных сдвигов: ; ; ; . 29. Количество реализованной продукции в текущем ... процентов; годовую базовую ставку по договору, исходя из ...

Другие похожие документы..